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三角函数恒等变形及解三角形练习题及答案


三角函数恒等变形及解三角形练习题
一 选择题 ? ? 1.若 ? ? ( , ? ), 且 cos 2? ? sin( ? ? ) ,则 sin 2? 的值为 ( ) 2 4 1 1 A. ? B. C. 1 D. ?1 2 2 ? ? ? 1 ? ? 3 ? 2. 若 0 ? ? ? , ? ? ? ? 0, cos( ? ? ) ? , cos( ? ) ? , 则

cos(? ? ) ? ( 2 2 4 3 4 2 3 2 3 3 5 3 6 A. B. ? C. D. ? 3 3 9 9 3. 在 ?ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60? ,则 cos B 等于( A. ?
2 2 3

A. 2 二 填空题

B. 2 2

C. 3 2

D. 2

9. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, 2a sin A ? (2b ? 3c)sin B ? (2c ? 3b)sin C, 则
角 A 的大小为



10. 在 ?ABC 中,若 ?a 2 ? c 2 ? b2 ?? tan B ? 3 ? ac ,则角 B=
1 5 3 π π 11.已知 cos α= ,sin(α+β)= ,0<α< ,0<β< ,则 cos β= 7 14 2 2

)

12.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 2,b=2,sinB+ cosB= 2,则角 A 的大小为 ) 三 解答题 13. 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 是 a, b, c . 已 知 a ? 3 , cos A ?
B ? A?

B.

2 2 6 6 C. ? D. 3 3 3

4.在△ABC 中, a ? 2, A ? 45? ,若此三角形有两解,则 b 的范围为( A. 2 ? b ? 2 2 B.b > 2 C.b<2 D. 1 ? b ? 2 2

5. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则得到的这个新三角形的形状为 ( ) B.直角三角形 D.由增加的长度决定

6 , 3

A.锐角三角形 C.钝角三角形

. 2 (1)求 b 的值; (2)求 ?ABC 的面积.

?

6.若 ?ABC 的三个内角 A,B,C 满足 6sin A ? 4sin B ? 3sin C ,则 ?ABC ( ) A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2+b2=2c2,则 cos C 的最小值为( A. 3 2 B. ) 2 2 C. 1 2 D.- 1 2
1 14.已知向量 m ? (sin x, ?1) ,向量 n ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? (m ? n) ? m . 2 (1)求 f ( x) 的最小正周期 T ;

8. 设函数 f ( x) ? ln x 的定义域为 ( M , ??) ,且 M ? 0 ,且对任意 a, b, c? ( M ,?? ),若
a, b, c 是直角三角形的三边长,且 f (a), f (b), f (c) 也能成为三角形的三边长,则 M 的

(2)已知 a ,b ,c 分别为 ?ABC 内角 A ,B ,C 的对边, A 为锐角,a = 2 3 ,c = 4 , ? ?? 且 f ( A) 恰是 f ( x) 在 ?0, ? 上的最大值,求 A , b 和 ?ABC 的面积 S .
? 2?

最小值为

(

)
1

? ? (Ⅱ)已知 ?ABC 外接圆半径 R ? 3 , f ( A ? ) ? f (B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A, B 所
4 4

15.在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, 且 3a ? 2c sin A ? 0 . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 2, 求 a ? b 的最大值.

1 1 对的边分别是 a , b ,求 ? 的值. a b

19.在 ?ABC 中, 16.已知 f ?x ? ? m? n ,其中 m ? sin ?x ? cos?x, 3 cos?x ,n ? ?cos?x ? sin ?x,2 sin ?x ? ,且 ? ? ? 0 ,若 f ?x ? 相邻两对称轴间的距离不小于 。 2 (1)求 ? 的取值范围. (2)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 3 , b ? c ? 3 , 当 ? 最大时, f ? A? ? 1,求 ?ABC 的面积.
? ?

?

?

?

?

sin A ? sin B 2 sin A ? sin C ? sin( A ? B) sin A ? sin B
(2)若 tan A ?
4 ,求 sin C 的值 3

(1)求角 B

b= 20.已知向量 a = ( cos ? x,sin ? x ) , ( cos?x , 3 cos?x ) , ? ? 0 ,函数 f ( x) ? a ? b ?
其最小正周期为 ? . (1)求函数 f ( x) 的表达式及单调递增区间;
、 C所 对 的 边 分 别 是 a、 b 、 c, 设 向 量 m ? ( a, b), 17. 已 知 ?ABC 的 角 A、 B

1 , 2

n ? (sin A,cos B) , p ? (1,1) .

A (2)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,S 为其面积,若 f ( ) =1, 2

(I)若 m ∥ n ,求角 B 的大小; (II)若 m ? p ? 4 ,边长 c ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值.

b=l,S△ABC= 3 ,求 a 的值.

18.已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x , (m ? 0) 的最大值为 2. (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 ?0, ? ? 上的值域;
2

答案 1. A 2. C 3. D 4. A ∵在△ABC 中,a=2,A=45° ,且此三角形有两解, a b ? ∴由正弦定理 =2 2 ,∴b=2 2 sinA,B+C=180° -45° =135° , sin A sin B
由 B 有两个值,得到这两个值互补, 若 B≤45°,则和 B 互补的角大于等于 135° ,这样 A+B≥180°,不成立; ∴45° <B<135° ,又若 B=90,这样补角也是 90° ,一解, ∴

12.


? 6

解析:由 sinB+cosB= 2得 1+2sinBcosB=2,即 sin2B=1,因为 0<B<π ,所以 B

π 2 2 1 .又因为 a= 2, b=2, 所以在△ABC 中, 由正弦定理得 = , 解得 sinA= .又 a<b, 4 sinA π 2 sin 4

? π 所以 A<B= ,所以 A= . 4 6
13. (1) b = 3 2 ; (2) 14. (1) ? ;(2) A ?
3 2 2
3
,b ? 2 , S ? 2 3

2 <sinB<1,b=2 2 sinB,则 2<b<2 2 ,故选:A. 2
2 2 2

?

5. A

解析:解:设增加同样的长度为 x,原三边长为 a、b、c,且 c =a +b ,c 为最大边; 新的三角形的三边长为 a+x、b+x、c+x,知 c+x 为最大边,其对应角最大. 2 2 2 2 而(a+x) +(b+x) -(c+x) =x +2(a+b-c)x>0,

解析:(1) f ( x) ? (m ? n) ? m ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?

1 2

? a ? x ? ? ?b ? x ? ? ?c ? x ? 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦= 2 ? a ? x ?? b ? x ?
2 2

2

? 0 则为锐角,那么它

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? ?1? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 2 2 2 6
2? ?? 2

为锐角三角形.故选 A

6. C 8. A
2

7. C
解 析 : 不 妨 设 c 为 斜 边 , 则 M ? a ? c, M ? b ? c
2 2 2 2 2

因为 ? ? 2 ,所以 T ?

, ? ab ? M 由 题 意 可 得
2

(2) 由(1)知: f ( A) ? sin(2 A ? 由正弦函数图象可知,当 2 x ?

?
6

)?2 2

当 x ? [0,

?
2

] 时, ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

?
6

?a ? b ? c ?a ? b ? c ?? ? b ? lc n ?ab ? c ?l n a ? l n

?

?

时 f ( x) 取得最大值 3 。 所以 2 A ? ∴ 12 ? b 2 ? 16 ? 2 ? 4b ?

?
6

5? 6

?

?

a 2 ? b2 ? 2ab ? 2c ?c2 ? 2c 即 c ? 2

2

,A?

?
3

由余弦定理, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 从而 S ?

1 ∴b ? 2 2

?ab ? 2, M 2 ? 2 即 M ? 2 所以选 A.
9. 11. 150° 1/2 10.

? 2? 或 3 3

1 1 bc sin A ? ? 2 ? 4sin 60 ? 2 3 2 2
π (Ⅱ)4 3

. π 1 π 1

15. (Ⅰ)

解析: ∵0<α<2且 cos α=7<cos 3=2,

(Ⅰ)由 3a-2csin A=0 及正弦定理,得 3sin A-2sin Csin A=0(sin A≠0), ∴sin C= 3 π ,∵△ABC 是锐角三角形,∴C= 2 3

π π π π 5 3 3 2π ∴ <α< ,又 0<β< ,∴ <α+β<π,又 sin(α+β)= < ,∴ <α+β<π. 3 2 2 3 14 2 3 11 4 3 ∴cos(α+β)=- 1-sin2?α+β?=- ,sin α= 1-cos2α= .∴cos β=cos[(α+β)-α] 14 7 1 =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α= . 2

π π 2 2 2 2 (Ⅱ)∵c=2,C= ,由余弦定理,a +b -2abcos =4,即 a +b -ab=4 3 3 ∴(a+b) =4+3ab≤4+3·?
2

?a+b?2,即(a+b)2≤16, ? ? 2 ?

∴a+b≤4,当且仅当 a=b=2 取“=”故 a+b 的最大值是 4.
3

16. (1) 0 ? ? ? 1 (2)

3 2

m2 ? 2=2 .

f ?x? ? ?sin ?x ? cos?x? ? ?cos?x ? sin ?x? ? 2 3 sin ?x ? cos?x

? π ?π ? 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x) ? 2sin( x ? ) . 在 [0, ] 上递增.在 ? , π ? 递减, 4 ?4 ? 4
所以函数 f ( x) 在 ?0,π? 上的值域为 [? 2 ,2] ;
π π (2)化简 f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin Asin B 得 4 4
sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B .

?? ? ? 3 sin 2?x ? cos2?x ? 2 sin ? 2?x ? ? 6? ? ? ? k? ? k?z ? 对称轴为 2?x ? ? k? ? , k ? z ∴x ? 6 2 2? 6? 2? ?? (1)由 T ? ? 得 得0 ? ? ?1 2? ?? ? (2)由(1)知 ? ? 1 ∴ f ?x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 6? ? ? ?? ? ∵ f ? A? ? 1 ∴ 2 sin ? 2 A ? ? ? 1 ∵ A ? ?0,? ? ∴A? 3 6? ? 2 2 2 b ?c ?a 1 9 ? 2bc ? 3 ? bc ? 2 由 cos A ? 得 ? 2 2bc 2bc
∴ S?ABC ?

由正弦定理,得 2R ? a ? b ? ? 2 6ab ,因为△ABC 的外接圆半径为 R ? 3 . a ? b ? 2ab . 所以

1 1 ? ? 2 a b

19.(1) B ?

?
4

; (2)

7 2 10

1 3 bcsin A ? 2 2

17.解析: (1)∵ m ∥ n ? a cos B ? b sin A ? 2 R sin A cos B ? 2 R sin B sin A ,

? cos B ? sin B,? tan B ? 1.

B ? ? 0, ? ? ? B ?

?
4

(2)由 m ? p ? 4 得 a ? b ? 4 ,

a?b 2 ) ? 4 (当且仅当 a ? b ? 2 时等号成立) , 2 a?b 2 3 2 2 1 3 1 a 2 ? b2 ? ( ) (a ? b ) ? ab ab ? ab 2 2 a ?b ?4 2 2 ?2 2 ? 1, 又 cos C ? ? ?4 2ab 2ab 2ab 2ab 2 π 3 ] (当且仅当 a ? b ? 2 时等号成立) 所以 C ? (0, ] ,从而 sin C ? (0, , 3 2 1 1 3 ? 3, 于是 SΔABC ? ab sin C ? ? 4 ? 2 2 2 即当 a ? b ? 2 时, ?ABC 的面积有最大值 3 .
由均值不等式有 ab ? (

?? ? ?? ? ? 20. (1) f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ,单调递增区间为 ?k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? ; 6? 3 3? ? ? (2) a ? 13 . 1 1 ?? ? 解析:(1) 因为 f ? x ? ? a ? b ? ? cos 2 ? x ? 3 sin ? x cos ? x ? ? sin ? 2? x ? ? ,因为 2 2 6? ? 2? ?? ? ?? , 得 ? ?1 , 所 以 f ? x 最小正周期为 ? ,所以 2 x ? ? ,由 ??s i n ? 2? 6? ? ? ? ? ? ? 2k? ? ? 2 x? ? 2? k ? , 得 k? ? ? x ? k? ? , 所 以 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 2 6 2 3 3 ? ?? ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? ; ? 3 3? ? ? ? ? ? ? ?A ? ? ? ? ?7 ? ? (2) 因 为 f ? , 则 A? , ? ? ? , , ?所 以 A ? ? , A ? ?? s i n ? ?? 1A 6 2 3 6 ?2 ? ? 6 ? ?6 6 ?
1 1 3 bc s i n? A ? 1 ? c? 2 2 2 ?,得 3 c=4,所以 a ? 1 ? 16 ? 2 ?1? 4 ? cos

?
3

? 13 .

18. (1) [? 2 ,2] (2)

1 1 ? ? 2 解析: (1)由题意, f ( x) 的最大值为 m2 ? 2 ,所以 a b
4


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