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乌市2015二模(理科数学)


乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第二次诊断性测验 理科数学试卷(问卷)
(卷面分值:150 分 考试时间:120 分钟)

注意事项: 1 本卷分为问卷(4 页)和答卷(4 页),答案务必书写在答卷(或答题卡)的指定位置上. 2 答卷前,先将答卷密封线内(或答题卡中的相关信息)的项目填写清楚.

第Ⅰ卷(选择题

/>共 60 分)

一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.

1.设集合 A= ? x ? 3 ? x ? 1? ,B= ? x x 2 ? 4? ,则集合 A ? B= A. (?2, 2) 2.复数 A. B. (?3, 2) C. (?2,1) D. (?3,1)

2i 的共轭复数是 1? i 1? i B. ?1 ? i

C. 1 ? i

D. ?1 ? i

3、若角 ? 的终边过点 P(?3, ?4) ,则 cos(? ? 2? ) 的值为 A. ?

24 25

B. ?

7 25

C.

7 25

D.

24 25

4.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,下列四个命题:
m ??? ? m ??? m ? n? ① ? ? m∥n ;④ n ? ? ? ? m∥n ? ? ? ? ? ;③ ? ? m ? ? ;② n ?? ? m? ?? n ??? ?

m ???

?∥? ?

其中为真命题的是 A. ①② B. ②③
x

C. ③④

D. ①④

5.曲线 y ? xe 在点 (1, e) 处的切线与直线 ax ? by ? c ? 0 垂直,则

a 的值为 b

A. ?

1 2e

B. ?

2 e

C.

2 e

D.

1 2e

?? ? 6.设函数 f ( x) ? x ? 2sin x 是区间 ?t , t ? ? 上的减函数,则实数 t 的取值范围是 2? ?

? ?? ? A. ? 2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) 3 6? ?

? 11? ? ? B. ? 2k? ? , 2k? ? (k ? Z ) 3 6 ? ? ?

? ?? ? C. ? 2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) 6 3? ?

? 7? ? ? D. ? 2k? ? , 2k? ? (k ? Z ) 3 6 ? ? ?

7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的外接球的表面积为 A.
16? 3

B.

8? 3

C. 4 3?

D. 2 3?

3

1 正视图

1

1 侧视图

俯视图

8.如图算法,若输入 m ? 210 , n ? 119 ,则输出的 n 为 A. 2 B. 3 C. 7 D. 11 9.一个人将编号为 1,2,3,4 的四个小球随机放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子, 每 个盒子放一个小球, 球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了, 否则叫做放错了. 设放对的个数为 ? ,则 ? 的期望的值为 A.
1 2

B.

2 3

C.1

D. 2

1 n 10.已知函数 f ( x ? ) 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 1 ,即 an ? g ( ) ,则数列 ?an ? 的前 2 16 15 项和为 A. 13 B.14 C. 15 D. 16

11.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F2 作斜率为-1 的直线,该直线与 a 2 b2

???? ? ??? ? 双曲线的两条渐近线的交点分别为 A,B.若 F2 A ? AB ,则双曲线的渐近线方程为
A. 3x ? y ? 0 B. x ? 3 y ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 0 D. 3x ? 2 y ? 0

t n C的 12.已知 ?ABC 中角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c , 满足 c ? a ? cos( A ? C ) , 则a

最大值为 A.

2

B.

2 4

C.

2 2

D.

3 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分

13.二项式 ( x ?

m 5 ) 的展开式中 x 的系数为 10,则实数 m 等于 x
= _________.

?? ? ? ? ???? ? ???? ? ? 14.△ABC 中, 且 CA=3, 点 M 满足 BM ? 2 AM , 则C MC A ? ?C ? 90? ,

15.设函数 f ? x ? ? 2x ?1 , 实数 a ? b ,且 f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是_____. 16.设抛物线 y 2 ? 4x 的焦点为 F,其准线与 x 轴的交点为 Q,过点 F 作直线与此
??? ? ??? ? 抛物线交于 A,B 两点,若 QB?AB ? 0 ,则 AF ? BF ? ________.
三、解答题:第 17~21 题每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过 程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n,都有 Sn ? 2an ? n ? 3 成立. (Ⅰ)求证数列 ?an ?1?为等比数列; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PA= 6 ,四边形 ABCD 是边长为 2 的 菱形, ?ABC ? 60? ,M,N 分别为 BC 和 PB 的中点. (Ⅰ)求证:平面 PBC⊥平面 PMA; (Ⅱ)求二面角 N ? AD ? B 的平面角的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 某工厂于去年下半年对生产工艺进行了改造(每半年为一个生产周期),从 去年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为 50 的样本,用茎叶图表示, 如图所示.已知每个生产周期内与其中位数误差在±5 范围内(含±5)的产品为 优质品,与中位数误差在±15 范围内(含±15)的产品为合格品(不包括优质 品),与中位数误差超过±15 的产品为次品.企业生产一件优质品可获利润 10 元,生产一件合格品可获利润 5 元,生产一件次品要亏损 5 元.

(Ⅰ)求该企业生产一件产品的利润的分布列和期望; (Ⅱ)是否有 95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”. 附: 0.050 0.010 P( K 2 ? k )
k

0.001 10.828

3.841

6.635

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20. (本小题满分 12 分) 2 y2 已知椭圆 x2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的右焦点为 F (1, 0) ,直线 y ? x ? 7 与椭圆有且仅 a b 有一个交点。 (Ⅰ)求椭圆的标准方程; ??? ? ??? ? (Ⅱ)若直线 l 交椭圆于 A, B 两点,且 FA?FB ? 0 ,试求 l 在 x 轴上的截距的取值 范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ln x , (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)试讨论函数 g ( x) = f ( x) - a( x + 1) 的零点个数 .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,满分 10 分.

22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图 AB 是半圆的直径, C 是圆上一点, CH ? AB 于点 H , CD 是圆的切线, F 是 AC 上一点, DF ? DC ,延长 DF 交 AB 于 E . (Ⅰ)求证: DE ∥ CH ; (Ⅱ)求证: AD2 ? DF 2 ? AE ?AB

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知圆 C 的圆心在(0,1),半径为 1.直线 l 过点(0,3)垂直于 y 轴。 (Ⅰ)求圆 C 和直线 l 的参数方程; (Ⅱ)过原点 O 作射线分别交圆 C 和直线 l 于 M,N,求证 OM ?ON 为定值。

24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 1 , (Ⅰ)求 f ? x ? ? 0 的解集; (Ⅱ)当 x ? ?1 时, f ( x) ? f (a) ,求实数 a 的取值范围.


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