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专题06


专题六 不等式(学生版)
【考纲解读】 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模 型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、 一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二 次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平 面区域表示二

元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式 的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有 关不等式问题,形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力. 从近几年高考题目来看,不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现,且多与集合、简易逻辑、函数知 识相结合,难度较低. 【考点预测】 本章知识的高考命题热点有以下两个方面: 1.均值不等式是历年高考的重点考查内容, 考查方式多样, 在客观题中出现, 一般只有一个选择或填空, 考查直接, 难度较低;在解答题中出现,其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新,难度较高。 2.不等式证明也是高考的一个重点内容,且多以解答题的一个分支出现,常与函数、导数、数列、解析几何等知识 结合,题目往往非常灵活,难度高。线性规划问题是近几年高考的一个新热点,在考题种主要以选择、填空形式出现, 当然,也可以实际问题进行考查。考查了优化思想在解决问题的广泛应用,体现了数学的应用价值,从而形成解决简 单实际问题的能力,进一步考查了考生的数学应用意识。 3.预计在 2012 年高考中,对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法,仍会继续渗透在其他知识中 进行考查。对不等式的应用,突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用,特别是求最值问题、不等式证明问题, 将继续强调考查逻辑推理能力,尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、 高档题中。 【要点梳理】 1.不等式的性质与证明: (1)不等式的基本性质;(2)均值不等式,应用时要特别注意定理成立的三个条件“一正二定三相等”,三者缺一不可;(3) 一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式;(4)比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与 综合法证明。 2.不等式的解法: (1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法 (2)分式不等式解法;(3)不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数学问题、写出答案. 对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值或最小值. 3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题. 【考点在线】 考点一 不等式的性质 例 1.(2011 年高考浙江卷文科 6)若 a , b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ?

1 ”的( a

)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.即不充分也不必要条件

练习 1:(2011 年高考全国卷文科 5)下面四个条件中,使 a> b 成立的充分而不必要的条件是( (A) a>b ? 1 (B) a>b ? 1
2 2 (C) a >b

)

(D) a >b
3

3

1

【名师点睛】本小题先用“1”的代换,再展开后,应用均值不等式. 【备考提示】:熟练掌握均值不等式及其变形公式是解答好本类题的关键. 练习 2: 2010 年高考山东卷文科 14)已知 x, y ? R? ,且满足

x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 3 4

.

考点三 解不等式 高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具,是求函数的定义域、值域、最值、单调 性、求反函数和参数的取值范围的重要手段, “不等式的变形”是研究数学的基本手段之一,它渗透到高中数学的每个 角落中(如函数、方程、集合、数列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等) ,其基本思 想是转化思想.转化的方法是: 超越式 ? 分式 ? 整式(高次) ? 整式(低次) ? 一次(或二次)不等式.其中准确熟 练求解一元二次 (一次) 不等式是解其他不等式的基础, 解一元高次不等式的有效方法是序轴法.此外,要重视数形结合、 分类讨论思想的运用. 不等式的解法是高考必考内容,直接考查主要以选择题、填空题为主,这类题小巧灵活,常考常新;但有时也以 解答题形式出现,主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多,常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导 数、解析几何、平面向量等问题之中,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式,但偶尔也会涉 及无理不等式、指数和对数不等式的解法.

?21-x ,x ? 1, 例 3. (2011 年高考辽宁卷理科 9)设函数 f(x)= ? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( 1 ?1 - log2 x,x> ,
(A)[-1,2] (B)[0,2] (C)[1,+ ? ) (D)[0,+ ? ) ) D. ( ??, ? ) ? (1, ??)



练习 3:(2011 年高考广东卷文科 5)不等式 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解集是( A. ( ? 考点四

1 ,1) 2

B. (1, ??)

C. (??,1) ? (2, ??)

1 2

线性规划

线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决 问题.

?x ? y ? 1, ? 例 4. (2011 年高考安徽卷文科 6)设变量 x,y 满足 ?x ? y ? 1 ,则 x ? ? y 的最大值和最小值分别为( ?x ? ? ?
(A) 1, ? 1 (B) 2, ? 2 (C ) 1, ? 2 (D)2, ? 1

)

【备考提示】:线性规划问题不牵涉目标函数的斜率问题时,可以不画图,直接将交点坐标求出代入计算即可.

2

? x ? 2y ?5 ? 0 ? 练习 4: (2011 年高考山东卷文科 7)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 ? x?0 ?
目标函数 z ? 2 x ? 3 y ? 1的最大值为( (A)11 考点五 (B)10 (C)9 (D)8.5 )

不等式的证明

高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高中数学 的重要内容,同时也是高中数学的难点,加之题型广泛,涉及面广,证法灵活,因而 备受命题者的青睐,成为高考的热点问题.但由于在高考时,涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上,其综合性 强、思维量大,因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独命制不等式证明的试题,而是把它 与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题,重在考查逻辑思维能力, 以及常用的不等式证明方法(基本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、求导法、反证法、数学 归纳法等). 例 5.已知 a,b∈R,且 a+b=1.求证: ?a ? 2? ? ?b ? 2? ?
2 2

25 2
2

证法一:比较法,作差消 b,化为 a 的二次函数,也可用分析法、综合法,反证法,实质与比较法相同. 证法二: (放缩法)∵ a ? b ? 1 , ∴左边= ? a ? 2 ? ? ? b ? 2 ?
2 2

? ? a ? 2? ? ?b ? 2? ? 1 2 25 ? 2? =右边 ? ? ?? a ? b ? ? 4 ? ? ? ? 2 2 ? ? 2

证法三: (均值换元法)∵ a ? b ? 1 ,所以可设 a ? ∴左边= ? a ? 2 ? ? ? b ? 2 ?
2 2

1 1 ? t ,b ? ? t , 2 2
2 2

1 1 25 25 ? 5? ? 5? ? ( ? t ? 2) 2 ? ( ? t ? 2) 2 ? ? t ? ? ? ? t ? ? ? 2t 2 ? =右边 ? 2 2 2 2 ? 2? ? 2?

当且仅当 t=0 时,等号成立. 证法四: (判别式法) 设 y= (a+2)2+(b+2)2,由 a+b=1,有 y ? (a ? 2) ? (3 ? a) ? 2a ? 2a ? 13,
2 2 2

所以 2a 2 ? 2a ? 13 ? y ? 0 ,因为 a ? R ,所以 ? ? 4 ? 4 ? 2 ? (13 ? y) ? 0 ,即 y ?

25 25 2 2 故 ?a ? 2? ? ?b ? 2? ? 2 2 .

【名师点睛】 :形如 a+b=1 结构式的条件,一般可以采用均值换元,注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法 间的内在联系. 【备考提示】 :证明不等式的方法有许多,关键是靠平常的善于总结.
4 4 5. 已知 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 ,求证: x ? y ≥

1 . 8

【考题回放】 1.(2011 年高考山东卷理科 4)不等式 | x ? 5 | ? | x ? 3 |? 10 的解集为( (A)[-5.7] (B)[-4,6] (C) (??, ?5] ? [7, ??) ) (D) (??, ?4] ? [6, ??)

3

3.(2009 年高考山东卷文科第 5 题)在 R 上定义运算 e : a e b ? ab ? 2a ? b ,则满足 x e ( x ? 2) ? 0 的实数 x 的取值 范围为( A. (0, 2) ) B. (?2,1) C. (??, ?2) ? (1, ??) D. (?1, 2) )

4. (2011 年高考天津卷文科 5)已知 a ? log 2 3.6, b ? log 4 3.2, c ? log 4 3.6, 则( A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. c ? a ? b ( )

5.(2011 年高考广东卷文科 4)函数 f ( x) ? A. (??, ?1) B. (1, ??)

1 ? lg( x ? 1) 的定义域是 1? x

C. (?1,1) ? (1, ??)

D. (??, ??)

?0 ? x ? 2 ? 6.(2011 年高考广东卷文科 6)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定,若 M ? x, y ? 为 D ? ?x ? 2 y ???? ??? ? ? 上的动点,点 A 的坐标为 2,1 ,则 z ? OM ? OA 的最大值为( )

?

?

A.3

B.4

C. 3 2

D. 4 2

7.(2011 年高考福建卷文科 10)若 a>0, b>0, 且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x ? 1 处有极值,则 ab 的最大值等于( A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

)

4

9. (2011 年高考湖南卷文科 3) " x ? 1"是"| x |? 1" 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

) D.既不充分又不必要条件

C.充分必要条件

? x ? 0, ? y ? 0, 10. (2011 年高考湖北卷文科 8)直线与不等式组 ? 表示平面区域的公共点有( ? x ? y ? ?2, ?4 x ? 3 y ? 20

)

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.无数个 .

11.(2011 年高考安徽卷文科 13)函数 y ?

1 6 ? x ? x2

的定义域是

12. (2011 年高考江西卷文科 15)对于 x ? R ,不等式 x ? 10 ? x ? 2 ? 8 的解集为_______.

13. (2011 年高考海南卷文科 14)若变量 x , y 满足约束条件 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9

.

2 2 14.(2011 年高考浙江卷文科 16)若实数 x , y 满足 x ? y ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值是

.

15. (2011 年高考天津卷文科 12)已知 log2 a ? log 2 b ? 1 ,则 3 ? 9 的最小值为
a b

.

【高考冲策演练】
5

一、选择题: 1. 2010 年高考天津卷文科 7) ( 设集合 A ? ?x||x-a|<1,x ? R?, B ? ?x |1 ? x ? 5, x ? R?.若A ? B ? ?, 则实数 a 的取值 范围是 (A) ?a | 0 ? a ? 6? (B) a | a ? 2, 或a ? 4

?

?

(C) a | a ? 0, 或a ? 6

?

?

(D) ?a | 2 ? a ? 4?

?x ? 1 ? 2. (2010 年高考福建卷文科 5)设 x,y ? R ,且 ? x-2y+3 ? 0 ,则 z=x+2y 的最小值等于( ?y ? x ?
A.2 B.3 C.5 D.9

)

3.(2010 年高考江西卷文科 1)对于实数 a, b, c ,“ a> b ”是“ ac >bc ”的(
2 2

) D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

4.(2010 年高考江西卷文科 2)若集合 A ? x x ≤1 , B ? x x≥0 ,则 A ? B ? ( A. x ?1≤x≤1

?

?

?

?

)

?

?

B. x x≥0

?

?

C. x 0≤x≤1

?

?

D. ?

5.(2010 年高考江西卷文科 5)不等式 x ? 2 >x ? 2 的解集是( A. ( ??, 2) B. (??, ??) C. (2, ??)

)

D. (??, 2) ? (2, ??)

6. (2010 年高考浙江卷文科 6)设 0<x< (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

π ,则“x sin2x<1”是“x sinx<1”的( 2
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

)

7. (2010 年高考宁夏卷文科 11)已知 ? ABCD 的三个顶点为 A(-1,2) ,B(3,4) ,C(4,-2) ,点(x,y)在 ? ABCD 的内部,则 z=2x-5y 的取值范围是( ) 8. (2010 年高考广东卷文科 8) x >0”是“ 3 x2 >0”成立的( “ A.充分非必要条件 ) D.充要条件

B.必要非充分条件 C.非充分非必要条件

9. (2010 年高考陕西卷文科 6)“a>0”是“ a >0”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

) (D)既不充分也不必要条件 )

( C)充要条件

10. 2010 年高考全国Ⅰ卷文科 7) ( 已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且, f (a) ? f (b) , a ? b 的取值范围是( 则 (A) (1, ??) (B) [1, ??) (C) (2, ??) (D) [2, ??)
1

11. 2010 年高考全国Ⅰ卷文科 10)设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5?2 则( ( (A) a ? b ? c (B) b ? c ? a 二.填空题:
6

)

(C) c ? a ? b (D) c ? b ? a

13. 2011 年高考陕西卷文科 12)如图, ( x, y ) 在四边形 ABCD 内部和边界上运动, ( 点 那么 2x ? y 的最小值为 14. (2011 年高考重庆卷文科 15)若实数 a, b, c满足2a ? 2b ? 2a?b , 2a ? 2b ? 2c ? 2a?b?c , 则c 的最大值是

.

? y?x ? 15. (2011 年高考湖南卷文科 14)设 m ? 1, 在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z ? x ? 5 y 的最大值为 4,则 m 的值 ?x ? y ? 1 ?
为 .

16. (2010 年高考天津卷文科 16)设函数 f(x)=x围是 .

1 ,对任意 x ?[1, ??),f(mx)+mf(x)<0 恒成立,则实数 m 的取值范 x

三.解答题: 17.(2011 年高考安徽卷理科 19) (Ⅰ)设 x ? 1, y ? 1, 证明 x ? y ?

1 1 1 ? ? ? xy , xy x y

21. (2009 年高考江苏卷第 19 题)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为 a 元,如果他卖出该产品的 单价为 m 元,则他的满意度为 m

m?a

;如果他买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为 n .如果一个人对两种交易
n?a

(卖出或买进)的满意度分别为 h1 和 h2 ,则他对这两种交易的综合满意度为

h1h2 .现假设甲生产 A、B 两种产品的单件

成本分别为 12 元和 5 元, 乙生产 A、 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元, B 设产品 A、 的单价分别为 m A 元和 mB B 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲 ,乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙 (1)求 h甲 和 h乙 关于 m A 、 mB 的表达式;当 mA .

3 ? mB 时,求证: h甲 = h乙 ; 5

(2)设 mA

3 ? mB ,当 mA 、 mB 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少? 5
7

(3)记(2)中最大的综合满意度为 h0 ,试问能否适当选取 m A 、 mB 的值,使得 h ? h0 和 h乙 甲 同时成立?试说明理由。

? h0 同时成立,但等号不

22.设 a 为实数,函数 (1)若 (2)求

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) | x ? a | .

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; f ( x) 的最小值;

(3)设函数 h( x) ? .

f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的解集. ....

8


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