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高三数学 第一轮 (学生版)不等式的概念与性质、不等式的解法3

时间:2015-05-25


高三数学 不等式的概念与性质、不等式的解法
知识点归纳
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1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个 数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式. 2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有 a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a< a a a b.另外,若 b>0,则有b>1?a>b;b=1?a=b;b<1?a<b. 作差法变形的技巧:作差法中变形是关键,常进行因式分解或配方. 3.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c,a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2); n n (6)可开方:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2). 一种方法 待定系数法: 求代数式的范围时, 先用已知的代数式表示目标式, 再利用多项式相等的法则求出参数, 最后利用不等式的性质求出目标式的范围. 两条常用性质 (1)倒数性质: 1 1 ①a>b,ab>0?a<b; a b ③a>b>0,0<c<d?c >d; (2)若 a>b>0,m>0,则 b b+m b b-m ①真分数的性质:a< ; > (b-m>0); a+m a a-m a a+m a a-m ②假分数的性质:b> ; < (b-m>0). b+m b b-m 1 1 ②a<0<b?a<b; 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0?b<x <a.

典型例题讲解:
例 1、 (1)1 设 a,b∈R,现给出下列五个条件:①a+b=2;②a+b>2;③a+b>-2;④ab>1;⑤logab<0,
1

其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件为( A.②③④;

)

B.②③④⑤; C.①②③⑤ ; D.②⑤

(2)设 a ? b ? 0 ,给出下列不等式关系:① ? (3)设 1 ? x ? 3,5 ? x ? 7 ,则

1 a

1 1 1 ;② ? ;③ a ? b ;④a 2 ? b 2 ,其中成立的是____. b a ?b a

x 的取值范围是__________。 y

(4)设 ?1 ? x ? y ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是__________。 (5)设 6 ? a ? 10,

a ? b ? 2a, 则 a ? b 的取值范围是__________。 2

2 (6)若实数 x 满足:对任意的正数 a ? 0 ,均有 x ? 1 ? a ,则 x 的取值范围是_________。 2 (7)若实数 x 满足:对任意的正数 a ? 0 ,均有 x ? 1 ? a ,则 x 的取值范围是_________。

(8)若实数 x 满足:对任意的负数 a ? 0 ,均有 x ? 1 ? a ,则 x 的取值范围是_________。
3 3

b b ? 20 ,则 3a ? 的取值范围是__________。 2 3 e e ? , 则e ____ 0 (填“<”或“>” (10)已知 a ? b ? 0, c ? d ? 0, 若 ) a?c b?d
(9)已知 1 ? a ? b ? 2,13 ? 2a ?
2 2 (11) 设 a, b ? R , 以下四个命题: ① 若a ? b, 则 a ? b, ② 若a ? b , 则a ? b , ③ 若 a ? b, 则a ? b , ④ 若a ? b ,

则 a ? b ,真命题有________。 例 2、 ?

?1 ? x ? y ? 3 ?0 ? x ? 1 是? 的___________条件。 ?0 ? xy ? 2 ?1 ? y ? 2

例 3、已知二次函数 f ?x ? 的图像过原点,且 1 ? f ?? 2? ? 2,3 ? f ?1? ? 4, 求f ?2? 的范围。

例 4、 (1)比较 x ? y 与 xy ? x ? y ? 1 的大小。
2 2

变式训练:证明: 5x ? 6xy ? 9 y ?12x ?12 y ? 8 ? 0
2 2

4、一元一次不等式的解法: 一元一次不等式 ax+b>0

b }. a b (2)若 a<0 时,则其解集为{x|x<- }. a
(1)若 a>0 时,则其解集为{x|x>-

(3)若 a=0 时,b>0,其解集为 R.b≤0,其解集为 ? .
2

例 5、关于 x 的不等式 a ? 2 x ? ax ? 4
2

(1)若 a ? 2 ,求解不等式; (2)若 a ? R ,求解不等式; (3)若不等式的解集为 x x ? ?5 ,求 a 的值。

?

?

变式训练:不等式 ax-1>4b 的解集为{x|x<1},则实数 a、b 需满足的条件为________.

5、二次不等式的解法 对 于 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? , 设 相 应 的 一 元 二 次 方 程

ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表:
??0 ??0 ??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c
y

y ? ax2 ? bx ? c
y

y

y ? ax ? bx ? c
2

( a ? 0 )的图象

x1

o

x2 x
o x1=x2 x
o x

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

对于一元二次不等式的解法需注意: x-a x-a ① ≥0(a<b)的解集为:{x|x≤a 或 x>b}; ≤0(a<b)的解集为:{x|a≤x<b}. x-b x-b ② 从函数观点来看,一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的解集是一元二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)在 x 轴上方的点的横坐标的集合. ③ 三个“二次”的关系 常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式,这三者之间有着密切的联系,
3

这种联系点可以成为高考中的命题点.处理其中某类问题时,要善于产生对于另外两个“二次”的联想, 或进行转化,或帮助分析.具体到解一元二次不等式时,就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题 分析,要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系 解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种: (1)按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
2

例 6、解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0

变式训练: 解不等式 ax2 ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?

(2)按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 7、设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M ? [1,4] ,求实数 a 的取值范围
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变式训练: (1)解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
2

(3)按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;
2

例 8、 解不等式 x ? (a ?
2

1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a

4

例 9、 (1)解关于 x 的不等式:ax2-2x+1>0.(2)解关于 x 的不等式:a2x2-2ax+1-b2<0(a≠0,b>0).

例 10、已知不等式 ax2+bx+c>0 的解为 0<α<x<β,求不等式 cx2+bx+a>0 的解集.

1 变式训练:若关于 x 的不等式- x2+2x>mx 的解集为{x|0<x<2},则实数 m 的值为________. 2

6、一般分式不等式的解法: f?x? f?x? (1 )整理成标准型 >0(或<0)或 ≥0(或≤0). g?x? g?x? (2) 化成整式不等式来解: f?x? f?x? ① >0?f(x)· g(x)>0 ② <0?f(x)· g(x)<0 g?x? g?x?
?f?x?· g?x?≥0 ? f?x? ≥0?? g?x? ? ?g?x?≠0 ?f?x?· g?x?≤0 ? f?x? ④ ≤0?? g?x? ? ?g?x?≠0



(3) 再讨论各因式的符号或按数轴标根法写出解集.

ax-5 例 11、已知关于 x 的不等式 2 <0 的解集为 M. x -a (1)当 a=4 时,求集合 M;(2)若 3∈M 且 5?M,求实数 a 的取值范围.

变式训练:解下列分式不等式: (1)

3 2 x2 ? 4x ? 1 ?1? ?1 ; (2) 2 x?2 x?2 3x ? 7 x ? 2

5

例 12、解关于 x 的不等式

a( x ? 1) >1(a≠1) x?2

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变式训练:k 为何值时,式

2 x 2 ? 2kx ? k ? 1 恒成立 4x 2 ? 6x ? 3

王新敞
奎屯

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例 13、已知函数 f (x)=

x2 (a、b 为常数),且方程 f (x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3,x2=4. ax ? b
( k ? 1) x ? k . 2? x

(1) 求函数 f (x)的解析式;(2) 设 k>1,解关于 x 的不等式 f (x)<

练习: 1、设 a, b∈R, 若 a-|b|>0, 则下面不等式中正确的是( A. b-a>0 B. a3+b3<0 C. b+a<0 ) D. a2-b2>0

2、若 a ? b ? 0, m ? 0, n ? 0 ,则

a b b?m a?n , , , 按由小到大的顺序排列为 b a a?m b?n

3、已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则下列不等式① log2 a ? ?1 ② log2 a ? log2 b ? ?2

6

③ log2 (b ? a) ? 0 ④ log2 ? A.①②

?b a? ? ? ? 1 ,其中一定成立的不等式的序号是 ( ?a b?
C.③④ D.①④ks5u



B.②③

4、已知 ?3 ? a ? ?2 , 3 ? b ? 4 ,则 A. (1, 3) B. ( , )

a2 的取值范围为 b
D. ( , 1)

4 9 2 3 C. ( , ) 3 4 3 4 2 5、已知 a ? 0, ?1 ? b ? 0, 则 a,ab,ab 的大小关系式
A

1 2

a ? ab ? ab2

B

ab2 ? ab ? a

C

ab ? a ? ab2

D

ab ? ab2 ? a

6、观察下列不等式:①

1 1 1 1 1 1 ? 1 ;② ? ? 2 ;③ ? ? ? 3 ;...请写出第 n 个不等式______. 2 2 6 2 6 12
2a ? b ? c ? b | x | 的解集为 x


7、若不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} ,则不等式
2

8、若对于任意的 x ? 0, 不等式

x ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围为_______. x ? 3x ? 1
2

9、若不等式 x ? 2 x ? 3 ? a ? 2a ? 1在 R 上的解集是空集,则 a 的取值范围是
2 2



2 10、已知 a ? 0 ,关于 x 的不等式 ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0 的解集是

.

11、已知不等式 | 8x ? 9 |? 7 和不等式 ax ? bx ? 2 的解集相同,则实数 a 、 b 值分别为
2

A.-8、-10

B.-4、-9

C.-1、9

D.-1、2

x2 ? 3 12、已知 f ( x) ? ? x ? a, a ? 0为常数 ? ; x?a
(1)若 a ? ?5 ,求不等式 f ( x) ? 1的解集; (2)(文)当 x ? a 时, f ( x) 的最小值 6 ,求 a 的值。 (理)当 x ? a 时, f ( x) 的最小值 g (a) ? 6 ,求 a 的取值范围。

7

13.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若对任意 x ? 2 ,不等式 x ? a ? x ? a ? 2 都成立, 求实数 a 的取值范围

?

?

14、已知函数 f ( x) ? x 2 ? (c ? 1) x ? c (c ? R ) . (1)解关于 x 的不等式 f(x)<0; (2)当c=-2 时,不等式 f(x)>ax-5 在 (0,2) 上恒成立,求实数 a 的取值范围;

15、 (1)求 m ? 2 n 的值; (2) (文科做 )解关于 x 的不等式: x ? (a ? n) x ? 3ma ? 0 (a ? R) ...
2

(2) (理科做 )解关于 x 的不等式: ax ? n ? 1 ? (m ? 1) x ? 2ax( a ? 2) ...
2

8


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