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广东省华南师大附中2012-2013学年度高三第三次月考数学(文科)试题(解析版)

时间:2012-12-27


1 广东省华南师大附中 2012-2013 学年度高三第三次月考数学(文科)试题(解析版)

2012-2013 学年度高三综合测试(三)试题数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1 1.复数 的虚部是( ) 1? i 1 1 1 1 (A) ? (B) (C) i (D) ? i 2 2 2 2 1 1?

i 〖解析〗 : ,故选 A. ? 1? i 2
2.直线 2 x ? y ? 4 ? 0 在两轴上的截距之和是( (A)6 (B)4 (C)3 ) (D)2

〖解析〗 :令 x ? 0 得 y ? 4 ,令 y ? 0 得 x ? ?2 , 4 ? (?2) ? 2 ,故选 D. 3.定义: | a ? b |?| a || b | sin ? ,其中 ? 为向量 a 与 b 的夹角,若 | a |? 2 , | b |? 5 , a ? b ? ?6 ,则 | a ? b | 等于( (A) ? 8 ) (B) 8 (C) ? 8 或 8 (D) 6

? ?

? ?

?

?

?

?

? ?

? ?

〖 解 析 〗 由 | a |? 2 , | b |? 5 , a ? b ? ?6 可 得 2 ? 5 ? cos ? ? ?6 ? cos ? ? ? :

?

?

? ?

? ? 4 4 ,从而 | a ? b |? 2 ? 5 ? ? 8 ,故选 B. 5 5 3 3? 4.设 tan ? ? ,? ? ? ? ,则 sin ? ? cos? 的值( 3 2 sin ? ?
(A) ?

3 , 又 ? ? [0, ? ] , 所 以 5



1 3 ? 2 2

(B) ?

1 3 ? 2 2

(C)

1 3 ? 2 2

(D)

1 3 ? 2 2

〖解析〗 :由 tan ? ?

3 3? ,? ? ? ? ,不妨在角 ? 的终边上取点 P ( ?3, ? 3) ,则 | OP |? 2 3 ,于是 3 2 3 1 3 1 , cos ? ? ? ,所以 sin ? ? cos ? ? ? ? ,故选 A. 2 2 2 2
②若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? ; ④若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ; (C)3 个 (D)4 个

由定义可得 sin ? ? ?

5.已知 m n 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,有下列命题: 、

/ ①若 m ? ? , n / ? ,则 m // n ;
③若 m ? ? , m? n ,则 n //? ; 其中真命题的个数是 (A)1 个 (B)2 个 〖解析〗 :①②③不成立,故选 A.

x 6.已知函数 f ( x) ? ( ) ? sin x ,则 f ( x ) 在 [0, 2? ] 上的零点个数为(

1 2



(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

〖解析〗 : (数形结合) 要求函数 f ( x ) 在 [0, 2? ] 上的零点个数, 就要看函数 y ? ( ) x 与 y ? sin x 在 [0, 2? ] 上

1 2

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的交点个数,画出图象即可知两个函数图象有 2 个交点,故选 B. 7.设命题 p : 2 x ? 3 ? 1 , q :

x ?1 ? 0 ,则 p 是 q 的( x?2

) (D)既不充分也不必要条件

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 〖解析〗 p : 1 ? x ? 2 , q : 1 ? x ? 2 ,故选 A. : 8.下列不等式中,一定成立的是( (A) lg( x2 ? ) ? lg x ( x ? 0 ) ; (C) x2 ?1 ? 2| x | ( x ? R ) ; 〖解析〗 :取 x ? 9.曲线 y ? (A)3 ) (B) sin x ? (D)

1 4

1 ; ? 2 ( x ? k? , k ? Z ) sin x

1 ? 否定 A,取 x ? ? 否定 B,取 x ? 0 否定 D, ,故选 C. 2 4


1 ? 1( x?R ) x ?1
2

3 ( x ? 0 )上的点到直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 的距离的最小值为( x 16 18 (B) (C) (D)4 5 5

〖解析〗 :设点 P( x0 , y0 ) 是曲线上满足条件的点,则 d ?

| 3x0 ? 4 y0 ? 3 | 1 12 ? | 3x0 ? ? 3 |? 3 ,当且仅当 5 5 x0

x0 ? 2 时取等号,故选 A.
10.将函数 f ( x) ? ?4 sin( x ? 2 来的

?
4

) 的图象向右平移 ? 个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原

? 1 倍,所得图象关于直线 x ? 对称,则 ? 的最小正值为( ) 4 2 1 3 3 1 (A) ? (B) ? (C) ? (D) ? 8 8 4 2 ? ? 〖 解 析 〗 依 题 意 可 得 y ? f ( x) ? y ? ?4sin[2( x ? ? ) ? ] ? ?4sin[2 x ? (2? ? )] ? y ? g ( x) ? ?4sin[4 x ? : 4 4

? ? ? k 3 ,故选 B. (2? ? )] ,因为所得图象关于直线 x ? 对称,所以 g ( ) ? ?4 ,得 ? ? ? ? ? ( k ? Z ) 4 4 4 2 8
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
11.如图是 2013 年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差 为_*_*_*_*_. 〖解析〗 :余下分数为 82,84,86,86,87, x ? 85 ,方差为

78 82 4 6 6 7 92

9 ?1?1?1? 4 ? 3.2 . 5 12.已知数列 ?an ? 是等差数列, a3 ? 1, a4 ? a10 ? 18, 则首项 a1 ? 。
〖解析〗 a1 ? 2d ? 1,2a1 ? 12d ? 18 ? d ? 2, a1 ? ?3 . :

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13.若变量 x , y 满足约束条件 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9 ,则 z=x+2y 的最小值为_*_*_*_*_. ? 6? x? y ?9

〖解析〗 :可行域的四个顶点坐标分别为 A(6, ? 3) , B(5, ? 1) , C (4, ? 5) , D(3, ? 3) ,目标函数必然在 顶点上取得最大或最小值,将它们依次代入目标函数式得到 zA ? 0 , zB ? 3, zC ? ?6 , zD ? ?3 ,故最 小值为 ?6 . 14.如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且 AB ? AD , 2 AB ? 3BD , BC ? 2BD ,则 sin C 的值为_*_*_*_*_. 〖解析〗 不妨取 AB ? 3 , AD ? 3 ,BD ? 2 ,BC ? 4 , : 则 于是在△ ABD 中,cos ?ADB ?

2 1 , 所以 sin ?ADB ? , 3 3

因此 sin ?BDC ?

2 2sin ?BDC 6 ,于是在△ BDC 中, sin ?C ? . ? 4 6 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 1 15. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? , x ? R . 2 (1)求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期; (2)设△ ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别 a ,b ,c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若 sin( A ? C ) ? 2sin A , 求 a , b 的值. 3 1 ? cos 2 x 1 ? 〖解析〗(1) f ( x) ? : sin 2 x ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 , 2 2 2 6 2? 则 f (x ) 的最大值为 0,最小正周期是 T ? ?? ; 2
(2) f (C ) ? sin( C ? 2

) ? 1 ? 0 ,则 sin( C ? ) ? 1 2 6 6 ? ? 11 ∵ 0 ? C ? ? ,∴ 0 ? 2C ? 2? ,∴ ? ? 2C ? ? ? , 6 6 6
∴ 2C ?

?

?

?

6

?

?

2

,∴ C ?

?

3



又∵ sin( A ? C ) ? sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2abcos
2 2 2

?
3

a 1 ? ,…………① b 2

2 2 ,即 a ? b ? ab ? 9 ,……②

由①、②解得 a ? 3 , b ? 2 3 . 16. (本小题满分 13 分)

? ,, (1)已知实数 a , b ???2, 1 1 2? ,求直线 y ? a x ? b 不经过第四象限的概率; ... A(4, 0) , B(0, 4) ,从点 P(2, 0) 射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 (2)已知

OB 反射后又回到 P 点,求光线所经过的路程的长度;

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解: (1)直线 y ? a x ? b 不经过第四象限 ? a ? 0 且 b ? 0 ... 这是一个古典概型,基本事件数为 16,记事件 A ? “直线 y ? a x ? b 不经过第四象限” 事件 A 包 , ... 含的基本事件数为 4,所以 P( A) ?

4 1 ? 。 16 4

(2)直线 AB 的方程 x ? y ? 4 ? 0 ,设点 P ( 2,0) 关于直线 AB 的对称点为 Q( x0 , y0 ) ,则有

? x0 ? 2 y 0 ? 2 ? 2 ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0 ?? ,所以 Q(4,2) ? y 0 ? y0 ? 2 ? ?1 ? x0 ? 2 ?
又点 P ( 2,0) 关于直线 OB (即 y 轴)的对称点为 R (?2,0) 光线所经过的路程的长度 l ? QR ? 36 ? 4 ? 2 10 。 17. (本题满分 12 分)某公司有价值 a 万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技 术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值 系满足:① y 与 a ? x 和 x 的乘积成正比;② x ? 假设附加值 y 万元与技术改造投入 x 万元之间的关

a x 时 y ? a 2 ;③ 0 ? ? t 其中 t 为常数,且 t ? [0,1] 2 2(a ? x)

(1)设 y ? f (x) ,求出 f (x ) 的表达式,并求出 y ? f (x) 的定义域; (2)求出附加值 y 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 x 的值 解(1)设 y ? k (a ? x) x,当x ?

a 时y ? a 2 , 可得 k ? 4,? y ? 4(a ? x) x 2

2at ] , t 为常数, t ? [0,1] 1 ? 2t a 2 2 (2) y ? 4(a ? x) x ? ?4( x ? ) ? a 2 2at a 1 a ①当 ? 时,即 ? t ? 1, x ? 时, ym a x? a 2 1 ? 2t 2 2 2 2at a 1 2at ②当 ? 时,即0 ? t ? 时, y ? 4(a ? x) x在[0, ] 上为增函数 1 ? 2t 2 2 1 ? 2t
? 定义域为 [0,
?当x ? 2at 8at 2 时, y m a x? 1 ? 2t (1 ? 2t ) 2
P

18. (本题满分 14 分) 如图,已知 PA ? ⊙O 所在的平面, AB 是⊙O 的直径, AB ? 2 , C 是⊙O 上一点,且 AC ? BC , PC 与⊙O 所在的平面成 45? 角, E 是 PC 中点.F 为 PB 中点. (1) 求证: EF // 面ABC ; (2) 求证: EF ? 面PAC ; A

F E O C B

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(3)求三棱锥 B ? PAC的体积. 解:(1)证明:在三角形 PBC 中, E 是 PC 中点. F 为 PB 中点 所以 EF//BC, BC ? 面ABC, EF ? 面ABC,

所以? EF // 面ABC (2) ?

?P A ? 面A B C ? BC ? PA ??(1) ?B C ? 面A B C

又 AB 是⊙O 的直径,所以 BC ? AC ??(2) 由(1) (2)得 BC ? 面PAC 因 EF//BC

BC ? 面PAC ,所以 EF ? 面PAC


(3)因 PA ? ⊙O 所在的平面,AC 是 PC 在面 ABC 内的射影,? ?PCA即为 PC 与面 ABC 所成角

? ?PCA ? 45 0

,PA=AC

在 Rt?ABC中,E 是 PC 中点,?BAC ?

?
4

, AC ? BC ? 2

1 2 VB ? PAC ? VP ? ABC ? S ?ABC PA ? 3 3

19. (本题满分 14 分)设 x1 、 x2 是函数 f ( x) ? (1)若 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,求证: f '(?2) ? 3 ;

a 3 b ?1 2 x ? x ? x ( a ? 0 )的两个极值点. 3 2

(2)如果 | x1 |? 2 , | x2 ? x1 |? 2 ,求 b 的取值范围. 解:由已知: f '( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? 1 故 x1,x2是方程 f ' ( x) ? 0 的两根

? f ' (2) ? 0 ?4a ? 2b ? 1 ? 0 ① (1) 由于 x1 ? 2 ? x2 ? 4 故 ? 由于 f ' (?2) ? 4a ? 2b ? 3 即? ? f ' (4) ? 0 ?16a ? 4b ? 3 ? 0 ②

①×(– 3)+②得:4a – 2b > 0



f ' ( 2? ? )

3

1? b ? ? x1 ? x2 ? a ? (2) 由韦达定理 ? ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2 a ? x ?x 1 1 1 1 1 即 b ?1? ? 故1 ? b ? 1 2 ? ? 当 0 ? x1 ? 2 时,则 x1 x2 ? ?0 得 x1 x2 x1 x2 x1 x2 a 这时,由 | x2 ? x1 | ? 2 得 x2 ? x1 ? 2 2( x1 ? 1) 1 1 2 ) ?1? ?1? 即 b ?1? ( ? 为增函数(也可用求导法来证) , 2 1 x1 x1 ? 2 ( x1 ? 1) ? 1 ( x1 ? 1) ? x1 ? 1

x2 ?0

1 1 1 故 b ?1? ( ? ) ? 2 4 4
当 ?2 ? x1 ? 0时,有x1 ? x2 ? 2,则b ? 1 ? (
1 1 1 1 7 ? ) 也为增函数 故这时, b ? 1 ? ( ? )? x1 x1 ? 2 ?2 ?2 ? 2 4 1 7 综上,b 的取值范围是 (??, ) ? ( , ?) ? 4 4

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20. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)试比较 (an ? 1) 与 bn 的大小,并说明理由; (3) 我们知道数列 {an } 如果是等差数列, 则公差 d ? 中,

an ( n ? 1) ,数列 {bn }满足 bn ? ln an ,数列 {cn }满足 cn ? an ? bn . an ? 1

cn ? cm c ?c (n ? m) 不是一个常数,但 n m (n ? m) 是否会小于等于一个常数 k 呢?若会,求出 k 的 n?m n?m

an ? am 显然在本题的数列 {cn } (n ? m) 是一个常数, n?m

取值范围;若不会,请说明理由. 解: (1)由 an ?1 ?

an 1 1 1 1 得: ? ?1 ? ? ?1, an?1 an an?1 an an ? 1

∴ ?

?1? 1 1 1 ? 是等差数列,首项 ? 1 ,公差 d ? 1 ; ∴ ? n ,从而 an ? , a1 an n ? an ?
1 1 ?1 , bn ? ln , n n

(2)由(1)得 an ? 1 ?

构造函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1, 则 f '( x) ?

1 1? x ?1 ? x x

当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0, f ( x) 在 ? 0,1? 上单调递增; x ? 1 时, f '( x) ? 0, f ( x) 在 ?1,? ? ? 上单调递减, 当 ∴f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 ?x ? 0, ln x ? x ? 1 ,当且仅当 x ? 1 时取等号, ∴ ln ? ? 1,即 bi ? ai ?1,当且仅当 i ? 1 时取等号, (3)由(1)知 cn ? ∴n

1 1 i i

c ? cm ? 0 对 n ? m, n ? N? , m ? N? 恒成立。 n?m

1 1 ? ln ,显然 ?cn ? 是一个递减数列, n n

取 n ? m ? 1,则

cn ? cm 1 ? ?1 1? ? 1 ? cn ? cm ? ? ? ln ? ? ? ? ln ? n?m m ?1 ? ? m m? ? m ?1

??
∴ 存在 k 满足

1 1 ? ? ? ln ?1 ? ? 0 ? m ? ?? ? ? m ? 1? m ? m ? 1 ? ?

cn ? cm ? k ? n ? m? 恒成立, k 的取值范围是 ?0, ? ? ? . n?m