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圆方程的各种形式


圆方程的各种形式
视频文件名:gao2shus09 学习提示 课前自测 学 习 内 容 若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆 的标准方程是(
2

学生姓名: 要点记录 好题收藏 H 错题收藏 C


2

7? ? A. (

x ? 3) ? ? y ? ? ? 1 3? ?
C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 归纳释疑
00:00~25:02

B. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

D. ? x ?

? ?

3? 2 ? ? ( y ?1) ? 1 2?

2

一、圆方程的各种形式 (1)标准式: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 . 圆心 C( a,b) ,半径为 r (2)一般式: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F ? 0 );
2 2

圆心( ?

1 D E ,半径 r ? D 2 ? E 2 ? 4F ,? ) 2 2 2

A?C ?0 ? 注:方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆 ? ? B?0 ? ? D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 ?
(3)参数式: ?

? x ? a ? r cos? , ? 为参数) ( ? y ? b ? r sin ?

(4)直径式: ( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ( x1 , y1 )( x2 , y2 )是 、 圆直径的端点 典例剖析
25:02~36:51

例 1 求过点 A(2,0)和 B(3,-2) ,且圆心在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上,求圆的方 程。

--------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------即时反馈 1.求过点 M (5, 2), N (3, 2) 且圆心在直线 y ? 2 x ? 3 上的圆的方程。

1

---------36:51~45:54

--------------------------------------------------------------------------------------------------------例 2 已知圆在 x 上的截距分别为-1、3,在 y 轴上的截距为-2, ,求圆的方程.

----------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------即时反馈 2.已知圆 C 的圆心与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点关于直线 y ? x 对称.直线

4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为

圆方程的各种形式练习
视频文件名: 学习提示 课堂练习
00:00~:

学生姓名: 学 习 内 容 一、巩固提高 1.曲线 C : ? 要点记录 好题收藏 H 错题收藏 C )

? x ? cos? ? 1. ( ? 为参数)的普通方程为( y ? sin ? ? 1 ?

A. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 C. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

B. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

2.若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 ? 数 m 的取值范围是

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数)没有公共点,则实 ? y ? ?2 ? sin ?


3.圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) ,则圆 . --------------------------------------------------------------------二、能力提升 4.已知圆 C 的半径为 2 ,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为( A. x ? y ? 2x ? 3 ? 0
2 2

C 的方程为

----------00:00~:

) B. x ? y ? 4 x ? 0
2 2

C. x ? y ? 2x ? 3 ? 0
2 2 2 2

D. x ? y ? 4 x ? 0
2 2

5.以点(2,-2)为圆心并且与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 相外切的圆方程 A. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 9
2 2

B. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 9
2 2

C. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 16
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 16
2 2

2

6.圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是(
2 2 A. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ?



1 2

2 2 B. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ?

1 2

C. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

D. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

7. 已知圆的半径为 2, 圆心在 x 轴的正半轴上, 且圆与直线 3 x + 4 y +4 = 0 相切, 求圆的标准方程 8.由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1引两条切线 PA, PB ,切点分别为

A, B, ?APB ? 600 ,求动点 P 的轨迹方程
9.求过点 A ?1, 2 ? 和 B ?1,10? 且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的圆的方程。 答案 课前自测:B 即时反馈 1: ( x ? 4) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 10;解:设圆心为 ( x, y ) ,而圆心在线段 MN 的垂直平分线 x ? 4 上, 即?

?x ? 4 , 得圆心为 (4,5) , r ? 1 ? 9 ? 10 ? y ? 2x ? 3

?( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 10

即时反馈 2: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 10 课堂练习 巩固提高:1.C; 2. (?? , 0) ? (10 , ? ?)

3. ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 ;解析: 圆心既在线段 AB 的垂直平分线即 y ? ?3 ,又在 2 x ? y ? 7 ? 0 上, 即圆心为 (2, ?3) , r ? 5 ,所以圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 5
2 2

能力提升:4.D;解析:设圆心为 (a, 0), (a ? 0), 5.B 6.C;

3a ? 4 ? 2, a ? 2, ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,故选 D 5

7. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ;

8. x2 ? y 2 ? 4 ;解析:由于 OP ? 2 ,所以方程为 x2 ? y 2 ? 4
2 2 2 2 9. ( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 20 或 ( x ? 7) ? ( y ? 6) ? 80 ;解:圆心显然在线段 AB 的垂直平分线 y ? 6 上,设

2 2 2 2 2 2 ) 圆 心 为 ( a , 6 , 半 径 为 r , 则 ( x ? a) ? ( y ? 6) ? r , (1 ? a) ? (10 ? 6) ? r , 而 r ?

a ? 13 5



(a ? 13) 2 (a ? 1) ? 16 ? ,解得 a ? 3 或 a ? ?7 ; r ? 2 5 或 r ? 4 5 5
2

所以方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 20 或 ( x ? 7) ? ( y ? 6) ? 80
2 2 2 2

3


最全面的圆的方程

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