nbhkdz.com冰点文库

2013重庆高考数学文科卷(Word版)含解析答案


绝密★ 启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题卷(文史类)
数学试题(文史类)共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡

皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A={1,2} , B ={2,3} ,则 (A) {1,3, 4} (B) {3, 4} (C) {3}

U

? A ? B? ?

(D) {4}

(2)命题“对于任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为 (A)存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? 0 (C)存在 x0 ? R ,使得 x0 ? 0
2

(B)对任意 x0 ? R ,都有 x0 ? 0
2

(D)不存在 x0 ? R ,使得 x0 ? 0
2

(3)函数 y ?

1 的定义域是 log 2 ( x ? 2)
(B) ?2, ? ?? (D) ?2,4? ? ?4, ? ??
2

(A) ?? ?,2? (C) ?2,3? ? ?3 , ? ?? (4)设 P 是圆 动点,则 (A) 6 (C) 3

? x ? 3? ? ? y ? 1?
2

? 4 上的动点 Q 是直线 x ? ?3 上的

PQ

的最小值为 (B) 4 (D) 2

(5)执行题(5)图所示的程序框图,则输出的 k 的值是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

(6)下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品 (单位: 台) 的茎叶图, 则数据落在区间 [22,30) 内的频率为 (A) 0.2 (B) 0.4 (C) 0.5 (D) 0.6 1 2 3 (7)关于 x 的不等式 x 2 (A) 5 8 1 0 9 2 0 2 3 7 9

? 2ax ? 8a 2 ? 0(a ? 0) 的解集为 ?x1 , x2 ? ,且 x2 ? x1 ? 15,则 a ?
2
(C) 15

2

(B) 7

4

(D) 15

2

(8)某几何体的三视图如题(8)图所示,则该几何体的表面积为 (A)180 (C) 220 (B) 200 (D) 240

(9)已知函数 (A)

f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log2 10)) ? 5 ,则 f (lg (lg 2)) ?
(B) ? 1 (C) 3 (D) 4

?5

(10)设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相交于点 O ,所成的角 60 ? 的直线 A1 B1 和

A2 B2 ,使 | A1B1 |?| A2 B2 |,其中 A1 , B1 和 A2 , B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲
线的离心率取值范围是

2 3 ? (A) ? ? ,2? ? ? 3 ?

(B) ? 2 3 ,2 ? ? ? 3 ?

?

?

? 2 3 (C) ? ? , ? ?? ? ? ? 3 ?

? (D) ? 2 3 , ? ?? ? ? ? 3 ?

二、 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. (11)设复数 z ? 1 ? 2i(i是虚数单位 ) ,则 | z |? ___________ . (12)若 2, a, b, c,9 成等差数列,则 c ? a ? ___________ . (13)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相连而站的概率为___________ . (14)在 OA 为边, OB 为对角线的矩形中, AB ? ( ?3,1), OB ? ( ?2,k ) ,则实数 k (15)设 0 ? ?

? _____ .

? ? ,不等式 8 x 2 ? (8sin? ) x ? cos2? ? 0 ,对 x ? R 恒成立,则 ? 的取

值范围为___________ .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (16)(本小题满分 13 分, (Ⅰ )小问 7 分,(Ⅱ )小问 6 分.) 设数列 ?an ?满足: a1

? 1, an?1 ? 3an , n ? N.

(Ⅰ )求 ?an ?的通项公式及前 n 项和为 Sn ; (Ⅱ )已知 ?bn ?是等差数列, Tn 为其前 n 项和,且 b1

? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 T20

(17)(本小题满分 13 分, (Ⅰ )小问 9 分,(Ⅱ )、(Ⅲ )小问各 2 分.) 从某居民区随机抽取 10 个家庭, 获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位: 千元) 与月储蓄 yi (单位:千元)的数据资料,算得 ? xi
i ?1 10

? 80, ? yi ? 20, ? xi yi ? 184 , ? xi ? 720 .
2 i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

(Ⅰ )求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ )判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ )若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.
附:线性回归方程
n

y ? bx ? a 中,
, a ? y ? b x,

b?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

? x ? nx
i ?1 2 i

2

其中 x ,

?x ? a ? ?b ?. y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 y

(18)(本小题满分 13 分, (Ⅰ )小问 4 分,(Ⅱ )小问 9 分.) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,且 a (Ⅰ )求 A (Ⅱ )设 a ?
2

? b2 ? c2 ? 3bc.

3, S 为 ?ABC 的面积,求 S ? 3cos B cosC 的最大值,并指出此时 B 的值.

(19)(本小题满分 12 分, (Ⅰ )小问 5 分,(Ⅱ )小问 7 分.) 如(19)题图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,

PA ? 2 3,BC ? CD ? 2,?ACB ? ?ACD ?
(Ⅰ )求证 BD ? 平面 PAC ;

?

3

.

(Ⅱ )若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF ? 7 FC ,求三棱锥 P ? BDF 的 体积.

(20)(本小题满分 12 分, (Ⅰ )小问 5 分,(Ⅱ )小问 7 分.) 某村庄拟修建一个屋盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r 米,高 为 h 米, 体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关, 侧面的建造成本为100 元/平方米, 底面的建造成本为160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000 ? ( ? 为圆周率). (Ⅰ )将V 表示成 r 的函数V (r) ,并求该函数的定义域; (Ⅱ )讨论函数V (r) 的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

(21)(本小题满分 12 分, (Ⅰ )小问 4 分,(Ⅱ )小问 8 分.) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离 心率 e ?

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A 、 A? 2

两点, AA? ? 4 . (Ⅰ )求该椭圆的标准方程; (Ⅱ )取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、 P? ,过 P 、P? 作圆心为 Q 的 圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.求 ?PP' Q 的面积 S 的最大值,并写出对应圆 Q 的 标准方程.

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.答案:D 解析:∵ A∪ B={1,2}∪ {2,3}={1,2,3},U={1,2,3,4}, ∴ U(A∪ B)={4},故选 D. 2.答案:A 解析:由全称命题 p: ? x∈ D,p(x)的否定为 ? p: ? x0∈ D, ? p(x0),知选 A. 3.答案:C 解析:由题知 ? 解得 ?

? x ? 2 ? 0, ?log 2 ? x ? 2? ? 0,

? x ? 2, ? x ? 2, 即? ? x ? 2 ? 1, ? x ? 3.

所以该函数的定义域为(2,3)∪ (3,+∞),故选 C. 4.答案:B 解析:∵ 由圆(x-3)2+(y+1)2=4 知,圆心的坐标为(3,-1),半径 r=2, ∴ 圆心到直线 x=-3 的距离 d=|3-(-3)|=6. ∴ |PQ|min=d-r=6-2=4,故选 B. 5.答案:C 解析:∵ k=1,s=1+(1-1)2=1; k=2,s=1+(2-1)2=2; k=3,s=2+(3-1)2=6; k=4,s=6+(4-1)2=15; k=5,s=15+(5-1)2=31>15. ∴ k=5.故选 C. 6.答案:B 解析:∵ 数据总个数 n=10, 又∵ 落在区间[22,30)内的数据个数为 4, ∴ 所求的频率为

4 ? 0.4 . 10

7. 答案:A 解析:∵ 由 x2-2ax-8a2<0(a>0),得(x-4a)(x+2a)<0,即-2a<x<4a,∴ x1=-2a,x2 =4a. ∵ x2-x1=4a-(-2a)=6a=15, ∴a ?

15 5 ? .故选 A. 6 2

8.答案:D 解析:由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱, 如图所示,S 上=2× 10=20, S 下=8× 10=80, S 前=S 后=10× 5=50, S 左=S 右=

1 (2+8)× 4=20, 2

所以 S 表=S 上+S 下+S 前+S 后+S 左+S 右=240, 故选 D. 9.答案:C

解析:∵log 210 ?

1 , lg2


∴ lg(log210)=lg(lg 2) 1=-lg(lg 2). 令 g(x)=ax3+bsin x,易知 g(x)为奇函数. ∵ f(lg(log210))=f(-lg(lg 2))=g(-lg(lg 2))+4=5,∴ g(-lg(lg 2))=1.∴ g(lg(lg 2))=-1. ∴ f(lg(lg 2))=g(lg(lg 2))+4=-1+4=3. 故选 C. 10. 答案:A 解析:不妨令双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0),由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性 a 2 b2

知 A1,A2,B1,B2 关于 x 轴对称,如图. 又∵ 满足条件的直线只有一对, ∴ tan 30° < ∴ ?

b 3 b ≤tan 60°,即 ? ? 3. a 3 a

1 3

b2 ? 3. a2 1 3

4 c2 ? a2 ? 3 ,即 <e2≤4. 2 3 a ?2 3 ? 2 3 2 ? .故选 A. ∴ <e≤2,即 e∈? ? 3 , 3 ? ?
∵ b2=c2-a2,∴ ? 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.答案: 5 解析:∵ z=1+2i,∴|z| ? 12 ? 22 ? 5 . 12.答案:

7 2

解析:设公差为 d,则 c-a=2d= 2 ? 13.答案:

9?2 7 7 ? 2? ? . 5 ?1 4 2

2 3

解析:甲、乙、丙三人随机站在一排有: 甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共 6 种. 若甲、 乙两人相邻而站则有甲乙丙、 丙甲乙、 乙甲丙、 丙乙甲, 共 4 种, 故所求的概率为 14.答案:4

4 2 ? . 6 3

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ∴ AB = OB - OA =(-2,k)-(-3,1)=(1,k-1). ??? ? ??? ? 又 OA , AB 为矩形相邻两边所对应的向量, ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? AB =-3×1+1×(k-1)=-4+k=0, ∴OA ⊥ AB ,即 OA ·
解析:∵OA =(-3,1), OB =(-2,k), 即 k=4. 15.答案: ?0, ? ? ? , π ? ? 6? ? 6 ? 解析: 不等式 8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0 对 x∈ R 恒成立, 则有 Δ=(8sin α)2-4× 8cos 2α=64sin2α -32cos 2α≤0,

? π?

? 5π

?

即 2sin2α-cos 2α=2sin2α-(1-2sin2α)=4sin2α-1≤0. ∴ sin2α≤ ∴?

1 . 4

1 1 ? sin ? ? . 2 2

又 0≤α≤π,结合下图可知,α∈?0, ? ? ? , π ? . ? 6? ? 6 ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 解:(1)由题设知{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 所以 an=3n 1,Sn=


? π?

? 5π

?

1 ? 3n 1 n = (3 -1). 2 1? 3

(2)b1=a2=3,b3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d, 所以公差 d=5, 故 T20=20× 3+

20 ? 19 × 5=1 010. 2

17. 解:(1)由题意知 n=10, x ? 又 lxx=
n

1 n 80 1 n 20 xi ? ? 8 , y ? ? yi ? ? 2, ? n i ?1 10 n i ?1 10
2 i

?x
i ?1
i i

n

? nx 2 =720-10×82=80,

lxy=

? x y ? nx y =184-10×8×2=24,
i ?1

由此得 b ?

lxy lxx

?

24 ? 0.3 , a ? y ? bx =2-0.3×8=-0.4, 80

故所求回归方程为 y=0.3x-0.4. (2)由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y=0.3× 7-0.4=1.7(千元). 18. 解:(1)由余弦定理得 cos A= 又因 0<A<π,所以 A ? (2)由(1)得 sin A=

b2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc 3 . ? ?? 2bc 2bc 2

5π . 6

1 , 2

又由正弦定理及 a= 3得 S=

1 1 a sin B bcsin A= · · asin C=3sin Bsin C, 2 2 sin A

因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C). 所以,当 B=C,即 B ?

π? A π ? 时,S+3cos Bcos C 取最大值 3. 2 12

19. (1)证明:因 BC=CD,即△ BCD 为等腰三角形, 又∠ ACB=∠ ACD,故 BD⊥ AC. 因为 PA⊥ 底面 ABCD,所以 PA⊥ BD. 从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直, 所以 BD⊥ 平面 PAC. (2)解:三棱锥 P-BCD 的底面 BCD 的面积 S△ BCD=

1 1 2π BC· CD· sin∠ BCD= × 2× 2×sin = 2 2 3

3.
由 PA⊥ 底面 ABCD,得

1 1 · S△ BCD· PA= ? 3 ? 2 3 ? 2 . 3 3 1 由 PF=7FC,得三棱锥 F-BCD 的高为 PA, 8 1 1 1 1 1 故 VF-BCD= · S△ BCD· PA= ? 3 ? ? 2 3 ? , 3 8 3 8 4 1 7 所以 VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD= 2 ? ? . 4 4
VP-BCD= 20. 解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh=200πrh 元,底面的总成本为 160πr2 元,所以 蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 又据题意 200πrh+160πr2=12 000π,

1 (300-4r2), 5r π 从而 V(r)=πr2h= (300r-4r3). 5 因 r>0,又由 h>0 可得 r ? 5 3 ,
所以 h= 故函数 V(r)的定义域为(0, 5 3 ). (2)因 V(r)= 故 V′(r)=

π (300r-4r3), 5

π (300-12r2). 5

令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2=-5(因 r2=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈ (0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈ (5, 5 3 )时,V′(r)<0,故 V(r)在(5, 5 3 )上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大. 21.

4 ??c ?2 22 ? 2 ? 1.从而 e2+ 2 =1. 2 b a b 2 4 b 2 2 ? 8 ,从而 a 2 ? ? 16 . 由e ? 得b ? 2 1? e 1 ? e2 2 x2 y 2 ? ? 1. 故该椭圆的标准方程为 16 8
解:(1)由题意知点 A(-c,2)在椭圆上,则 (2)由椭圆的对称性,可设 Q(x0,0). 又设 M(x,y)是椭圆上任意一点,则

|QM|2=(x-x0)2+y2 =x2-2x0x+x02+ 8 ?1 ?

?

? 1 = (x-2x0)2-x02+8(x∈ [-4,4]). 2
设 P(x1,y1),由题意,P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点,因此,上式当 x=x1 时取最小值, 又因 x1∈ (-4,4),所以上式当 x=2x0 时取最小值,从而 x1=2x0,且|QP|2=8-x02. 由对称性知 P′(x1,-y1),故|PP′|2=|2y1|, 所以 S= =

x2 ? ? 16 ?

1 |2y1||x1-x0| 2

? x2 ? 1 ? 2 8 ?1 ? 1 ? |x0 | 2 ? 16 ?
2 2

= 2 ? 4 ? x0 ? x0
2

= 2 ?? x0 ? 2 ? ? 4 .
2

当 x0 ? ? 2 时,△ PP′Q 的面积 S 取到最大值 2 2 . 此时对应的圆 Q 的圆心坐标为 Q( ? 2 ,0),半径 |QP| ? 8 ? x0 ?
2

6,

因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+ 2 )2+y2=6,(x- 2 )2+y2=6.


2013年高考文科数学重庆卷试题与答案word解析版

2013高考文科数学重庆卷试题与答案word解析版_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2013高考文科数学重庆卷试题与答案word解析版_高考_...

2013年高考理科数学重庆卷试题与答案word解析版

2013高考理科数学重庆卷试题与答案word解析版_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2013高考理科数学重庆卷试题与答案word解析版_高考_...

2013年高考文科数学重庆卷试题与答案word解析版

2013高考文科数学重庆卷试题与答案word解析版_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2013高考文科数学重庆卷试题与答案word解析版_高考_...

2013年高考理科数学重庆卷word解析版

2013高考理科数学重庆卷word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013 年普通高等...(用数字作答). 答案:590 解析:方法一:从 12 名医生中任选 5 名,不同选...

2013重庆高考数学文科卷(真正Word版)含答案

2013重庆高考数学文科卷(真正Word版)含答案_数学_高中教育_教育专区。Word版哦!含答案!花了三小时录入和校对!绝密★ 启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试...

2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版_高考_高中教育_教育专区。文档贡献者 张建民life 贡献于2013-12-25 1/2 相关文档推荐 ...

2013年高考文科数学四川卷试题与答案word解析版

2013高考文科数学四川卷试题与答案word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013高考文科数学四川卷试题与答案word解析版2013 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)...

2013年高考文科数学重庆卷word解析版

2013年高考文科数学重庆卷word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013 年普通高等...2 2 2013 重庆文科数学 第3页 共7页 答案: 7 2 解析:设公差为 d,则 c...

2015年高考真题——文科数学(重庆卷) Word版含解析

2015年高考真题——文科数学(重庆卷) Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。1...4 或 a ? ?6 . a? (大题解析在后面) 2015 重庆数学文原题 及 答案 ...