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专题训练与高考预测平面解析几何


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专题训练与高考预测
一、选择题 1.如果双曲线经过点 (6, 3) ,且它的两条渐近线方程是 y ? ? 1 x ,那么双曲线方程是
3

() A. x ? y ? 1
36 9
2 2

B. x ? y ? 1 C.

x ? y 2 ? 1
81 9
9

2

2

2

D. x ? y ? 1
18 3

2

2

2 2 2 2 2.已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1和双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 有公共的焦点,那么双曲线的的渐近线

3m

5n

2m

3n

方程为( ) A. x ? ? 15 y
2

B. y ? ? 15 x
2
2 2

C. x ? ? 3 y 4

D. y ? ? 3 x
4

x y 3.已知 F 1, F 2 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点,M 为椭圆上一点, MF 1 垂直于 x 轴, a b

且 ?FMF ,则椭圆的离心率为( ) 1 2 ? 60? A. 1 B. 2 2
2

2

C. 3
3
2

D. 3
2

4.二次曲线 x ? y ? 1 ,当 m ?[?2, ?1] 时,该曲线的离心率 e 的取值范围是( )
4 m

A. [ 2 , 3 ]
2 2

B. [ 3 , 5 ]
2 2

C. [ 5 , 6 ]
2 2

D. [ 3 , 6 ]
2 2

5.直线 m 的方程为 y ? kx ? 1 ,双曲线 C 的方程为 x 2 ? y2 ? 1,若直线 m 与双曲线 C 的 右支相交于不重合的两点,则实数 k 的取值范围是( ) A. (? 2, 2) B. (1, 2) C. [? 2, 2) D. [1, 2)

6.已知圆的方程为 x2 ? y2 ? 4 ,若抛物线过点 A(?1, 0) , B(1, 0) ,且以圆的切线为准 线,则抛物线的焦点的轨迹方程为( )
2 2 A. x ? y ? 1(y ? 0)

3

4

2 2 B. x ? y ? 1(y ? 0)

4

3

2 2 C. x ? y ? 1(x ? 0)

3

4

2 2 D. x ? y ? 1(x ? 0)

4

3

二、填空题

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2 2 7.已知 P 是以 F1 、 F2 为焦点的椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点,若 PF1 ? PF2 ? 0

a b 1 ,则椭圆的离心率为 ______________ . tan ?PF1 F2 ? 2

8.已知椭圆 x2+2y2=12,A 是 x 轴正方向上的一定点,若过点 A,斜率为 1 的直线被 椭圆截得的弦长为 4 13 ,点 A 的坐标是______________ .
3

9.P 是椭圆 x ? y ? 1 上的点, F ,则 k 的最 1, F 2 是椭圆的左右焦点,设 | PF 1 | ? | PF 2 |? k
4 3

2

2

大值与最小值之差是______________ . 10.给出下列命题: ①圆 (x ? 2)2 ? (y ?1)2 ? 1 关于点 M(?1, 2) 对称的圆的方程是 (x ? 3)2 ? (y ? 3)2 ? 1 ; ②双曲线 x ? y ? 1 右支上一点 P 到左准线的距离为 18,那么该点到右焦点的距离为
16 9
2 2

29 ; 2

③顶点在原点,对称轴是坐标轴,且经过点 (?4, ?3) 的抛物线方程只能是 y 2 ? ? 9 x ;
4

④P、Q 是椭圆 x 2 ? 4y2 ? 16 上的两个动点,O 为原点,直线 OP,OQ 的斜率之积为 ? 1 ,
4

则 | OP |2 ? | OQ |2 等于定值 20 . 把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题 11.已知两点 A( 2,0) , B(? 2,0) ,动点 P 在 y 轴上的射影为 Q, PA ? PB ? 2PQ2 , (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)设直线 m 过点 A,斜率为 k,当 0 ? k ? 1 时,曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线 m 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 C 的坐标. 12.如图, F1 (?3,0) , F2 (3,0) 是双曲线 C 的两焦点,直线 x ? 4 是双曲线 C 的右准线,
3

??? ? ??? ?

???? ?

A1 , A2 是双曲线 C 的两个顶点,点 P 是双曲线 C 右支上异于 A 2 的一动点,直线 A1P 、 A2 P 交双曲线 C 的右准线分别于 M,N 两点,
(1)求双曲线 C 的方程;
???? ? ???? ? (2)求证: FM ? F2 N 是定值. 1
F1 A1 o N A2 y P M F2 x

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13.已知 ?OFQ 的面积为 S,且 OF ? FQ ? 1 ,建立如图所示坐标系,
??? ? (1)若 S ? 1 , | OF |? 2 ,求直线 FQ 的方程;
2

??? ? ??? ?

y Q

??? ? (2)设 | OF|? c(c ? 2) , S ? 3 c ,若以 O 为中心,F 为焦点的椭圆过点 Q,

o

F

x

求当 | OQ | 取得最小值时的椭圆方程. 14.已知点 H(?3, 0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且 满足 HP ? PM ? 0 , PM ? ? 3 MQ ,
2

????

4

??? ? ????

????

???? ?

(1)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; (2)过点 T(?1,0) 作直线 m 与轨迹 C 交于 A、B 两点,若在 x 轴上存在 一点 E(x 0 ,0) ,使得 ?ABE 为等边三角形,求 x 0 的值.
H

y P o T Q E M B

A

x

2 2 15.已知椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M 向

a

b

x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范 围; 16.已知两点 M(-1,0),N(1,0)且点 P 使 MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 成公差小于 零的等差数列, (Ⅰ)点 P 的轨迹是什么曲线? (Ⅱ)若点 P 坐标为 ( x0 , y0 ) , ? 为 PM与PN 的夹角,求 tanθ .

【参考答案】 一. 1.C .提示,设双曲线方程为 ( 1 x ? y)( 1 x ? y) ? ? ,将点 (6, 3) 代入求出 ? 即可.
3 3

1 , 3 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载 , 5

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2.D .因为双曲线的焦点在 x 轴上,故椭圆焦点为 ( 3m2 ? 5n 2 ,0) ,双曲线焦点为
2 2 2 2 ( 2m2 ? 3n 2 ,0) ,由 3m ? 5n ? 2m ? 3n 得 | m |? 2 2 | n | ,所以,双曲线的渐近线为

y??

6|n| 3 . ?? x 2| m| 4

3.C .设 | MF 1 |? d ,则 | MF 2 |? 2d , | FF 1 2 |? 3d ,
e? | FF c 2c 3d 3 . 1 2 | ? ? ? ? a 2a | MF1 | ? | MF2 | d ? 2d 3

4.C .曲线为双曲线,且 5 ? 1 ,故选 C;或用 a 2 ? 4 , b 2 ? ?m 来计算.
2

5.B .将两方程组成方程组,利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6.B .数形结合,利用梯形中位线和椭圆的定义. 二.7.解:设 c 为为椭圆半焦距,∵ PF1 ? PF2 ? 0
? 2 2 ? 2 ? PF1 ? PF2 ? (2c) 1 又 tan ?PF1 F2 ? ∴? ? PF1 ? PF2 ? 2a 2 ? ? PF2 ? 1 ? PF1 2 ?

,∴ PF1 ? PF2

.

解得: ( )2 ?

c a

5 c 5 . e? ? , 9 a 3

选 D.

8. 解:设 A(x0,0)(x0>0),则直线 l 的方程为 y=x-x0,设直线 l 与椭圆相交于 P(x1,y1),Q(x2、y2),由 y=x-x0 x2+2y2=12
x1 ? x 2 ?
2 4 x0 , 2 x ? 12 ,则 x1 ? x2 ? 0 3 3

可得 3x2-4x0x+2x02-12=0,

| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

16x0 8x ? 48 2 2 ? 0 ? 36 ? 2 x0 . 9 3 3

2

2

∴ 4 14 ? 1 ? x 2 ? | x1 ? x2 | ,即 4 14 ? 2 ? 2 ? 36 ? 2 x0 2 .
3

3

3

∴x02=4,又 x0>0,∴x0=2,∴A(2,0).
2 2 2 9.1; k ?| PF 1 | ? | PF 2 |? (a ? ex)(a ? ex) ? a ? e x .

10.②④.
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三. 11.解(1)设动点 P 的坐标为 (x, y) ,则点 Q(0, y) , PQ ? (?x,0) ,

??? ?

??? ? PA ? ( 2 ? x, ?y) ,

??? ? ??? ? ??? ? PB ? (? 2 ? x, ?y) , PA ? PB ? x 2 ? 2 ? y2 ,
因为 PA ? PB ? 2PQ2 ,所以 x 2 ? 2 ? y2 ? 2x 2 , 即动点 P 的轨迹方程为: y2 ? x 2 ? 2 ; (2)设直线 m: y ? k(x ? 2)(0 ? k ? 1) , 依题意,点 C 在与直线 m 平行,且与 m 之间的距离为 2 的直线上, 设此直线为 m1 : y ? kx ? b ,由 | 2k ? b | ? 2 ,即 b2 ? 2 2kb ? 2 ,……① 2
k ?1

??? ? ??? ?

???? ?

把 y ? kx ? b 代入 y2 ? x 2 ? 2 ,整理得: (k 2 ?1)x 2 ? 2kbx ? (b2 ? 2) ? 0 , 则 ? ? 4k 2b2 ? 4(k 2 ?1)(b2 ? 2) ? 0 ,即 b2 ? 2k 2 ? 2 ,…………② 由①②得: k ? 2 5 , b ? 10 ,
5
5

此时,由方程组 ? y ?

?

2 5 10 x? . 5 5 ? C(2 2, 10) ? ? y2 ? x 2 ? 2 ?

12.解:(1)依题意得: c ? 3 ,

a2 4 ? ,所以 a ? 2 , b2 ? 5 , c 3

x 2 y2 ? ? 1; 所求双曲线 C 的方程为 4 5
(2)设 P(x0 , y0 ) , M(x1, y1 ) , N(x 2 , y2 ) ,则 A1 (?2,0) , A2 (2,0) ,
???? ? ???? ? ????? ????? 2 A1P ? (x0 ? 2, y0 ) , A2P ? (x0 ? 2, y0 ) , A1M ? (10 , y1 ) , A 2 N ? (? , y 2 ) ,
3

3

因为 A1P 与 A1M 共线,故 (x 0 ? 2)y1 ?

???? ?

?????

10 10y0 y 0 , y1 ? ,同理: 3 3(x 0 ? 2)

y2 ? ?

2y0 , 3(x 0 ? 2)
???? ? 13 5 , y1 ) , F2 N ? (? , y 2 ) , 3 3

则 F1M ? (

???? ?

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5(x 0 ? 4) ???? ? ???? ? 2 20 ? 65 20y 65 65 4 所以 FM ? F2 N = ? ? y1 y 2 = ? ? 2 0 = ? ? 1 2
2

9

9

9(x 0 ? 4)

9

9(x 0 ? 4)

? ?10 .

13.解:(1)因为 | OF |? 2 ,则 F(2, 0) , OF ? (2,0) ,设 Q(x 0 , y0 ) ,则

??? ?

??? ?

??? ? FQ ? (x0 ? 2, y0 ) ,

??? ? ??? ? 5 OF ? FQ ? 2(x0 ? 2) ? 1,解得 x 0 ? ,
2
由S ?

? 1 ??? 1 1 5 1 | OF | ? | y 0 |?| y 0 |? ,得 y 0 ? ? ,故 Q( , ? ) , 2 2 2 2 2

所以,PQ 所在直线方程为 y ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 ; (2)设 Q(x 0 , y0 ) ,因为 | OF|? c(c ? 2) ,则 FQ ? (x0 ? c, y0 ) , 由 OF ? FQ ? c(x0 ? c) ? 1 得: x 0 ? c ? 又S ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

1 , c

1 3 3 c | y 0 |? c ,则 y 0 ? ? , 2 4 2

???? 1 3 1 9 Q(c ? , ? ) , | OQ |2 ? (c ? ) 2 ? , c 2 c 4
易知,当 c ? 2 时, | OQ | 最小,此时 Q( , ? ) ,

????

5 2

3 2

?a 2 ? b 2 ? 4 2 ? x 2 y2 ?a ? 10 ? 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) ,则 ? 25 ,解得 ? 2 , 9 a b ? ?b ? 6 ? 2 ? 2 ?1 4b ? 4a
所以,椭圆方程为

x 2 y2 ? ?1 . 10 6
???? ? 3 ???? y x MQ 得: P(0, ? ) , Q( , 0) , 2 2 3

14.解:(1)设 M(x, y) ,由 PM ? ? 由 HP ? PM ? 0 得: (3, ? )(x,

??? ? ????

y 2

3y ) ? 0 ,即 y2 ? 4x , 2

由点 Q 在 x 轴的正半轴上,故 x ? 0 , 即动点 M 的轨迹 C 是以 (0, 0) 为顶点,以 (1, 0) 为焦点的抛物线,除去原点; (2)设 m : y ? k(x ? 1)(k ? 0) ,代入 y2 ? 4x 得:

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k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2)x ? k 2 ? 0 …………①
设 A(x1 , y1 ) , B(x 2 , y2 ) ,则 x1 , x 2 是方程①的两个实根, 则 x1 ? x 2 ? ?

2(k 2 ? 2) 2 ? k2 2 , ,所以线段 AB 的中点为 ( , ), x x ? 1 1 2 k2 k2 k
2

线段 AB 的垂直平分线方程为 y ? 2 ? ? 1 (x ? 2 ? 2k ) ,
k k k

令 y ? 0 , x 0 ? 22 ? 1 ,得 E( 22 ? 1, 0) ,
k k

因为 ?ABE 为正三角形,则点 E 到直线 AB 的距离等于
k2 又 | AB |? (x1 ? x 2 )2 ? (y1 ? y 2 ) 2 = 4 1 ? ? 1? k2 , 2 k
4 所以, 2 3 1 ? k ? 2 2

3 | AB | , 2

k

|k|

1 ? k 2 ,解得: k ? ?
2

3 , x ? 11 . 0 3 2
2

15.解:(1)∵ F1 (?c,0),则x M ? ?c, y M ? b ,∴ k OM ? ? b .
a ac
2 ∵ k AB ? ? b , OM与 AB 是共线向量,∴ ? b ? ? b ,∴b=c,故 e ? 2 .

a

ac

a

2

(2)设 F1Q ? r1 , F2Q ? r2 , ?F1 QF2 ? ? ,
? r1 ? r2 ? 2a, F1 F2 ? 2c,
r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 a 2 a2 ? ? ?1 ? ?1 ? 0 r ?r 2r1r2 2r1r2 r1r2 ( 1 2 )2 2

cos ? ?

当且仅当 r1 ? r2 时,cosθ =0,∴θ ? [0, ] .

?

2

16.解:(Ⅰ)记 P(x,y),由 M(-1,0)N(1,0)得
???? ? ???? PM ? ?MP ? (?1 ? x, ? y), PN ? ?NP ? (?1 ? x,? y) , MN ? ?NM ? (2,0) .

所以

MP ? MN ? 2(1 ? x) . PM ? PN ? x 2 ? y 2 ? 1 , NM ? NP ? 2(1 ? x) .

于是, MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 是公差小于零的等差数列等价于
1 ? 2 2 ? x ? y ? 1 ? [2(1 ? x) ? 2(1 ? x)] 2 ? ? 2 ( 1 ? x ) ? 2 ( 1 ? x) ? 0 ?



?x 2 ? y 2 ? 3 ? ?x ? 0

.

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所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆. (Ⅱ)点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) 。 PM ? PN ? x0 2 ? y0 2 ? 1 ? 2 .
???? ? ??? ? 2 2 2 PM PN ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (4 ? 2 x0 ) ? (4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 ???? ? ???? PM ? PN 1 因为 0〈 x0 ? 3 , 所以 所以 cos ? ? ???? . ? ???? ? 2 PM ? PN 4 ? x0
1 ? 1 ? cos ? ? 1,0 ? ? ? , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? , 2 2 3 4 ? x0

tan? ?

sin ? ? cos?

1 1? 2 4 ? x0 1 2 4 ? x0

2 ? 3 ? x0 ? y0 .

1 , 3 , 5

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