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2.3.1线面角


1.平面的斜线
如图,若一条直线PA和一个平面α 相交,但不 垂直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线, 斜线和平面的交点A叫做斜足。
斜线 P 斜足 A

?

2.直线与平面所成角
过斜线上斜足外一点向平面引垂线,连结垂足和 斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影. 我们把平面的一条斜线和它在平面上的

射影所成 的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
P
垂线 斜足

斜线

α

A

射影

B

垂足

特别地,当一条直线与平面垂直时,规定它们所成 的角为90°;当一条直线和平面平行或在平面内时, 规定它们所成的角为0°.

思考:直线与平面所成的角的 取值范围是什么?

[0 ,90 ]

?

?

斜线和平面所成的角,简称“线面角”, 它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角,一般先定斜足, 再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解, 一作(作出线面角)二证(证所作为所求) 三求(解直角三角形)”.
通常,过斜线上某个特殊点作出平面的垂线, 并连接垂足和斜足是产生线面角的关键.

例题1 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求 (1)直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。

(2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
D1 A1
C1

B1

O
D C B

A

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1

D

C

A

B

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

线段B1O

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1

D
O

C

A

B

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1
E

线段B1E
D1 B1 C1

D

C

A

B

巩固练习
2.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)AB1在面BB1D1D中的射影

(2)AB1在面A1B1CD中的射影
(3)AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1

线段C1D
C1 B1

D

C

A

B

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角 0o

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

D

C

A

B

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

D

C

A

B

巩固练习
3.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角 45o
D1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角

A1

D

C

A

B

巩固练习
3如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1
E

C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角
A1

30o

D

C

A

B

例2,如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是 正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC 的中点 (1)证明:PA//面EDB

(2)求EB与底面ABCD所成角的正切值
P

E B

C
D

A

2、过ΔABC所在平面α外一点P, 作PO ? α, 垂足为O, 连接PA,PB,PC.

外 (1)若PA ? PB ? PC, 则O是?ABC的 _____心.

(2)若PA ? PB, PB ? PC, PC ? PA, 则O是?ABC 垂 的 _____心.

(3)若P到AB, BC, CA三边距离相等 O是?ABC ,则 内 的 _____心. (4)若P到AB, BC, CA三边中点的距离相等 O ,则 重 是?ABC的 _____心.

5、如图:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、 N分别是AB、PC的中点 (1)求证:PD⊥CD (2) 求证:MN⊥CD ? P (3)若∠PDA= 45 , F 求证:MN⊥平面PCD。
A M N

D

E
B C

2、 已 知 直 线 是 平 面 的 斜 线 , ? ? , 则 当 a ? b
? ?

a与b成60 角 , 且 与a在?内 的 射 影 成 时 , b 45 a与?所 成 的 角 是 。
A

a
C

?

O

b

B

变 式 、 已 知 平 面的 两 点 , B到 平 面 的 距 离 分 别 ? A ? 为1 2, 且A, B两 点 在 平 面 内 的 射 影 间 的 距 离 为 , 之 3, 求 直 线 和 平 面 所 成 的 角 AB ? .
B

B
A
H

C

A?

O

?

A?

B?

?

B?

A

3、在正方体AC1中,O为下底面的中心,B1H ⊥D1O 求证:(1)AC⊥面D1B1BD (2)B1H⊥面D1AC A1
H

D1 B1

C1

D
A

C
O

B

4、如图:ABCD为直角梯形,且满足 ? ∠DAB=∠ABC= 90,AB=BC=PA=a, AD=2a,PA⊥平面ABCD. 求证:PC⊥CD. P

A
D

B

C

归纳小结
1.直线与平面垂直的概念 2. 线面角的概念及范围 3.直线与平面垂直的判定
? 90 ? 范围:0?, ? ? ?

(1)利用定义;垂直于平面内任意一条直线
(2)利用判定定理.

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线面垂直


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