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《等差数列与等比数列的综合问题》(学生版)期末复习

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等差数列与等比数列的综合问题 一、等差数列与等比数列知识清单 等差数列 递 a ?a 推 an?1 ? an ? d ; an ? n ?1 n ?1 公 2 式 通 项 前 等比数列 an?1 an2 ? an?1 ? an?1 (an ? 0) ? q(q ? 0) , an n 项 和 中 项 an ? a1 ? (n ?1)d ? pn ? q ? am ? (n ? m)d 其中 p ? d , q ? a1 ? d n(a1 ? an ) n(n ? 1)d Sn ? ? na1 ? ? pn 2 ? qn 2 2 d d 其中 p ? , q ? a1 ? 2 2 a, b, c 成等差数列 ? 2b ? a ? c 等和性:等差数列 an ? a1qn?1 ? amqn?m ( q ? 0 ) ? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ? na (q ? 1) ? 1 a, b, c 成等比数列 ? b2 ? ac 等积性:等比数列 若m?n ?an ? ? an ? 2ap ?an ? ? (ap )2 主 要 性 质 若m?n ? p ? q 则 am ? an ? ap ? aq ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq 推论:若 m ? n ? 2 p 则 am 推论: 若 m ? n ? 2 p 则 am ? an an?k ? an?k ? 2an a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? 即:首尾颠倒相加,则和相等 证明一个数列为等差数列的方法: 1、定义法: an?1 ? an an?k ? an?k ? (an )2 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? 即:首尾颠倒相乘,则积相等 证明一个数列为等比数列的方法: 1、定义法: 证 明 方 法 ? d (常数) 2、中项法: an?1 ? an?1 ? 2an (n ? 2) an?1 ? q(常数) an 2 2 中项法 an?1 ? an?1 ? (an) (n ? 2, an ? 0) 二、数列的项 an 与前 n 项和 Sn 的关系: an (n ? 1) ? s1 ?? ? sn ? sn ?1 (n ? 2) 三、考点选讲 例 1.在等差数列中,已知 a5 ? 8, a8 ? 5 ,求首项 a1 与公差 d 及 a13 , a3 ? a10 , S12 . 变式、在等差数列 ?an ? 中,已知 a6 ? a9 ? a12 ? a15 ? 34 ,求 S20 . 例 2、数列{ an }是首项为 23,公差为整数的等差数列,且前 6 项为正,从第 7 项开始为负, (1)求此等差数列的公差 d; (2)设前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值; (3)当 S n 是正数时,求 n 的最大值. 变式、已知数列{ an }中 a1 ? 0, d ? 0, a4 ? 3, a5 ? 8 ,求 a6 的取值范围。 例 3、数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , an ?1 ? 1 S n , n ? 1,2,3,……,求 a2 , a3 , 3 a4 的值及数列 {an } 的通项公式. 变式、已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2, ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (

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