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2.2.1综合法与分析法


2.2.1 综合法与分析法
五莲一中

1.综合法

综合法是从原因推导到结果的思维方法。 具体地说,综合法是从已知条件出法,经过 逐步的推理,最后达到待证结论。

1 2 3 例1.求证:log 19 ? log 19 ? log 19 ? 2 5 3 2

证明:因为

r />1 log a b ? logb a

所以 左式=log195+2log193+3log192 =log19(5×32×23)=log19360. 因为log19360<log19361=2,
1 2 3 ? ? ?2 所以 log5 19 log3 19 log 2 19

例2.如图,设四面体PABC中, ∠ABC=90°,PA=PB=PC,D 是AC的中点,求证:PD垂直于 △ABC所在的平面。

P

A

D C B

证明:连接PD,BD,因为BD是Rt△ABC 斜边上的中线, 所以 DA=DB=DC,又因为 PA=PB=PC, 而PD是△PDA、△PBD、△PCD的公共边, 所以△PDA≌△PBD≌△PCD,

于是∠PDA=∠PDB=∠PDC, 而∠PDA=∠PDC=90°, 可见PD⊥AC,PD⊥BD, 由此可知,PD垂直于△ABC所在的平面.
A D B

P

C

这个证明的步骤是: (1)由已知BD是Rt△ABC斜边上的中线, 推出DA=DB=DC,记为P0(已知)?P1; (2)由DA=DB=DC,和已知条件,推出 三个三角形全等,记为P1?P2;

(3)由三个三角形全等,推出∠PDA= ∠PDB=∠PDC=90°,记为P2?P3; (4)由∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°,推出 PD垂直于△ABC所在的平面,记为P3? P4(结论);

这个证明步骤用符号表示就是
P0(已知)?P1?P2?P3?P4(结论).

? 2、设a、b 是两个正实数, ? 且a≠b, ? 求证:a3+b3>a2b+ab2

2.分析法

分析法则是从待证结论出法,一步一步寻求 结论成立的充分条件,最后达到题设的已知 条件或已被证明的事实。

例3.求证: 3 ? 7 ? 2 5
证明:因为 3 ? 7和2 5 都是正数, 所以为了证明 3 ? 7 ? 2 5 只需证明 ( 3 ? 7)2 ? (2 5)2 展开得 10 ? 2 21 ? 20 即 21 ? 5

只需证明21<25,因为21<25成立,
所以不等式
3 ? 7 ? 2 5 成立。

分析法证明的逻辑关系是: B(结论) ? B1 ?B2 ?… ?Bn ?A(已知). 在分析法证明中,从结论出发的每一个 步骤所得到的判断都是结论成立的充分条 件,最后一步归结到已被证明的事实。因

此从最后一步可以倒推回去,直到结论,
但这个倒推过程可以省略。

例4.求证:当一个圆与一个正方形的周长 相等时,这个圆的面积比正方形的面积大 证明:设圆和正方形的周长为L,
L 2 依题意,圆的面积为 ? ( ) 2? L 2 正方形的面积为 ( ) 4 L 2 L 2 因此本题只需证明 ? ( ) ? ( ) 2? 4
2

? L L 为了证明上式成立,只需证明 ? 2 4? 16
2

?L L ? 2 4? 16
2 2

1 得 ? ? 4 L 2 L 2 因为上式是成立的,所以 ? ( ) ? ( ) 2? 4

4 两边同乘以正数 2 L

1

这就证明了如果一个圆与一个正方形的 周长相等,那么这个圆的面积比这个正方 形的面积大。

作业: 1、证明

6+ 7 ? 2 2 ? 5

3.小结: 分析法和综合法是思维方向相反的两种 思考方法。在数学解题中,分析法是从数 学题的待证结论或需求问题出发,一步一 步地探索下去,最后达到题设的已知条件。 综合法则是从数学题的已知条件出发,经 过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或 需求问题。对于解答证明来说,分析法表 现为执果索因,综合法表现为由因导果, 它们是寻求解题思路的两种基本思考方法, 应用十分广泛。


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