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高中数学(北师大版,必修2)活页规范训练:1-6-2垂直关系的性质


1-6-2 垂直关系的性质

双基达标
1.下列推理中错误的是( ).

?限时20分钟?

A.如果 α⊥β,那么 α 内所有直线都垂直于平面 β B.如果 α⊥β,那么 α 内一定存在直线平行于平面 β C.如果 α 不垂直于 β,那么 α 内一定不存在直线垂直于平面 β D.如果平面 α⊥平面 γ,平面

β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥γ 解析 因为当 α⊥β 时, α 内垂直于 α 与 β 的交线的直线垂直于 β, 不是 α 内所有 直线都垂直于 β. 答案 A 2.若 a、b 表示直线,α 表示平面,下列命题中正确的个数为( ).

①a⊥α,b∥α?a⊥b;②a⊥α,a⊥b?b∥α;③a∥α,a⊥b?b⊥α; ④a⊥α,b⊥α?a∥b. A.1 B.2 C.3 D.0

解析 由线面垂直的性质知①④正确.②中 b 可能满足 b?α,故②错误.③中 b 能与 α 相交(不垂直),也可能平行,故③不正确. 答案 B 3.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也 不垂直. 其中,为真命题的是( A.①和② B.②和③ ). C.③和④ D.②和④

解析 当两个平面相交时, 一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故① 不对; 由平面与平面垂直的判定可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直 线可以相交也可以异面,故③不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们 的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.

答案 D 4.若 α⊥β,α∩β=l,点 P∈α,P?l,则下列命题中正确的为________(只填序 号). ①过 P 垂直于 l 的平面垂直于 β; ②过 P 垂直于 l 的直线垂直于 β; ③过 P 垂直于 α 的直线平行于 β; ④过 P 垂直于 β 的直线在 α 内. 解析 由性质定理可知②错误. 答案 ①③④ 5.四棱锥 PABCD,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB=AD,四边形 ABCD 是正方 形,E 是 PD 的中点,则 AE 与 PC 的位置关系为________. 解析 由 CD⊥AE,AE⊥PD. 则 AE⊥平面 PCD,∴AE⊥PC. 答案 垂直 6.如图所示,α⊥β,CD?β,CD⊥AB,EC?α,EF?α,∠FEC=90° . 求证:平面 FED⊥平面 DCE.

证明 ∵α⊥β,CD⊥AB,α∩β=AB, ∴CD⊥α. 又∵EF?α,∴CD⊥EF. 又∵FEC=90° ,∴EF⊥EC. 又∵EC∩CD=C, ∴EF⊥平面 DCE. 又∵EF?平面 EFD, ∴平面 EFD⊥平面 DCE.

综合提高

?限时25分钟?

7.已知平面 α⊥平面 β,α∩β=l,点 A∈α,A?l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直

线 m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β

).

解析 ∵m∥α,m∥β,α∩β=l,∴m∥l. ∵AB∥l,∴AB∥m,故 A 一定正确. ∵AC⊥l,m∥l,∴AC⊥m.从而 B 一定正确. ∵A∈α,AB∥l,l?α,∴B∈α. ∴AB β,l?β.∴AB∥β.故 C 也正确.

∵AC⊥l,当点 C 在平面 α 内时,AC⊥β 成立,当点 C 不在平面 α 内时,AC⊥β 不成立.故 D 不一定成立. 答案 D 8.关于直线 m、n 与平面 α、β,有下列四个命题: ①若 m∥α,n∥β 且 α∥β,则 m∥n;②若 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n;③若 m⊥α,n∥β 且 α∥β,则 m⊥n;④若 m∥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m∥n.其中正确命 题的序号为( A.①② ). C.①④ D.②③

B.③④

解析 对于①,m、n 可以平行、相交,也可以异面,故①不正确;对于②,由 α⊥β 可知在 α 内存在直线 a⊥β,因为 n⊥β,所以 a∥n.又因为 m⊥α,所以 m⊥ a,所以 n⊥m,故②正确;对于③,由 n∥β 可知在 β 内存在直线 a∥n,因为 α ∥β 且 m⊥α,所以 m⊥β,所以 m⊥a,所以 m⊥n.故③正确;对于④,m 有可能 垂直于 n,故④不正确. 答案 D 9.已知 m、n 是空间两条相交直线,l1、l2 是与 m、n 都垂直的两条直线,直线 l 与 l1、l2 都相交,则直线 l 与 l1、l2 所成的角的大小关系是________. 解析 m 与 n 相交确定平面 α, 则 l1⊥α、l2⊥α, ∵l1∥l2, ∴l 与 l1、l2 所成的角相等. 答案 相等 10.下列五个正方体图形中,l 是正方体的一条对角线,点 M、N、P 分别为其 所在棱的中点,能得出 l⊥面 MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求

的图形序号).

解析 ①④易判断(正确),⑤中△PMN 是正三角形且 AM=AP=AN,因此,三 棱锥 APMN 是正三棱锥,故图⑤中 l ⊥平面 MNP ,由此法还可否定③ . ∵ AM≠AP≠AN,也易否定②. 答案 ①④⑤ 11.如图,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M、N 分别为 AB, DF 的中点,若 CD=2,平面 ABCD⊥平面 DCEF,求线段 MN 的长.

解 取 CD 的中点 G,连接 MG,NG.因为 ABCD,DCEF 为正方形,且边长为 2, 所以 MG⊥GD,MG=2,NG= 2. 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF,

所以 MG⊥平面 DCEF. 可得 MG⊥NG, 所以 MN= MG2+NG2= 6. 12.(创新拓展)如图,已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD =90° ,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面 PBC⊥底面 ABCD.PA 与 BD 是否相互垂 直,请证明你的结论.

解 PA 与 BD 垂直,证明如下: 如图,取 BC 的中点 O, 连接 PO、AO, ∵PB=PC,∴PO⊥BC, 又侧面 PBC⊥底面 ABCD,

∴PO⊥底面 ABCD,∴PO⊥BD, 在直角梯形 ABCD 中, 易证△ABO≌△BCD,∠BAO=∠CBD, ∠CBD+∠ABD=90° , ∴∠BAO+∠ABD=90° , ∴AO⊥BD,又 PO∩AO=O,∴BD⊥平面 PAO, ∴BD⊥PA, 所以 PA 与 BD 相互垂直.


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