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2.4 用向量讨论垂直与平行(第2课时) 课件(北师大版选修2-1)

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§ 4 第 二 章 第 二 课 时 考点一 把握 热点考向 考点二 考点三 应用创新演练 第二课时 空间向量与垂直关系 [例1] 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD 是矩形,AB=2,AD=1,AA1=3,M是BC的中点,在 DD1上存在一点N,使MN⊥DC1,试确定N点位置. [思路点拨] 本题中DA,DC,DD1两两垂直,故 可以D为原点

,DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空 间直角坐标系.可设出点N坐标后利用方程 MN · DC1 = 0,进行求解. [精解详析] 建立空间直角坐标系,如图. ?1 ? 则C1(0,2,3),M?2,2,0?,D(0,0,0), ? ? ∴ DC1 =(0,2,3).设点N(0,0,h), ? 1 ? 则 MN =?-2,-2,h?. ? ? ? 1 ? ∵MN⊥DC1,则 MN · (0,2,3)=-4 DC1 =?-2,-2,h?· ? ? ? 4? 4 +3h=0.∴h= ,则N?0,0,3?. 3 ? ? 4 故N点在DD1上且|DN|= 时,有MN⊥DC1. 3 [一点通] 用向量法证明两直线互相垂直时, 可以证明两直线的方向向量a,b的数量积为零,即 a· b=0.若图形易于建立空间直角坐标系,则可用坐 标法进行证明,否则可用基向量分别表示a,b后进 行证明. 1.四面体OABC中,各棱长均为a,求证:OA⊥BC. 证明:令 OA =a, OB =b, OC =c,由题意 π π |a|=|b|=|c|=a,且〈a,b〉= ,〈a,c〉= . 3 3 而 BC = OC - OB =c-b, BC =a· ∴ OA · (c-b)=a· c-a· b, 1 2 1 2 =|a||c|cos〈a,c〉-|a||b|cos〈a,b〉= a - a =0, 2 2 ∴ OA ⊥ BC ,即OA⊥BC. 2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90° ,AB= 3, BC=1,BB1= 6,M为CC1中点,求证:AM⊥BA1. 证明:如图,建立空间直角坐标系,则 B(0,0,0),C(1,0,0),A(0, 3,0),B1(0,0, 6), A1(0, 3, 6),C1(1,0, 6). ∵M 为 ? CC1 的中点,∴M? ?1,0, ? 6? ? . 2? ? ? ∴ AM =? ?1,- ? 6? ? 3, ?, BA1 =(0, 3, 6). 2? 6 ∴ AM · BA1 =1×0-3+ 2 × 6=0. ∴ AM ⊥ BA1 ,即 AM⊥BA1. [例2] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中 点,O为底面ABCD的中心,求证:B1O⊥平面PAC. [思路点拨] 欲证B1O⊥平面PAC,只需证明 B1O 与 平面PAC内的两条相交直线都垂直, B1O 与这两条相交直 线的方向向量的数量积为0即可. [精解详析] 如图,建立空间直角坐 标系,不妨假设正方体的棱长为 2, 则 A(2,0,0) , P(0,0,1) , C(0 , 2,0) , B1(2,2,2),O(1,1,0). 于是 OB1 =(1,1,2), AC =(-2,2,0), AP =(-2,0,1).由于 OB1 · AC =-2+ 2=0, OB1 · AP =-2+2=0. 所以 OB1⊥AC,OB1⊥AP. 又 AC 面 PAC,AP 面 PAC,且 AC∩AP=A, 所以 OB1⊥平面 PAC

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