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2016高中数学 2.1.2第2课时 指数函数及其性质的应用课时作业(含解析)新人教A版必修1


课时作业(十四)

指数函数及其性质的应用

[学业水平层次] 一、选择题 1.若 2
x+1

<1,则 x 的取值范围是(

)

A.(-1,1) C.(0,1)∪(1,+∞) 【解析】 ∵2
x+1
0

B.(-1,

+∞) D.(-∞,-1)
x

<1=2 ,且 y=2 是增函数,

∴x+1<0,∴x<-1. 【答案】 D 2.下列判断正确的是( A.1.7 >1.7 C.π <π
2 2.5 3

) B.0.8 <0.8
0.3 2 3

2
x

D.0.9 >0.9

0.5

【解析】 ∵y=0.9 在定义域上是减函数,0.3<0.5,∴0.9 >0.9 . 【答案】 D 3.(2014·湖南高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( A.f(x)= 1 )

0.3

0.5

x2

B.f(x)=x +1

2

1

C.f(x)=x

3

D.f(x)=2

-x

1 2 【解析】 A 中 f(x)= 2是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,故 A 满足题意.B 中 f(x)=x +1 是偶函数,但在(-∞,0)

x

上是减函数.C 中 f(x)=x 是奇函数.D 中 f(x)=2 是非奇非偶函数.故 B,C,D 都不满足题意. 【答案】 A 4.已知函数 f(x)=(a -1) ,若 x>0 时总有 f(x)>1,则实数 a 的取值范围是( A.1<|a|<2 C.|a|>1
2 2

3

-x

x

)

B.|a|<2 D.|a|> 2

【解析】 由题意知 a -1>1,解得 a> 2或 a<- 2,故选 D. 【答案】 D 二、填空题 5.不等式 0.5 >0.5
2x

x-1

的解集为________(用区间表示).
2x

【解析】 ∵0<0.5<1,∴由 0.5 >0.5 【答案】 (-∞,-1)

x-1

得 2x<x-1,即 x<-1.

6.函数 y=a (a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为 6,则 a 的值为________. 【解析】 由于函数在[1,2]上必定单调,因此最大值与最小值都在端点处取得,于是必定有 a+a =6,又 a>0,解得 a= 2. 【答案】 2
2

x

2

0.5 x ?1? 7.若 2 >? ? ,则 x 的取值范围为________. ?2? 0.5 ?1? -0.5 x 【解析】 ∵? ? =2 ,又 y=2 在 R 上是增函数, 2 ? ? 0.5 x ?1? x -0.5 ∴2 >? ? ?2 >2 ?x>-0.5. ?2?

? 1 ? 【答案】 ?- ,+∞? ? 2 ?
三、解答题 8.(2014·广州高一检测)已知 f(x)的图象与 g(x)=2 的图象关于 y 轴对称,且 f(2x-1)>f(3x),求 x 的取值范围. 【解】 因为 f(x)的图象与 g(x)=2 的图象关于 y 轴对称,
x x

x ?1? 所以 f(x)=? ? , ?2?
因为 f(2x-1)>f(3x), 2x-1 1 3x ?1? ? ? 所以? ? >? ? , ?2? ?2? 所以 2x-1<3x,所以 x>-1. e a 9.设函数 f(x)= + x是 R 上的偶函数且 a>0. a e (1)求 a 的值.
x

3

(2)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性. 【解】 (1)因为 f(x)是 R 上的偶函数, 所以 f(-1)=f(1), 即 e
-1

a



e a = + , e a e
-1

a

1?1 ? ?1 ? 所以 ? -a?=e? -a?, e?a ? ?a ? 1 故 -a=0,又 a>0,所以 a=1.

a

(2)由(1)知 f(x)=e +e . 设任意的 x1,x2>0,且 x1<x2,

x

-x

f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-ex2-e-x2
1 1 =ex1-ex2+ - ex1 ex2 ex2-ex1 =ex1-ex2+ ex1ex2 =(ex1-ex2)?1-

? ?

1 ? , ex1ex2? ?

因为 x1,x2>0 且 x1<x2, 所以 ex1<ex2 且 ex1ex2>1,

4

故(ex1-ex2)?1-

? ?

1 ? <0,即 f(x1)<f(x2), ex1ex2? ?

所以 f(x)在(0,+∞)上为增函数. [能力提升层次] 1.设函数 f(x)=a
-|x|

(a>0,且 a≠1),若 f(2)=4,则( B.f(-1)>f(-2) D.f(-2)>f(2)

)

A.f(-2)>f(-1) C.f(1)>f(2)

-|x| 1 ?1? -2 |x| 【解析】 f(2)=a =4,a= ,f(x)=? ? =2 ,得 f(-2)>f(-1). 2 ?2? 【答案】 A 1 2.若函数 f(x)= x ,则该函数在(-∞,+∞)上( 2 +1 A.单调递减且无最小值 B.单调递减且有最小值 C.单调递增且无最大值 D.单调递增且有最大值 1 1 x 【解析】 函数 f(x)= x 为减函数,2 +1>1,故 f(x)= x ∈(0,1),无最值. 2 +1 2 +1 【答案】 A
5

)

3.我国第六次人口普查人口数约为 13.397 亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数 大约为________亿(精确到亿). 【解析】 人口年增长率为 1%,经过 x 年后,设我国人口数为 y 亿,第六次人口普查时人口数约为 13.397 亿; 经过 1 年后,人口数为 13.397+13.397×1%=13.397×(1+1%)(亿); 经过 2 年后人口数为 13.397×(1+1%)+13.397×(1+1%)×1% =13.397×(1+1%) (亿); 经过 3 年后人口数为 13.397×(1+1%) +13.397×(1+1%) ×1% =13.397×(1+1%) (亿); … 所以经过 x 年后人口数为
3 2 2 2

y=13.397×(1+1%)x(亿)(x∈N*).
当 x=20 时,y=13.397×1.01 ≈16(亿). 【答案】 16 2 4.(2014·永安高一检测)设 a 是实数,函数 f(x)=a- x (x∈R). 2 +1 (1)证明:对于任意的实数 a,函数 f(x)在 R 上为增函数. (2)试确定 a 的值,使函数 f(x)为奇函数. 【解】 (1)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2) 2 ? ? 2 ? ? =?a- ?-?a- ? ? 2x1+1? ? 2x2+1?
6
20



2 2 2(2x1-2x2) - = 2x2+1 2x1+1 (2x1+1)(2x2+1)
x

由于指数函数 y=2 是 R 上的增函数,且 x1<x2, 所以 2x1<2x2,即 2x1-2x2<0. 又 2x1+1>0,2x2+1>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) 因为此结论与 a 的取值无关,所以对任意的实数 a,函数 f(x)在 R 上为增函数. (2)因为 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),即

a-

2 ? 2 ? =-?a- x ? -x 2 +1 ? 2 +1?
x x

2×2 2 2(2 +1) 整理得 2a= -x = =2,解得 a=1. x+ x x (2 +1)·2 2 +1 2 +1 经检验 a=1 符合题意, 所以当 a=1 时,函数 f(x)为奇函数.

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