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初高中数学衔接知识点专题(一)


初高中数学衔接知识点专题(一)
★ 专题一 数与式的运算 【要点回顾】 1.绝对值 [1]绝对值的代数意义: [2]绝对值的几何意义: [3]两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示 [4] 两 个 绝 对 值 不 等 . 式 : . 即 | a |? 的距离. 的距离. .

A 具有下列性质: (1) ; (2) . B A A m?n?

p [2]繁分式 当分式 的分子、分母中至少有一个是分式时, 就叫做繁分式,如 , 2m B B n? p
式 说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. [3]分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都 乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母 的有理化因式,化去分子中的根号的过程 【例题选讲】 例 1 解下列不等式: (1) x ? 2 ? 1 (2)(x+2)2>0.

| x |? a(a ? 0) ?



| x |? a(a ? 0) ?

2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: [1]平方差公式: [2]完全平方和公式: [3]完全平方差公式: 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: [公式 1] (a ? b ? c)2 ? [公式 2] [公式 3] 说明:上述公式均称为“乘法公式”. 3.根式 [1]式子 a (a ? 0) 叫做二次根式,其性质如下: (1) ( a )2 ? ; (2) ; ; . 例 2 计算: (1) ( x ? 2 x ? )
2

1 3

2

(2) ( m ?

1 5

1 1 1 1 n)( m 2 ? mn ? n 2 ) 2 25 10 4

? a3 ? b3 (立方和公式) ? a3 ? b3 (立方差公式)

a2 ?

; (3)

ab ?

; (4)

b ? a



(3) (a ? 2)(a ? 2)(a ? 4a ? 16)
4 2

(4) ( x ? 2xy ? y )( x ? xy ? y )
2 2 2

2 2

[2] 平 方根 与算术平 方根的 概念:

叫 做 a 的平 方根,记作 叫做 a 的立方根,记为

x ? ? a (a ? 0) ,其中 a (a ? 0) 叫做 a 的算术平方根.
[3] 立方根的概念:

x? a
3

4.分式 [1]分式的意义 形如

A A 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式.当 M≠0 时,分 B B

例 3 已知 x2-3x+1=0,求 x ?
3

1 的值. x3

-1-

例 4 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数): (1)

3 2? 3

(2)

(1 ? x) 2 ? (2 ? x) 2 ( x ? 1)

2. 设 x

?

1 1 x 2 ? xy ? y 2 ,求代数式 的值. ,y? x? y 3?2 3?2

(3)

1 1 ? a b

(4) 2

x ? x3 ? 8 x 2

3. 当 3a

2

? ab ? 2b2 ? 0(a ? 0, b ? 0) ,求 a/b 的值.

例5 设x?

2? 3 2? 3 ,求 x2-y2 的值. ,y? 2? 3 2? 3
4.化简或计算: (1) ( 18 ? 4

1 1 3 ? )? 2 3 2? 3

(2) 2

2 1 ? 2 ? (2 ? 5)2 ? 3 5?2

例 6 化简:

x 1? x x? 1 x? x
a b a?b ? ? ab ? b ab ? a ab

(3)

【巩固练习】
1. 解不等式

|x-3|>2

-2-

●专题一数与式的运算参考答案(有部分题目有改变)
例 1 (1)解法 1:由 x ? 2 ? 0 ,得 x ? 2 ; ①若 x ? 2 ,不等式可变为 x ? 2 ? 1 ,即 x ? 3 ; ②若 x ? 2 ,不等式可变为 ?( x ? 2) ? 1 ,即

例 5 解: (1)原式=

? x ? 2 ? 1 ,解得: x ? 1 .综上所述,原不等式的解为 1 ? x ? 3 .
解法 2: x ? 2 表示 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离,所以不等式 x ? 2 ? 1的 几何意义即为 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离小于 1, 观察数轴可知坐标为 x 的 点在坐标为 3 的点的左侧,在坐标为 1 的点的右侧.所以原不等式的解为 1 ? x ? 3 . 解法 3: x ? 2 ? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3 ,所以原不等式的解为 1 ? x ? 3 . (2)解法一:由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ;由 x ? 3 ? 0 ,得 x ? 3 ; ① 若 x ? 1 ,不等式可变为 ?( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 ?2 x ? 4 >4,解得 x<0,又 x<1,∴ x<0; ② 若 1 ? x ? 2 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 1>4,∴ 不存在满足条件的 x; ③ 若 x ? 3 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 2 x ? 4 >4, 解得 x>4.又 x≥3,∴ x>4. 综上所述,原不等式的解为 x<0,或 x>4. 解法二:如图, x ? 1 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离|PA|,即|PA|=|x -1|;|x-3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3|. 所以,不等式 x ?1 ? x ? 3 >4 的几何意义即为|PA|+|PB|>4.由|AB|=2, P 可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧. 所以原不等式的解为 x<0,或 x>4. 例 2 ( 1 ) 解 : = [ x ? (? 2 x) ? ] ? ( x ) ? (? 2 x) ? ( ) ? 2 x ( ? 2) x ? 2 x ?
2 2 2 2 2 2 2 2

3(2 ? 3) 3(2 ? 3) ? ? 6?3 3 22 ? 3 (2 ? 3)(2 ? 3) ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 x ? 3 ( x ? 2) (2)原式= | x ? 1| ? | x ? 2 |? ? ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 1 (1 ? x ? 2)

说明:注意性质 a 2 ?| a | 的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分 类讨论.

|x-3| C 0 |x-1| A 1

a?b a 2b ? ab2 ? ab ab 2x (4) 原式= 2 ? x ? x 2 ? 2 ? 22 x ? 2 x ? x x ? 2 2 x ? 3 2 x ? x x 2? 2 2 ? 3 (2 ? 3)2 例 6 解: x ? ? ? 7 ? 4 3, y ? 7 ? 4 3 ? x ? y ? 14, xy ? 1 22 ? 3 2? 3 2 2 2 2 原式= ( x ? y)( x ? xy ? y ) ? ( x ? y)[( x ? y) ? 3xy] ? 14(14 ? 3) ? 2702
(3)原式=

x

说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的 B D 结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量. 【巩固练习 】 x 3 4 1. ?4 ? x ? 3 5 6. ?1? ? 3 , ? 2 ? 2. ?

原 图 1.1- 式 1

13 3 6


3. ?3 或 2

4. 3 ? 5

1 3

1 3

1 1 ? 2 ? ? ( ? 2 x) 3 3

? x4 ? y 4 ? z 4 ? 2 x2 y 2 ? 2 x2 z 2 ? 2 y 2 z 2

8 2 2 1 ? x 4 ? 2 2 x 3? x 2? x? 3 3 9
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列.

x? y 4 3 , ? 3? , ? 4? b ? a 3 y

1 3 1 3 1 3 1 3 m ? n 5 2 125 8 2 4 2 2 (3)原式= (a ? 4)(a ? 4a ? 4 ) ? (a2 )3 ? 43 ? a6 ? 64
(2)原式= ( m) ? ( n) ? (4)原式= ( x ? y) ( x ? xy ? y ) ? [( x ? y)( x ? xy ? y )] ? ( x ? y ) ? x ? 2 x y ? y
2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 6 3 3 6

例 3 解:

x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ? x ? 0 ? x ?

1 ? 3 x

1 2 1 1 1 ) ? ( x ? )[( x ? ) 2 ? 3] ? 3(32 ? 3) ? 18 2 x x x x 例 4 解: a ? b ? c ? 0,? a ? b ? ?c, b ? c ? ?a, c ? a ? ?b
原式= ( x ? )( x ? 1 ?

? 原式= a ?

b?c a?c a ? b a(?a) b(?b) c(?c) a 2 ? b2 ? c2 ?b? ?c? ? ? ? ?? bc ac ab bc ac ab abc 3 3 2 2 3 a ? b ? (a ? b)[(a ? b) ? 3ab] ? ?c(c ? 3ab) ? ?c ? 3abc 3abc ? ?3 ? a3 ? b3 ? c3 ? 3abc ② ,把② 代入① 得原式= ? abc



-3-


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