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对数函数及其性质(基础)


让更多的孩子得到更好的教育

对数函数及其性质 A
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数!

学习目标:
1.理解对数函数的概念,体会对数函数是一类很重要的函数模型; 2.探索对数函数的单调性与特殊点,掌握对数函数的性质,会进行同底对数和不同底对数大小的比较; 3

.了解反函数的概念,知道指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为反函数 ? a ? 0, a ? 1? .

学习策略:
? 在理解对数函数定义的基础上,掌握对数函数的图象和性质,在学习过程中,要处处与指数函数相对照.

二、学习与应用
“凡事预则立,不预则废” .科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 性.我们要在预习的基础上,认真听讲,做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记.

知识回顾——复习
学习新知识之前,看看你的知识贮备过关了吗?

指数函数图象及性质: y=ax 0<a<1 时图象 a>1 时图象

图象

性质

(1)定义域

,值域(



)

1

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(2)a0=

, 即 x=0 时,y=

,图象都经过(



)点

(3)ax=a,即 x=1 时,y 等于底数 (4)在定义域上是单调 (5)x<0 时,ax> x>0 时, <ax< 函数 (4)在定义域上是单调 (5)x<0 时, x>0 时,ax> <ax< 函数

(6) 既不是奇函数,也不是偶函数

要点梳理——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材,尝试把下列知识要点内容补充完整,带着自己预习的疑惑认真听 课学习.课堂笔记或者其它补充填在右栏.预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID:#12255#392183

要点一:对数函数的概念
1.函数 叫做对数函数.其中 x 是自变量,函数的定义域是 ? 0, ?? ? . 2.判断一个函数是对数函数是形如 y ? log a x(a ? 0, 且a ? 1) 的形式,即必须满足以下条件: (1)系数为 ; (2)底数为 的常数; (3)对数的真数仅有 . 要点诠释: ( 1 ) 只 有 形 如 y=logax(a>0 , a ≠ 1) 的 函 数 才 叫 做 对 数 函 数 , 像 y ? log a ( x ? 1), y ? 2log a x, y ? log a x ? 3 等函数,它们是由对数函数变化得到的,都不是 对数函数. (2)求对数函数的定义域时应注意:①对数函数的真数要求 零且不等于 1;②对含有字母的式子要注意 . ,底数大于

要点二:对数函数的图象与性质
a>1 图象 0<a<1

性质

定义域: 值域: 过定点 ,即 x=1 时,y=0 在(0,+∞)上是减函数 <0, 当 0<x<1 时, ≥0 当 x≥1 时, ≤0 >0,

在(0,+∞)上增函数 当 0<x<1 时, 当 x≥1 时,

要点诠释: 关于对数式 logaN 的符号问题,既受 a 的制约又受 N 的制约,两种因素交织在一起, 应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供同学们学习时参考. 以 1 为分界点,当 a,N 同侧时,logaN>0;当 a,N 异侧时,logaN<0. 2

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要点三:底数对对数函数图象的影响
1.底数制约着图象的升降. 如图

要点诠释: 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降(即函数的单调性) ,因此在解与 对数函数单调性有关的问题时,必须考虑底数是大于 1 还是小于 1,不要忽略. 2.底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内,当 a>1 时,随 a 的增大,对数函数的图像愈 当 0<a<1 时,对数函数的图象随 a 的增大而 轴.(见下图) 轴;

要点四:反函数
1.反函数的定义 设 A, B 分别为函数 y ? f ( x) 的定义域和值域,如果由函数 y ? f ( x) 所解得的 x ? ? ( y) 也是一个函数(即对任意的一个 y ? B ,都有唯一的 x ? A 与之对应) ,那么就称 函数 x ? ? ( y) 是函数 y ? f ( x) 的 ,记作 ,在 x ? f ?1 ( y ) 中, ( x ? B, y ? A )的形式. ,

y 是自变量, x 是 y 的函数,习惯上改写成

函数 x ? f ?1 ( y ) ( y ? B, x ? A )与函数 y ? f ?1 ( x) ( x ? B, y ? A )为 因为自变量的取值范围即定义域都是 B,对应法则都为 .

由定义可以看出,函数 y ? f ( x) 的定义域 A 正好是它的反函数 y ? f ?1 ( x) 的
?1 函数 y ? f ( x) 的值域 B 正好是它的反函数 y ? f ( x) 的





要点诠释: 并不是每个函数都有反函数,有些函数没有反函数,如 y ? x 2 .一般说来,单调函数有 反函数. 2.反函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于 (2)若函数 y ? f ( x) 图象上有一点 ? a, b ? ,则 对称. 必在其反函数图象上, 3

让更多的孩子得到更好的教育 反之,若 ? b, a ? 在反函数图象上,则

必在原函数图象上.

典型例题——自主学习
认真分析、解答下列例题,尝试总结提升各类型题目的规律和技巧,然后完 成举一反三. 课堂笔记或者其它补充填在右栏. 更多精彩内容请学习网校资源 ID: #12260#392183

类型一:对数函数的概念
例 1.下列函数中,哪些是对数函数? (1) y ? log a

x (a ? 0, a ? 1) ; (2) y ? log 2 x ? 2; (3) y ? 8log 2 ( x ? 1) ; (4) y ? log x 6( x ? 0, x ? 1) ; (5) y ? log 6 x .
【答案】 【解析】 (1) (2) (3) (4) (5)

【总结升华】

类型二:对数函数的定义域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域,其方法与一般函数的定义域、值域的求法 类似,但要注意对数函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用. 例 2. 求下列函数的定义域:
2 (1) y ? log a x ;

(2) y ? log a (4 - x)(a ? 0且a ? 1) . ; (2 ) .

【答案】 (1)

2 【解析】由对数函数的定义知: x ? 0 , 4 ? x ? 0 ,解出不等式就可求出定义域. (1)

(2)

【总结升华】

4

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举一反三: 【变式 1】求下列函数的定义域.
3

(1) y=

x3 ? 1

log 1 ( x ? 1) ? 1
2

(2) y ?

lg ? x ? 2 x ? 3?
2

x2 ? 4

.

【答案】 (1) 【解析】(1)

; (2)

(2)

类型三:对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以:①比较大小;②解不等式;③判断单调性;④求单调区间; ⑤求值域和最值.要求同学们:一是牢固掌握对数函数的单调性;二是理解和掌握复合函数 的单调性规律;三是树立定义域优先的观念. 例 3. 比较下列各组数中的两个值大小: (1) log3 3.6, log3 8.9 ; (2) log0.2 1.9, log0.2 3.5 ; (3) log 2 5 与 log 7 5 ; (4) log 3 5 与 log 6 4 . (5) log a 4.2, loga 4.8 ( a ? 0且a ? 1 ) . 【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。 【答案】(1) ;(2) ;(3) ;(4) 【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法 1: ;(5) .

解法 2:

(2) (3)

(4) 5

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(5) 解法 1:

解法 2:

【总结升华】

例 4.利用对数函数的性质比较 3 【答案】 【解析】

0.2

、 log 3 2 、 log 5 4 的大小.

【总结升华】

举一反三: 【变式 1】已知 a ? 5 A. a ? b ? c 【答案】 【解析】
log 2 3.4

?1? , b ? 5log4 3.6 , c ? ? ? ?5? B. b ? a ? c

log3 0.3

, 则(

) D. c ? a ? b

C. a ? c ? b

2 例 5.求函数 y ? log 1 (? x ? 2 x ? 1) 的值域和单调区间. 2

6

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2 【思路点拨】先解不等式 ? x ? 2 x ? 1 ? 0 ,保证原式有意义,然后再在定义域范围内求

内函数 t ? ? x ? 2 x ? 1 的单调区间,然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调 性“同增异减”来求解. 【答案】
2

【解析】

【总结升华】

举一反三: 【变式 1】求函数 y ? log2 x2 ? 4 的值域和单调区间. 【答案】 【解析】

?

?

类型四:函数的奇偶性
例 6. 判断下列函数的奇偶性. (1) f ( x) ? ln

2- x ; (2) f ( x) ? lg( 1 ? x2 - x) . 2? x

【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是: (1)先求函数的定义域,如果定义域关于原点对 称,则进行(2) ,如果定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数。 (2)求 f ( ? x ) ,如果

f (? x) ? f ( x) ,则函数是偶函数,如果 f (? x) ? ? f ( x) ,则函数是奇函数。
【答案】 (1) ; (2 ) .

7

让更多的孩子得到更好的教育 【解析】首先要注意定义域的考查,然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行. (1)

【总结升华】

(2)【解析】

【总结升华】

类型五:利用函数图象解不等式
例 7.若不等式 2 x ? log a x ? 0 ,当 x ? ? 0, ? 时恒成立,求实数 a 的取值范围. 【思路点拨】画出函数 y ? 2 x 的图象与函数 y ? log a x 的图象,然后借助图象去求借。 【答案】 【解析】

? ?

1? 2?

【总结升华】

8

让更多的孩子得到更好的教育 举一反三: 【变式 1】 当 x∈(1,2)时,不等式 ( x ? 1)2 ? log a x 恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】 【解析】

类型六:对数函数性质的综合应用
例 8. (1)已知函数 y ? lg( x 2 ? 2 x ? a) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围; (2)已知函数 y ? lg( x 2 ? 2 x ? a) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围; (3) f ( x) ? log a (? x 2 ? log 2a x) 的定义域为 (0, ) ,求实数 a 的取值范围. 【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比,本题属非常规问题,关键在于转化 2 成常规问题. f ( x) 的定义域为 R,即关于 x 的不等式 x ? 2 x ? a ? 0 的解集为 R,这是不等式 中的常规问题. f ( x) 的值域为 R 与 x 2 ? 2 x ? a 恒为正值是不等价的, 因为这里要求 f ( x) 取遍一切实数, 即要求 u ? x ? 2 x ? a 取遍一切正数,考察此函数的图象的各种情况,如图,我们会发现, 使 u 能取遍一切正数的条件是 ? ? 0 . 【答案】 (1) ; (2) ; (3) . 【解析】 (1)
2

1 2

(2)

(3)

【总结升华】

举一反三:
2 【变式 1】 已知函数 f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) .

9

让更多的孩子得到更好的教育 (1)若函数 f ( x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围;(2)若函数 f ( x) 的值域为 R, 求实数 a 的取值范围.

【答案】 (1) 【解析】(1)

; (2)



(2)

三、测评与总结
要想学习成绩好,总结测评少不了!课后复习是学习不可或缺的环节,它可以帮助我们 巩固学习效果,弥补知识缺漏,提高学习能力.

成果测评
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对本知识的学案导学的使用率:
□ 好(基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等,使用率达到 80%以上) □ 中(使用本学案导学提供的资源、例题和笔记,使用率在 50%-80%左右) □ 弱(仅作一般参考,使用率在 50%以下)

学生:_______________

家长:______________

指导教师:_________________

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