nbhkdz.com冰点文库

2.1.2由曲线求它的方程,由方程研究曲线的性质

时间:2017-07-02


2.1.2由曲线求它的方程, 由曲线求它的方程, 由曲线求它的方程 由方程研究曲线的性质

在研究直线与圆的方程时, 在研究直线与圆的方程时,我们已经看 到解析几何主要推论下面两个基本问题: 到解析几何主要推论下面两个基本问题: 1.由曲线求它的方程; .由曲线求它的方程; 2.利用方程研究曲线的性质. .利用方程研究曲线的性质 下面让我们通过实例, 下面让

我们通过实例,进一步体会如何 建立曲线的方程, 建立曲线的方程,以及如何利用方程以及 曲线的性质。 曲线的性质。

例1.设动点 与两条互相垂直的直线的 .设动点M与两条互相垂直的直线的 距离的积等于1,求动点M的轨迹方程并 距离的积等于 ,求动点 的轨迹方程并 利用方程以及轨迹(曲线 的性质。 曲线)的性质 利用方程以及轨迹 曲线 的性质。 解:(1)求动点 的轨迹方程: 的轨迹方程: )求动点M的轨迹方程 建立直角坐标系. ① 建立直角坐标系 取已知两条互相垂直 的直线为坐标轴, 的直线为坐标轴,建立平面直角坐标系 xOy; ; 设动点M的坐标为 的坐标为(x, ; ② 设动点 的坐标为 ,y);

把几何条件转化为坐标表示: ③ 把几何条件转化为坐标表示: 过点M分别作 分别作x轴 轴的垂线 轴的垂线, 过点 分别作 轴,y轴的垂线,垂足分 别为E, ,有轨迹上的点M与两坐标轴 别为 ,F,有轨迹上的点 与两坐标轴 的距离之积等于1, 的距离之积等于 ,得 点M是轨迹上的点 ? |ME|·|MF|=1 是轨迹上的点 因为点M与 轴的距离 轴的距离|ME|=|y|,与y轴的 因为点 与x轴的距离 , 轴的 距离|MF|=|x|,所以上述条件转化为方程的 距离 , 表示: 表示: |x|·|y|=1. 这个方程等价于 这个方程等价于xy=1或xy=-1. 或 -

这就是说, 在曲线上, 这就是说,M(x,y)在曲线上,则它的 , 在曲线上 坐标满足方程, 坐标满足方程,以|x|·|y|=1的解为坐标的 的解为坐标的 都在曲线上。 点M(x,y)都在曲线上。 , 都在曲线上 因此方程|x|·|y|=1为所求动点轨迹的方程 为所求动点轨迹的方程. 因此方程 为所求动点轨迹的方程 证明(略 ; ④ 证明 略); (2)利用方程研究曲线的性质: )利用方程研究曲线的性质: ① 曲线的组成 由于方程|x|·|y|=1等价于下列两个方程 由于方程 等价于下列两个方程 xy=1或xy=-1,每一个方程都表示一条曲 或 - , 线,由此可知表示方程的曲线由上述两个 方程的曲线组成; 方程的曲线组成;

② 曲线与坐标轴的交点 由方程|x|·|y|=1,可推知x≠0且y≠0,因此 ,可推知 由方程 且 , 方程的曲线与两坐标轴没有交点,方程对 方程的曲线与两坐标轴没有交点, 应的曲线被两条坐标轴分开; 应的曲线被两条坐标轴分开; ③ 曲线的对称性质 在方程|x|·|y|=1中,以-x代替 ,这个方程 中 代替x, 在方程 代替 并未变化,因此方程的图象关于y轴对称 轴对称. 并未变化,因此方程的图象关于 轴对称

在方程|x|·|y|=1中,以-y代替 ,这个方 中 代替y, 在方程 代替 程也未变化,因此方程的图象关于x轴对称 轴对称; 程也未变化,因此方程的图象关于 轴对称 在方程|x|·|y|=1中,以-x代替 ,同时以 代替x, 在方程 中 代替 代替y, -y代替 ,这个方程也未变化,因此方程 代替 这个方程也未变化, 的图象关于原点中心对称. 的图象关于原点中心对称 由以上分析可知, 由以上分析可知,这个方程所表示的 曲线,既是轴对称图形,也是中心对称 轴对称图形 中心对称图 曲线,既是轴对称图形,也是中心对称图 形。因此在我们研究方程的曲线时,只要 因此在我们研究方程的曲线时, 研究它在第一象限那一部分曲线即可; 研究它在第一象限那一部分曲线即可;

④ 曲线的变化情况 由曲线的对称性质, 由曲线的对称性质,我们只考虑第一 象限的情况(x>0,y>0),由方程可知,当 象限的情况 , ,由方程可知, 变量x逐渐变大时 变量y的值逐渐变小 逐渐变大时, 的值逐渐变小, 变量 逐渐变大时,变量 的值逐渐变小, 曲线无限地靠近x轴 当变量x逐渐变小时 逐渐变小时, 曲线无限地靠近 轴;当变量 逐渐变小时, 变量y的值逐渐变大 曲线无限地靠近y轴 的值逐渐变大, 变量 的值逐渐变大,曲线无限地靠近 轴;

⑤ 画出方程的曲线 列表: 列表:
x y … …
1 3

1 2

1 1

2
1 2

3
1 3

… …

3

2

由以上对方程的分析和列表, 由以上对方程的分析和列表,可以画出 方程的曲线在第一象限那一部分; 方程的曲线在第一象限那一部分;再根据 曲线的对称性, 曲线的对称性,可画出方程所表示的整个 曲线. 曲线

轴的上方, 例2.已知一曲线在 轴的上方,它上面的 .已知一曲线在x轴的上方 每一个点到点A(0,2)的距离减去它到 轴 的距离减去它到x轴 每一个点到点 , 的距离减去它到 的距离的差都是2,求这条曲线的方程。 的距离的差都是 ,求这条曲线的方程。 解:设曲线上任一点的坐标为M(x,y), 设曲线上任一点的坐标为 , , 作MB⊥x轴,B为垂足,则点 属于集 为垂足, ⊥ 轴 为垂足 则点M属于集 合P={M| |MA|-|MB|=2}, - , 由距离公式, 由距离公式,点M适合的条件可表示为 适合的条件可表示为
x 2 + ( y ? 2) 2 ? y = 2

化简为x 化简为 2=8y, ,

因为曲线在x轴的上方, 因为曲线在 轴的上方,所以 y>0,显 轴的上方 , 是这个方程的解, 然(0,0)是这个方程的解,但不属于已知 , 是这个方程的解 曲线, 曲线, 所以曲线的方程是x 所以曲线的方程是 2=8y (y≠0).

例3.已知平面上两个定点 、B之间的距 .已知平面上两个定点A、 之间的距 离为2a, 两点的距离之比为2: 离为 ,点M到A、B两点的距离之比为 : 到 、 两点的距离之比为 1,求动点M的轨迹方程。 ,求动点 的轨迹方程 的轨迹方程。 解:以两定点A、B所在直线为 轴,线段 所在直线为x轴 以两定点 、 所在直线为 AB的中垂线为 轴建立直角坐标系, 的中垂线为y轴建立直角坐标系 的中垂线为 轴建立直角坐标系, 由AB=2a,可设A(-a,0),B(a,0), ,可设 - , , , , M(x,y), , ,

∵ |MA|:|MB|=2:1, : : , ∴
( x + a) + y
2 2 2

( x ? a) + y
2

=2

5 2 16 2 2 化简得 ( x ? a ) + y = a 3 9

所以动点M的轨迹方程为 所以动点 的轨迹方程为
5 2 16 2 2 ( x ? a) + y = a 3 9

的曲线。 例4.画出方程 2-4x-4=0的曲线。 .画出方程y - 的曲线 :(1)范围: 解:( )范围:∵ y2=4x+4≥0, , 可取一切实数, 得x≥-1,y可取一切实数,所以曲线在 - , 可取一切实数 直线x=- 的右侧 向上向下无限延伸; 的右侧, 直线 -1的右侧,向上向下无限延伸 2)对称性: y代替 方程不变, 代替y, (2)对称性:用-y代替y,方程不变, 故曲线关于x轴对称 轴对称; 故曲线关于 轴对称; (3)截距:令y=0,得x=-1,令x=0, )截距: , - , , 得y=±2;即曲线的横截距为-1,纵截距 ± ;即曲线的横截距为- , 为±2; ;

(4)列表: )列表:
x y -1 0 0 ±2 1 2 ±2.8 ±3.46
y

3 ±4

…… ……

(5)描点作图 )描点作图.
1

x
O
-1 1 2

课堂练习 1.到A(2,- 和B(4,- 的距离相等的 . ,-3)和 ,- ,-1)的距离相等的 ,- 点的轨迹方程是( 点的轨迹方程是( C ) (A)x-y-1=0 ) - - (B)x-y+1=0 ) - (C)x+y-1=0 ) - (D)x+y+1=0 )

2.直角坐标系内到两坐标轴距离之差等 . 的点的轨迹方程是( 于1的点的轨迹方程是( C ) 的点的轨迹方程是 (A)|x|-|y|=1 ) - (B)|x-y|=1 ) - (C)|x|-|y|=±1 ) - ± (D)|x±y|=1 ) ±

3.已知点M(-2,0)、N(2,0),则以 .已知点 - , 、 , , MN为斜边的直角三角形的直角顶点的轨 为斜边的直角三角形的直角顶点的轨 迹方程是( 迹方程是( A ) (A)x2+y2=4 (x≠±2) ) ± (B)x2+y2=4 ) (C)x2+y2=16 ) (D)x2+y2=16 (x≠±4) ) ±

4.方程 x + y = 0( x ≠ 0) 所表示的图形是 . ( A) (A)x2=y的图形在第二象限的部分 ) 的图形在第二象限的部分 (B)与x2=y的图形相同 ) 的图形相同 (C)与x2=-y的图形相同 ) - 的图形相同 (D)x2=-y的图形在第四象限的部分 ) - 的图形在第四象限的部分

5.方程(x+a)(y-a)=0表示的曲线是 .方程 - 表示的曲线是 ( A ) (A)两条相交的直线 ) (B)一个点 -a,a) )一个点(- ,
?x + a = 0 (C)与方程组 ? ) 的图形相同 ?y ? a = 0

(D)第一、三象限的角平分线 )第一、

6.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面 .已知 - , , , , 的面 积为10,求动点 的轨迹方程 的轨迹方程。 积为 ,求动点C的轨迹方程。 4x-3y-16=0或4x-3y+24=0 - - 或 - 7.已知点M到点 ,1)和直线 :y=-1 .已知点 到点 到点F(0, 和直线 和直线l: - 的距离相等,求点 的轨迹方程 的轨迹方程。 的距离相等,求点M的轨迹方程。

1 2 y= x 4

8.已知△ABC的顶点 ,0),C(5,0), .已知△ 的顶点B(0, , , , 的顶点 AB边上的中线长 边上的中线长|CD|=3,求顶点 的轨迹 边上的中线长 ,求顶点A的轨迹 方程。 方程。 x2+y2-20x+64=0 (y≠0)


由曲线求它的方程,由方程研究曲线的性质

由曲线求它的方程,由方程研究曲线的性质_数学_高中教育_教育专区。选修 2-1章 第 2 节第 1 课时 课型:新授课 主备人: 审核人: 适用班型:高二理科...

由曲线求它的方程,由方程研究曲线的性质

由曲线求它的方程,由方程研究曲线的性质_数学_高中教育_教育专区。装 订 线 4. 已知点 B(?2,1) 和点 C (3,2) ,直角三角形 ABC 以 BC 为斜边,求...

...1-2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质_免费下...

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习:2-1-2由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质 高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习高二数学(人教B版)选修2-1全...

...1第二章曲线与方程2.1.2 由曲线求它的方程、由方程...

高二数学选修 2-1 第二章曲线与方程学案 2.1.2 由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质 一、教学目标: 1、初步掌握求曲线方程的基本方法及步骤。 2、培养学...

由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质

《论语》 班级 姓名 时间 2010 年 月 日 课题学 习目标 学案:由曲线求它的方程由方程研究曲线的性质反 思与变式练习 1、到 x 轴的距离等于 2 的点...

四川大学2012-2013学年理论力学期中考试答案

8 (本题 3 分)点沿下图所示的轨迹作减速曲线运动,以下四种它的速度和加速度...=ω t。求:动点 M 的运动方程、轨迹。 B ω O C M ? ? A x 解:1...