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江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第2讲 函数的概念、图象与性质(3)教学案

时间:2016-09-30


江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第 2 讲 函数的概念、 图象与性质 (3)教学案
教学内容:函数的概念、图象与性质(3) 教学目标: 理解函数及其表示,掌握函数的图象;掌握函数的性质。 教学重点: 一是识图,二是用图,通过数形 结合的思想解决问题。 教学难点: 单调性、奇偶性、周期性等综合应用. 教学过程: 一、基础训练: 1 1 1.已知函数 f(x)为奇

函数,且当 x≥0 时,f(x)= -a,则 f(log32)=________. 3x+2 013 1 答案 2 015×2 014 1 解析 由题意,可知函数 f(x)为奇函数, 所以 f(0)= -a=0, 30+2 013 1 1 1 解得 a=2 014,所以当 x≥0 时,f(x)= - . 3x+2 013 2 014 1 1 1 1 1 所以 f(log32)= - = - =-2 015×2 014. 3log32+2 013 2 014 2 015 2 014 1 1 从而 f(log32)=f(-log32)=-f(log32)=2 015×2 014. 2.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当- 1≤x<3 时,f(x) =x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 013)=________. 答案 337 解析 ∵f(x+6)=f(x),∴T=6.∵当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2, 当-1≤x<3 时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)= 1, 2 010 ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1× 6 =335. 而 f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)=f(1)+f(2)+f(3)=2, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 013)=335+2=337. 3.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2,若对任意的 x∈[-2- 2, 2+ 2],不等式 f(x+t)≤2f(x)恒成立,则实数 t 的取值范围是________. 答案 (-∞,- 2] 解析 设 x< 0,则-x>0.f(-x)=(-x)2,又∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-x2. ∴f(x)在 R 上为增函数,且 2f(x)=f( 2x). 复备栏

1

∴f(x+t)≤2f(x)=f( 2x)?x+t≤ 2x 在[-2- 2,2+ 2]上恒成立, ∵x+t≤ 2x?( 2-1)x≥t, 要使原不等式恒成立,只需( 2-1)(-2- 2)≥t ?t≤- 2即可. 4.(2013· 天津改编)已知函数 f(x )是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调 递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(loga)≤2f(1),则 a 的取值范围是________. 答案

?1,2? ?2 ?
1

解析 由题意知 a>0,又 log 2 a=log2a-1=-log2a.
1

∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(log2a)=f(-log2a)=f(log 2 a),
1

∵f(log2a)+f(log 2 a)≤2f(1),∴2f(log2a)≤2f(1),即 f(log2a)≤f(1).

?1 ? 又∵f(x)在[0,+∞)上递增,∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a∈ 2,2 . ? ?
二、例题教学: 例 1 (2014· 温州模拟)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (1)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析式. 解:(1)因为对任意 x∈R 有 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,所以 f(f(2)-22+2)=f(2)-22 +2,又 f(2)=3,从而 f(1)=1. 若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a)=a. (2)因为对任意 x∈R,有 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,又有且仅有一个实数 x0,使 得 f(x0)=x0,故对任意 x∈R,有 f(x)-x2+x=x0.在上式中令 x=x0,有 f(x0)-x2 0+x0= x0. 又因为 f(x0)=x0,所以 x0-x2 0=0,故 x0=0 或 x0=1. 若 x0=0,则 f(x)=x2-x,但方程 x2-x=x 有两个不相同实根,与题设条件矛盾,故 x0≠0. 若 x0=1,则有 f(x)=x2-x+1,易证该函数满足题设条件. 综上,所求函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-x+1. 变式训练: 若函数 f(x)= x (a≠0),f(2)=1,又方程 f(x)=x 有惟一解,求 f(x)的解析式. ax+b

2 解:由 f(2)=1 得 =1, 即 2a+b=2; 2a+b 1-b x ? 1 ? 由 f(x)=x 得 =x,变形得 x ax+b-1 =0,解此方程得 x=0 或 x= a , ax+b ? ? 1-b 1 又因方程有惟一解,故 a =0,解得 b=1,代入 2a+b=2 得 a=2, 2x 所以 f(x)= . x+2

2

例 2 (2014· 福州模拟)已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围. 解:(1)当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R,x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2).∵2x1<2x2,a>0?a(2x1-2x2)<0, 3x1<3x2,b>0?b(3x1-3x2)<0,∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 同理,当 a<0,b<0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数. a ?3? (2)f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0,当 a<0,b>0 时, 2 x>-2b, ? ? a ? a? ?3? 则 x>log1.5 -2b ;同理,当 a>0,b<0 时, 2 x<-2b, ? ? ? ?

? a? 则 x<log1.5 -2b . ? ?
变式训练: (2014· 苏北三校联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的 周期函数; (2)若 f(x)= x(0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式. 解:(1)证明:由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,得 f(x+1)=f(1-x), 即有 f(-x)=f(x+2).又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故有 f(-x)=-f(x).故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f (0)=0. x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=- -x,又 f(0)=0, 故 x∈[-1,0]时, f(x)=- -x.x∈[-5,-4],x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4.从而,x∈[-5,-4]时,函数 f(x)=- -x-4 . 巩固练习: 1.函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,当 x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0 成立,
1 1 1 1 若 a=20.2· f(20.2),b=ln 2· f(ln 2),c=(log 2 4)· f(log 2 4),则 a,b,c 的大小关系是

________. 解析 因为函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,所以 y=f(x)关于 y 轴对称. 所以函数 y=xf(x)为奇函数.因为*xf(x)+′=f(x)+xf′(x), 所以当 x∈(-∞,0)时,*xf(x)+′=f(x)+xf′(x)<0, 函数 y=xf(x)单调递减,从而当 x∈(0,+∞)时,函数 y=xf(x)单调递减.
1 1 1 1 因为 1<20.2<2,0<ln 2<1,log 2 4=2,从而 0<ln 2<20.2<log 2 4,所以 b>a>c.

2.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足以下三个条件: ①对于任意的 x∈R,都有 f(x+4)=f(x);

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②对于任意的 x1, x2∈R, 且 0≤x1<x2≤2, 都有 f(x1)<f(x2); ③函数 y=f(x+2)的图象关于 y 轴对称. 则 f(4.5),f(6.5),f(7)的大小关系是______________. 解析 由已知得 f(x)是以 4 为周期且关于直线 x=2 对称的 函数. 1 1 5 5 所以 f(4.5)=f(4+2)=f(2),f(7)=f(4+3)=f(3),f(6.5)=f(4+2)=f(2).又 f(x)在[0,2]上 为增函数.所以作出其在[0,4]上的图象知 f(4.5)<f(7)<f(6.5). 3.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=-f(x),且当 x∈[0,2) 时,f(x)=log8(x+1),则 f(-2 013)+f(2 014)的值为________. 解析 当 x≥0 时,有 f(x+2)=-f(x),故 f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x). 由函数 f(x)在 R 上为偶函数,可得 f(-2 013)=f(2 013), 故 f(2 013)=f(4×503+1)=f(1),f(2 014)=f(4×503+2)=f(2). 1 而 f(1)=log8(1+1)=log82=3,f(2)=f(0+2)=-f(0)=-log81=0. 1 所以 f(-2 013)+f(2 014)=3.
? ?a,a≤b, 4. 对于任意实数 a, b, 定义 min{a, b}=? 设函数 f(x)=-x+3, g(x)=log2x, ?b,a>b. ?

则函数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是____ ____.
?log2x,0<x≤2, ? 解析 依题意,h(x)=? 当 0<x≤2 时,h(x)=log2x 是增函数; ? ?-x+3,x>2.

当 x>2 时,h(x)=3-x 是减函数,∴h(x)在 x=2 时,取得最大值 h(2)=1. 课后反思:

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