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简单的线性规划


二元一次不等式组表示的平面区域
知识梳理 1.一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示 Ax ? By ? C ? 0 某侧所有点组成的 平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示区域时则包括边界, 把边界画成实线. 2. 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示的平

面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法,即画线 ---取点---判断。当 C ? 0 时,常把原点(0,0)作为测试点。

典例分析 例 1.画出 ?

?x ? 3 y ? 6 ? 0 表示的平面区域 ?x ? y ? 2 ? 0

变式.画出 ( x ? 2 y ? 1)(x ? y ? 4) ? 0 表示的平面区域

?x ? 3 ? 例 2. 用平面区域表示不等式组 ?2 y ? x 的解集. ?3x ? 2 y ? 6 ?

练习 1.由直线 x ? y ? 2 ? 0 , x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 围成的三角形区域(包括边界)用不等式可表示为. 2. 已知点 (?3, ?1) 和 (4, ?6) 在直线 ?3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是.

简单的线性规划问题

知识梳理 1. 线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数:关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫 线性目标函数. ③线性规划问题:一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规 划问题. ④可行解、可行域和最优解:满足线性约束条件的解 ( x, y ) 叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行 域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 2. 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解

课前练习 1. 目标函数 z ? 3x ? 2 y ,将其看成直线方程时, z 的意义是( ). A.该直线的横截距 B.该直线的纵截距 C.该直线的纵截距的一半的相反数 D.该直线的纵截距的两倍的相反数 ?x ? y ? 5 ? 0 ? 2. 已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( ). ?x ? 3 ? A. 6 B. ? 6 C.10 D. ? 10 3.在如图所示的可行域内, 目标函数 z ? x ? ay 取得最小值的最优解有无数个, 则 a 的一个可能值 ( ) .

y

C(4,2)

A(1,1) O A. ? 3 B.3 C. ? 1

B(5,1)

x
D.1

典例分析 第Ⅰ类 求线性目标函数的最值( z ? ax ? by 截距型)

? x ? 4 y ? ?3 ? 例 1.设 x,y 满足约束条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z ? 5x ? 2 y 的最值 ? x ?1 ?

? x ? y ≥ 0, ? 练习:1、若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?0 ≤ x ≤ 3, ?
? y?x ? 2、设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? 3x ? 6 ?
第Ⅱ类 求可行域的面积 关键是准确画出可行域,根据其形状来计算面积,基本方法是利用三角形面积,或切割为三角形

? x ? y ? 2 ? 0, ? 例 2.不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是 ( ?x ? 2 ?
(A)4 2

)

(B)4

(C)2 2

(D)2

?2 x ? 3 y ? 6, ? 练习:1、不等式组 ? x-y ? 0, 表示的平面区域的面积为 ? y ? 0. ?



?x ? 0 4 2、若不等式组 ? ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两部分,则 k 的值 3 ?3 x ? y ? 4 ?


?x ? y ?1 ? 0 ? 3、在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( ? 为常数)所表示的平面区域内的面积等于 2, ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
则 a 的值为

第Ⅲ类

距离型目标函数

2 2 目标函数形式为“ z ? x ? y , z ?

x 2 ? y 2 , z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ” 。

?x ? y ≤ 3 2 2 例 3. 设 x 、 y 满足条件 ? ? y ≤ x ? 1 ,则 z ? ( x ? 1) ? y 的最小值 ?y≥0 ?



? x ? 2 y ? 10 ? 2x ? y ? 3 ? 练习 1.设 D 是不等式组 ? 表示的平面区域,则 D 中的点 P( x, y) 到直线 x ? y ? 10 距离的最大 0 ? x ? 4 ? ? ? y ?1
值_.

?x ? 1 ?y ?1 ? 2、若 M , N 是 ? 表示的区域内的不同 两点,则 | MN | 的最大值是。 .. ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? y ? 6
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 3、如果点 P 在平面区域 ? x ? y ? 2 ? 0 上,点 Q 在曲线 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1上, 那么| PQ | 的 最小值为 ? 2y ?1 ? 0 ?
? x ? 1, ? 4、已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x 2 ? y 2 的最小值是. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

第Ⅳ类

斜率型目标函数:

目标函数为

y y ? y1 型的,几何意义是可行域内的点与定点(0,0),( x1 , y1 )连线的斜率 , x x ? x1

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 例 4.设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值是 . x ?2 y ? 3 ? 0 ? ?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 练习:1、 设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 取值范围是 x ? 1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ? ? y?x y ?1 ? 2、设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 最小值为 x ? y ? 3x ? 6 ?

第Ⅴ类

参数问题

例 5.设二元一次不等式组 ?

? x ? 2 y ? 19 ≥ 0, ? x ? y ? 8 ≥ 0, ?2 x ? y ? 14 ≤ 0 ?

所表示的平面区域为 M ,使函数 y ? a x (a ? 0,a ? 1) 的图象过

区域 M 的 a 的取值范围是( A. [1 , 3]

) C. [2, 9] D. [ 10, 9]

B. [2,10]

? y ≥ 1, ? 1.已知实数 x, y 满足 ? y ≤ 2 x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?1 ,则实数 m 等于 ? x ? y ≤ m. ?
? x ? y ≥ ?, 2、若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 ?2 x ? y ≤ 2, ? y ≥ 0 , ? ?x ? y ≤ a ?

?x ? y ?1 ? 0 ? 3、在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示的平面区域内的面积等于 2, ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
则 a 的值为( A.-5 ) B.1 C.2 D.3 )

4、 已知 D 是由不等式组 ? A.

?x ? 2 y ? 0 , 所确定的平面区域, 则圆 x2 ? y 2 ? 4 在区域 D 内的弧长为 ( ?x ? 3y ? 0
C.

? 4

B.

? 2

3? 3? D. 4 2

? y ? 2x ? 0 5、 若mx ? y在区域 ? ?2y ? x ? 0 内取得最大值的最优解有无穷个 ,则 m 的值为 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
6. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3000 元、2000 元. 甲、乙产品都需要在 A、 B 两种设备上加工,在每台 A、B 设备上加工 1 件甲设备所需工时分别为 1h、2h,加工 1 件乙和设备所需 工时分别为 2h、1h,A、B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400h 和 500h. 如何安排生产可使收入最 大?

作业(共 75 分,限时 40 分钟)
1. (5 分)不等式 2 x ? y ? 4 ? 0 表示的平面区域在直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的( A.左上方 B.右上方 C.左下方 D.右下方 )

?x ? y ? 3 ? 2.(5 分)设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 .则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为( ?2 x ? y ? 3 ?
A.6 B.7 C.8 D.23



3.(5 分)给出平面区域(包括边界)如图所示,若使目标函数 z ? ax ? y(a ? 0) 取得最大值 的最优解有无穷多个,则 a 的值为( A.

y


C (1,

1 4

C. 4

3 5 5 D. 3
B.

22 ) 5

A(5, 2)

? x ? y ? 5 ≥ ?, ? 4.(5 分)若不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( ?0 ≤ x ≤ 2 ?
A. a ? 5 B. a ≥ 7 C. 5 ≤ a ? 7 D. a ? 5 或 a ≥ 7

O

B(1,1)

x



5.(5 分)原点和点 (1,1) 在直线 x ? y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是 6.(5 分)已知f ? x ? ? px ? q 且 ?4 ? f ?1? ? ?1, ?1 ? f ? 2? ? 5 ,则 f ? 3?的范围为
2

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 7.(5 分)设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?
8.(5 分)不等式 x ? 2 y ? 2 所表示的平面区域的面积为

?3 x ? 2 y ? 10 ? x ? 4 y ? 11 ? 9.(10 分)设变量 x , y 满足条件 ? , 求 S=5x+4y 的最大值. ? x, y ? Z ? ? x ? 0, y ? 0

x+y-3≥0, ? ? 10.(25 分)已知实数 x,y 满足?x-y+1≥0, ? ?x≤2, (1)若 z=2x+y,求 z 的最大值和最小值;

(2)若 z=2x-y,求 z 的最大值和最小值;

(3)若 z=x +y ,求 z 的最大值和最小值;

2

2

y (4)若 z= ,求 z 的最大值和最小值. x

(5)若 z=

y?x ,求 z 的最大值和最小值 x


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