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第2讲排列组合


专题十一分类加法计数原理与分 步乘法计数原理 第2讲 排列组合 1.考查排列组合的概念及其公式的推导. 2.考查排列组合的应用. 【复习指导】 复习时要掌握好基本计算公式和基本解题指导思想,掌 握一些排列组合的基本模式题的解决方法,如指标分配 问题、均匀分组问题、双重元素问题、涂色问题、相邻 或不相邻问题等. 1.排列 2.组合 一个区别 四字口诀 求解排列

组合问题的思路:“排组分清,加乘明确;有序 排列,无序组合;分类相加,分步相乘.” 考向一 排列问题 【例1】六个人按下列要求站成一排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站在两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间恰有两人;(5)甲不站在左端,乙不站在右端; (6)甲、乙、丙三人顺序已定. [审题视点] 根据题目具体要求,选择恰当的方法,如捆绑 法、插空法等. 【反思与悟】 有条件的排列问题大致分四种类型. (1)某元素不在某个位置上问题,①可从位置考虑用其它元素 占上该位置,②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问 题);③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个 数. (2)某些元素相邻,可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法) 然后与其它元素排列. (3)某些元素互不相邻,可将其它剩余元素排列,然后用这些 元素进行插空(即插空法). (4)某些元素顺序一定,可在所有排列位置中取若干个位置, 先排上剩余的其它元素,这个元素也就一种排法. 【变式1-1】 用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位 数,分别有多少个?(1)0不在个位;(2)1与2相邻;(3)1与2不 相邻;(4)0与1之间恰有两个数;(5)1不在个位;(6)偶数数字 从左向右从小到大排列. 考向二 组合问题 【例2】某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名 参加赈灾医疗队,其中 (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不 同选法? (2)甲、乙均不能参加,有多少种选法? (3)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法? (4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法? [审题视点] “无序问题”用组合,注意分类处理. 【反思与悟】 对于有条件的组合问题,可能遇到含某个(些) 元素与不含某个(些)元素问题;也可能遇到“至多”或“至 少”等组合问题的计算,此类问题要注意分类处理或间接计 算,切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误. 【变式2-1】 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,(1)甲、 乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种?(2)甲、乙 所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种? 考向三 排列、组合的综合应用 【例3】(1)7个相同的小球,任意放入4个不同的盒子中, 试问:每个盒子都不空的放法共有多少种? (2)计算x+y+z=6的正整数解有多少组; (3)计算x+y+z=6的非负整数解有多少组. [审题视点] 根据题目要求分类求解,做到不重不漏. 【变式3-1】 有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多 少种不同的分配方式? (1)分成1本、2本、3本三组; (2)分给甲、乙、丙三人,其中一人1本,一人2本,一人3本; (3)分成每组都是2本的三组; (4)分给甲、乙、丙三人,每人2本. 实际问题意义不清,计算重复、遗漏致误 【问题诊断】 排列组合问题由于其思想方法独特计算量庞 大,对结果的检验困难,所以在解决这类问题时就要遵循 一定的解题原则,如

第2讲 排列与组合

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第2讲 排列与组合的基本问题

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