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3.3直线的交点坐标与距离公式

时间:


9.过点(-2,4) 且在两坐标轴上截距的绝对值 相等的直线有(C) A.1条B.2条C.3条D.4条
解析:

若截距为0,则直线过原点,所以斜率k=-2, 直线方程为2x+y=0; 若截距不为0,设为a, 则有 x y 或 x y ? ?1 ? ?1 a a a ?a 将坐标 (-2,4)代入,可得a=2或a=-6, 所以两坐标轴上截距的绝对值相

等的直线有3 条, 2x+y=0,x+y-2=0,x-y+6=0

10.已知一直线通过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形的 面积为1,求这条直线的方程.

解:设直线方程为y-2=k(x+2), 令x=0得y=2k+2, 令y=0得x=-2-2/k, 则三角形面积为1

∴k=-2或-1/2, ∴所求直线方程为:2x+y+2=0或 x+2y-2=0

3.3 直线的交点坐标与 距离公式

主要内容
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离

3.3.3 点到直线的距离
3.3.4两条平行直线间的距离

3.3.1
两条直线的交点坐标

二元一次方程组的解有三种不同情况(唯一解,无 解,无穷多解),同时在直角坐标系中两条直线的位置关

系也有三种情况(相交,平行,重合),下面我们通过
二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的 位置关系。

?x ? y ? 1 (1) ? ?x ? y ? 1

?x ? y ? 1 (2) ? ?x ? y ? 2

?x ? y ? 1 (3) ? ?2 x ? 2 y ? 2

1.两条直线的交点:

探究1:已知两直线

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
如何判断这两条直线的关系?观察表一,并填空.

几何概念与代数表示
几何元素及关系
点A 直线l 点A在直线l上 代数表示

A(a, b) l : Ax ? By ? C ? 0
A的坐标满足方程 l : Aa ? Bb ? C ? 0 A的坐标是方程组的解

直线l1与l2的交点是A

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

探究2:如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标 与二元一次方程组有什关系?

如果两条直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
相交,由于交点同时在两条直线上,交点坐标一定是它们
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的方程组成的方程组 ? 的解; ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 反之,如果方程组 ? 只有一个解, A x ? B y ? C ? 0 ? 2 2 2

那么以这个解为坐标的点就是直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点。

例1:求下列两直线交点坐标:

l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0; l2 : 2x ? y ? 2 ? 0
?3x ? 4 y ? 2 ? 0 解:解方程组 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0


x ? ?2, y ? 2

M

所以l1与l2的交点坐标为M(-2,2).

(如图所示)

l1 l2

当?变化时,方程

3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0

表示什么图形?图形有何特点?

? =0时,方程为3x+4y-2=0 ? =1时,方程为5x+5y=0
? =-1时,方程为x+3y-4=0
上式可化为

作出相应的直线

y l1 l3 l2

0

x

表示的直线包括过交点M(-2,2)的一族直线

探究发现:此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y +2=0交点的直线束(直线集合) 结论引申:共点直线系方程:

A1x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0
是过直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程。

练习:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:

l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0, l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0
解:设直线方程为 x ? 2 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0 因为直线过原点(0,0),将其代入上式可得: λ=1 将λ=1 代入 x ? 2 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0

得 3x ? 3 y ? 0 即所求直线方程 x ? y ? 0.

2.两条直线的位置关系: 探究3:两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的 解的情况有何关系? 我们知道,平面内任意一条直线都会与一个二元一次 方程对应,即直线上的点的坐标是这个方程的解,反之亦 成立.那么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成 的方程组是否有解有没有关系?如果有,是什么关系?

设两条直线方程为:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线 上,交点的坐标一定是这个方程组的公共解;反之,如果

这两个二元一次方程只有一个公共解,那么以这个解为坐
标的点必是直线 l1 和 l 2 的交点. 思考:(1)若方程组没有解,两直线应是什么位置关系? (2)若方程组有无数解,两直线应是什么位置关系?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 解方程组 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

(1) (2)

当A1,A2,B1,B2全不为零时
(1)×B2-(2)×B1得(A1B2-A2B1)x=B1C2-B2C1

分类讨论:⒈当A1B2-A2B1≠0时,方程组有唯一解
B1C2 ? B2C1 A2C1 ? A1C2 x? ,y? A1B2 ? A2 B1 A1B2 ? A2 B1

⒉当A1B2-A2B1=0, B1C2-B2C1≠0 时,方程组无解 ⒊当A1B2-A2B1=0, B1C2-B2C1=0 时,方程组有无穷多解。 结论:当 A1 ? B1 时,两条直线相交,交点坐标为
A2 B2

(

B1C2 ? B2C1 A2C1 ? A1C2 , ) A1B2 ? A2 B1 A1B2 ? A2 B1

当 当

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

时,两直线平行;

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2 时,两条直线重合。

例2

判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出

交点坐标.

(1)l1 : x ? y ? 0, (2)l1 : 3x ? y ? 4 ? 0, (3)l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0,

l2 : 3x ? 3 y ? 10 ? 0 l2 : 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 l2 : 6 x ? 8 y ? 10 ? 0

?x ? y ? 0 解:(1)解方程组 ? ?3x ? 3 y ? 10 ? 0

5 得 x? y? 3
5 5 所以l1与l2相交,交点坐标为 ( , ) 3 3

?3x ? y ? 4 ? 0, (2) 解方程组 ? ?6 x ? 2 y ? 1 ? 0,
方法一: (1) ? 2 ? (2) 得 9 ? 0,

(1) (2)
矛盾,

所以方程组无解,两直线无公共点, 故 l1 , l2 平行。 方法二:
3 ?1 4 ? 由于 ? 6 ?2 ?1

所以方程组无解,两直线无公共点, 故 l1 , l2 平行。

?3x ? 4 y ? 5 ? 0, (3) 解方程组 ? ?6 x ? 8 y ? 10 ? 0,

(1) (2)

方法一: (1) ? 2 得 6 x ? 8 y ? 10 ? 0, 因此, (1), (2) 化成同一个方程,表示同一直线,

l1 , l2 重合。
方法二: 由于

3 4 ?5 ? ? 6 8 ?10

. l1 , l2 重合。 所以方程组有无数解,

例3 求经过两直线3x+2y+1=0 和 2x-3y+5=0的交 点,且斜率为3的直线方程.

例4.设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交,且交点 P在第一象限,求k的取值范围.

y B o P A x

小结
1.求两条直线的交点坐标 2.任意两条直线可能只有一个公共点,也可能 没有公共点(平行) 3.任意给两个直线方程,其对应的方程组得解 有三种可能可能: 1)有惟一解 2)无解 3)无数多解

4.直线族方程的应用

作业
P109 习题3.3A组:1,3,5. P110 习题3.3B组:1.

3.3.2

两点间的距离

3.两点间的距离公式:
探究4:
(1)如果A、B是

x 轴上两点,C、D是 y 轴上两点,

(0,yD) (0,yC) (xB, 0)、 它们坐标分别是(xA,0) 、 、 ,
那么|AB|、|CD|怎样求?

AB ? xA ? xB , CD ? yC ? yD
(2)已知 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,试求两点间的距离。



y1 ? y2
y
P2 ( x2 , y2 )

P 1 ( x1 , y1 )

x1

o

x2

x

PP 1 2 ? x2 ? x1



x1 ? x2
y
? P2 ( x1, y2 )

y2
o

x
?P 1 ( x1 , y1 )

y1

PP 1 2 ? y2 ? y1



x1 ? x2 , y1 ? y2

在平面直角坐标系中,从点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 分别向y轴和x轴作垂线 PN 1 1与P2 M2 ,垂足分别为
N1 ? 0,y1 ?,M 2 ? x2, 0? 直线 PN 1 1与P2 M2 相交于点Q。

y
P2 M2
Q

N2 M1
O

N1

P1

x

P P ? PQ ? QP2 如图 Rt ?PP 1 1 2Q 中, 1 2

2

2

2

为了计算其长度,过点 P 0? 1 向x轴作垂线,垂足为 M1 ? x1, 过点 P2 向y轴作垂线,垂足为 N2 ? 0,y2 ? ,

y
P2 M2
Q

N2 M1
O

N1

P1

x

? M 1M 2 ? x2 ? x1 , 于是有 PQ 1 QP2 ? N1 N 2 ? y2 ? y1

? x2 ? x1 ? y2 ? y1 所以 P 1P 2

2

2

2

所以两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 间的距离为
2 2 P P ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) 1 2 2 1 2 1

特殊地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离

OP ? x 2 ? y 2

已知平面上两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),如何
点P1和P2的距离|P1P2|? y P2(x2,y2)

P1(x1,y1)

O

x

两点间距离公式推导
y y2

P2(x2, y2)

| P2Q |?| y2 ? y1 |
y1
P1(x1,y1) x1

Q(x2,y1)
x2 x

O

| PQ 1 |?| x2 ? x1 |

两点间距离公式
一般地,已知平面上两点P1(x1, y1 )和P2(x2,y2), 利用上述方法求点P1和P2的距离为

| PP ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y 1 ) 1 2 |?
2

2

特别地,点P(x,y)到原点(0,0)的距离为

| OP |?

x ?y
2

2

例3 已知点 A(?1,2), B(2, 7), 在

x 轴上求一点 P ,

使 | PA |?| PB | ,并求 | PA | 的值。

解:设所求点为P(x,0),于是
由 PA ? PB
2 2



? x ? 1? ? ? 0 ? 2 ?
2

2

?

? x ? 2?

2

? 0? 7

?

?

2

即 x2 ? 2 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 11 解得 x=1。所以,所求点P(1,0)且

PA ? (1 ? 1) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2

例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和. 证明:以A为原点,AB为x轴建立直角坐标系. 则四个顶点坐标为A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c)

y
D (b,c) C (a+b,c) x
建立坐标系, 用坐标表示有 关的量。

A(0,0)

B(a,0)

例2题解
y | CD | ? a 2 2 2 | BC |2 ? b2 ? c 2 | AD | ? b ? c
2 2 2 2

| AB | ? a

D (b,c)

C (a+b,c)

| AC |2 ? (a ? b)2 ? c2 | BD |2 ? (b ? a)2 ? c2
2 2 2 2

A (0,0)
2 2

B (a,0)
2

x

| AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ? 2(a ? b ? c ) | AC |2 ? | BD |2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) | AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ?| AC | ? | BD |
2 2 2 2 2 2

因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和.

用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤: 第一步;建立坐标系, 用坐标系表示有关的量

第二步:进行 有关代数运算

第三步:把代数运算结果 “翻译”成几何关系

小结
1.两点间距离公式

| PP ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y 1 ) 1 2 |?
2

2

2.坐标法 第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量 第二步:进行有关代数运算

第三步:把代数运算结果翻译成几何关系

拓展
已知平面上两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),直线 P1P2的斜率为k,则 y2-y1可怎样表示?从而点P1和P2 的距离公式可作怎样的变形?

y2 ? y1 ? k ( x2 ? x1 )
2 |P P | ? | x ? x | 1 ? k 1 2 2 1

1 ?| y2 ? y1 | 1 ? 2 k

例3 设直线2x-y+1=0与抛物线

y ? x ? 3x ? 4
2

相交于A、B两点,求|AB|的值.

作业
P106练习:1,2. P110习题3.3 A组:6,7,8.

3.3.3

点到直线的距离

已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax +By +C=0,如 何求点P到直线 l 的距离?
点P到直线 l 的距离,是指从点P0到直线 l 的 垂线段P0Q的长度,其中Q是垂足. y

Q
P0 o

l

x

分析思路一:直接法

y
Q

直线 l 的方程 直线 l 的斜率

O

P0

l
x

l ? P0Q
点P 的坐标 0 直线P 的斜率 0Q

直线 l 的方程 点P 的坐标 0
0

直线P 的方程 0Q

点Q 的坐标

点P 、Q之间的距离

P0Q

(点

P0



l 的距离)

分析思路二:用直角三角形的面积间接求法
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
P0Q ? P0 S ? P0 R SR

y
求出P0R 求出P0S

S

利用勾股定理求出SR

d

Q
R

P0
面积法求出P0Q

l
x

O

y

Ax0 ? C ? ? S ? x0, ? B ? ? ?

Q l : Ax ? By ? C ? 0 d

y0
O

P0 (x0,y0)

? By0 ? C ? ? , y R? 0? A ? ?

x0

x

1 | P0 S || P0 R | 2

?

1 d | SR | 2

点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线 l :Ax +By +C=0的距离为: | Ax0 ? By0 ? C | d? A2 ? B 2

特别地,当A=0,B?0时, 直线By+C=0
| By0 ? C | C d? ?| y0 ? | |B| B

特别地,当B=0,A?0时, 直线Ax+C=0
d? | Ax0 ? C | C ?| x0 ? | | A| A

y

|y1-y0|
y ? y1

y1 y0 O

|x1-x0|
x ? x1

P0 (x0,y0)
x0 x1 x

点到坐标轴的距离
y y0

|x0|
P0 (x0,y0)

|y0|
O x0 x

, 2?到直线 l : 3 x ? 2 的距离. 例1.求点P 0 ?? 1
解: d ?
3 ? ?? 1? ? 2 32 ? 0 2 5 ? 3

思考:还有其他解法吗?

例2 已知点 A?1 , 3?,B?3, 1?,C?- 1, 0?,求 ?ABC 的面积. 分析:如图,设 AB 边上的高为 h ,则 y 1 S ?ABC ? AB ? h . 4 A 2
AB ?
的距离.

?3 ? 1? ? ?1 ? 3?
2

2

?2 2.

3 2 1

h
1 2 3

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB

C

B
x

-1 O

y ? 3 x ?1 ? , 解:AB 边所在直线的方程为: 1? 3 3 ?1
即:x ? y ? 4 ? 0 . 点 C ?? 1 , 0? 到 x ? y ? 4 ? 0 的距离

y
4 3 2 h 1

A B
3

h?
因此

?1 ? 0 ? 4

12 ? 12 C 1 5 -1 O S ?ABC ? ? 2 2 ? ? 5. 2 2

5 ? . 2

1 2

x

小结
点到直线的距离公式的推导及其应用 点P(x0,y0)到直线l:Ax +By +C=0的距离为:
d? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

作业
P110习题3.3A组:8,9. 3.3B组:2,4

3.3.4 两条平行直线间的 距离

两条平行直线间的距离是指夹在两 条平行线间公垂线段的长
两平行线间的距离处处相等

1. 怎样判断两条直线是否平行?

2.设l1//l2,如何求l1和l2间的距离? 1)能否将平行直线间的距离转化为点到直线 的距离? 2) 如何取点,可使计算简单?

例1 已知直线 l : 2x ? 7 y ? 8 ? 0 和 l : 6 x ? 21y ? 1 ? 0 2 1 l1 与l2 是否平行?若平行,求 l1与 l2的距离.

例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
解: 在l2上任取一点,如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离

两平行线间的 距离处处相等

? d?

2?3 ? 7?0 ? 8 2 ? ( ?7 )
2 2

14 14 53 ? ? 53 53

直线到直线的距离转化为点到直线的距离

例3. 求证:两条平行直线Ax+By+C1=0和 Ax+By+C2=0间的距离为

d?

| c1 ? c2 | A ?B
2

2

例4 已知P在x 轴上, P到直线l1: x- 3 y +7=0 与直线 l2:12x-5y+40=0 的距离相等, 求P点坐标。 解:设P(x,0), 根据P到l1、 l2距离相等,列式为
x ? 3 ?0 ? 7 1 ? (? 3 )
2 2

?

12 x ? 5 ? 0 ? 40 12 2 ? (?5) 2

171 x ?1 或 x ? ? 37 171 ,0) 所以P点坐标为:(1,0) 或 ( ? 37

小结
1. 两条平行直线间距离的求法 转化为点到直线的距离 2. 两条平行直线间距离公式

作业
P110习题3.3A组: 10. 习题3.3B组:3,6,9


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