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2015年高考第一轮复习数学:14.2 导数的应用

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14.2 导数的应用 ●知识梳理 1.函数的单调性 (1)设函数 y=f(x)在某个区间内可导,若 f′(x)>0,则 f(x) 为增函数;若 f′(x)<0,则 f(x)为减 函数. (2)求可导函数单调区间的一般步骤和方法. ①确定函数 f(x)的定义区间. ②求 f′(x),令 f′(x)=0,解此方程,求出它在定义区间内的一 切实根. ③把函数 f(x)的间断点〔即包括 f(x)的无定义点〕的横坐 标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间. ④确定 f′(x)在各小开区间内的符号,根据 f′(x)的符号判 定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性. 2.可导函数的极值 (1)极值的概念 设函数 f(x)在点 x 0 附近有定义,且若对 x0 附近所有的点都有 f (x)<f(x0) (或 f(x)>f(x0) ),则称 f(x0)为函数的一个极大 (小)值,称 x0 为极大(小)值点. (2)求可导函数 f(x)极值的步骤. ①求导数 f′(x). ②求方程 f′(x)=0 的根. ③检验 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右的符号,如果在根 的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数 y=f(x)在这个根处取得极 大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数 y=f (x) 在这 个根处取得极小值. 3.函数的最大值与最小值 (1)设 y=f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b) 内有导数,求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,可分两步进 行. ①求 y=f(x)在(a,b)内的极值. ②将 y=f(x)在各极值点的极值与 f(a) 、f(b)比较,其中最大 的一个为最大值,最小的一个为最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调增加,则 f(a)为函数的最 小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(a)在[a,b]上单调递减,则 f (a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 特别提示 我们把使导函数 f′(x)取值为 0 的点称为函数 f(x)的驻点, 那么 (1) 可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的 “可导” 两字是必不可少的.例如函数 y=|x|在点 x=0 处有极小值 f (0) =0,可是 我们在前面已说明过,f′(0)根本不存在,所以点 x=0 不是 f(x)的 驻点. (2)可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函 数 f(x)=x3 的导数是 f′(x)=3x2,在点 x=0 处有 f′(0) =0,即点 x=0 是 f(x)=x3 的驻点,但从 f(x)在(-∞, + ∞)上为增函数可知,点 x=0 不是 f(x)的极值点. ●点击双基 1. ( 2005 年海淀区高三第一学期期末模拟) 函数 y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数 π 3π , ) 2 2 3π 5π C.( , ) 2 2 A.( 当 x∈( B.(π ,2π ) D.(2π ,3π ) 解析:y′=(xsinx+cosx)′=sinx+xcosx-sinx=xcosx, 3π 5π , )时,恒有 xcosx>0. 2 2 答案:C 2.函数 y=1+3x-x3 有 A.极小值-2,极大值 2 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-1,极大值 1 D.极小值-1,极大值 3 解析:y′=3-3x2=3(1+x) (1-x). 令 y′=0 得 x1=-1,x2=1.

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