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2015年高考试题文科数学分类汇编:圆锥曲线

时间:2015-08-11


2012 年高考试题分类汇编:圆锥曲线 一、选择题
1.【2012 高考新课标文 4】设 F1F2 是椭圆 E : 线x?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直 a 2 b2


3a ? 上一点, ?F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 1 2

? ? ( A) ( B) (C ) (D) 2 3 ? ?

【答案】C 2. 【 2012 高考新课标文 10 】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线

y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A)
【答案】C 3.【2012 高考山东文 11】已知双曲线 C1 :



2

( B) 2 2

(C ) ?

(D) ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 a 2 b2

C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为

(A) x 2 ? 【答案】D

8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(C) x 2 ? 8 y

(D) x2 ? 16 y

4.【2012 高考全国文 5】椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方 程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 16 12 x2 y 2 ? ?1 8 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 12 8 x2 y 2 ? ?1 12 4

(C)

(D)

【答案】C

P 在 C 上, 5.【2012 高考全国文 10】已知 F 1 、F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、右焦点,点
2 2

| PF1 |? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1PF2 ?
(A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

【答案】C 6.【2012 高考浙江文 8】 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双 曲线的两顶点。若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3

B.2

C.

3

D.

2

【答案】B 7.【2012 高考四川文 9】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点

M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? (
A、 2 2 【答案】B B、 2 3 C、 4

) D、 2 5

8. 【2012 高考四川文 11】 方程 ay ? b2 x2 ? c 中的 a, b, c ?{?2,0,1, 2,3} , 且 a, b, c 互不相同, 在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( A、28 条 B、32 条 C、36 条 【答案】B ) D、48 条

9.【2012 高考上海文 16】对于常数 m 、 n , “ mn ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 的曲线是椭 圆”的( ) B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充

A、充分不必要条件 分也不必要条件

【答案】B. 表示的是椭圆”的必要不充分条件。 10.【2012 高考江西文 8】椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦 a 2 b2

点分别是 F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 A.

1 4

B.

5 5

C.

1 2

D.

5-2

【答案】B

x2 y 2 11.【2012 高考湖南文 6】已知双曲线 C : 2 - 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐 a b
近线上,则 C 的方程为

A.

x2 y2 x2 y 2 x2 y 2 =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20

D.

x2 y2 =1 20 80

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【答案】A 12.【2102 高考福建文 5】已知双曲线 于 A

x2 y 2 =1 的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率等 a2 5

3 14 14

B

3 2 4

C

3 2

D

4 3

【答案】C.
2 【解析】根据焦点坐标 (3,0) 知 c ? 3 ,由双曲线的简单几何性质知 a ? 5 ? 9 ,所以 a ? 2 ,

因此 e ?

3 .故选 C. 2

二 、填空题
13.【2012 高考四川文 15】椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a 为定值,且 a ? 5) 的的左焦点为 F ,直线 a2 5 x ? m 与椭圆相交于点 A 、B ,?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。 2 【答案】 , 3
2

14.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x

?

y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线

2

上一点,若 P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】 2 3 15.【2012 高考江苏 8】 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 率为 5 ,则 m 的值为 ▲ . 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 16.【2012 高考陕西文 14】右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米.

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心 m m ?4

【答案】 2 6 . 17.【2012 高考重庆文 14】设 P 为直线 y ?

b x2 y 2 x 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支的 3a a b

交点, F 1 是左焦点, PF 1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ?

【答案】

3 2 4

18.【2012 高考安徽文 14】过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,若

| AF |? 3 ,则 | BF | =______。
【答案】

3 2

19. 【 2012 高 考 天 津 文 科 11 】 已 知 双 曲 线 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与 双 曲 线 a2 b2
b?

x2 y2 C2 : ? ? 1 有相同的渐近线,且 C1 的右焦点为 F ( 5,0) ,则 a ? 4 16
【答案】1,2

三、解答题
20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆错误!未找到引用源。 (a>b>0),点 P(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用 源。 )在椭圆上。 (I)求椭圆的离心率。 (II)设 A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 OQ 的 斜率的值。

21.【2012 高考江苏 19】 (16 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

e) 和 ? e , 0) .已知 (1 , 的左、右焦点分别为 F1 (?c , 0) , F2 (c ,
的离心率. (1)求椭圆的方程;

? ? ?

3? ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆 2 ? ?

(2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于 点 P.

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

【答案】解: (1)由题设知, a2 =b2 ? c2,e=

c e) 在椭圆上,得 ,由点 (1 , a


12 e2 1 c2 ? ? 1 ? ? =1 ? b2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1 a 2 b2 a 2 a 2b 2
∴ c 2 =a 2 ? 1 。

由点 ? e ,

? ? ?

3? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2 2

? 3? ? 3? ? ? ? ? e2 ? 2 ? c2 ? 2 ? a2 ? 1 3 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 2 2 4 4 1 4 a b a a
∴椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 。 2

0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , (2)由(1)得 F1 (?1 , 0) , F2 (1,
∴ 设

AF1 、 BF2 的 方 程 分 别 为 my =x ? 1,my =x ? 1 ,

A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 。
? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 。 m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 =

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0?
2

2

= ? my1 ?

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 。① ? y = m ?1 ? ? m2 ? 2 m2 ? 2
2 1 2

同理, BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2

。②

(i)由①②得, AF1 ? BF2 ? ∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 。 ∴直线 AF1 的斜率为

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 = 。解 得 m 2 =2。 2 2 m ?2 m ?2 2

1 2 = 。 m 2

( ii ) 证 明 : ∵

AF1 ∥

BF2 , ∴

PB BF2 ? PF1 AF1

, 即

BF PB ? PF 1 BF ? AF PB 2 ?1 ? 2 ?1? ? 。 PF1 AF 1 PF 1 AF 1
∴ PF1 =

1

AF1 BF1 。 AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF 1= 1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF

AF1 2 2 ? BF2 。 AF1 ? BF2

?

?

同理。 PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 。 AF1 ? BF2

?

?

∴ PF1 +PF2 =

AF1 BF2 2 AF ?BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

?

?

?

?

由①②得, AF1 ? BF = ∴ PF1 +PF2 =2 2 ?

2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

? , AF ?BF = m

2

?1

m ?2

2



2 3 = 2。 2 2

∴ PF1 ? PF2 是定值。 【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。

e) 和 ? e , 【解析】 (1)根据椭圆的性质和已知 (1 ,
(2)根据已知条件 AF1 ? BF2 ?

? ? ?

3? ? 都在椭圆上列式求解。 2 ? ?

6 ,用待定系数法求解。 2 22.【2012 高考安徽文 20】 (本小题满分 13 分)
如图, F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 + =1( a ? b ? 0 ) a2 b2

的左、右焦点, A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另 一个交点, ?F1 A F2 =60°. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值. 【解析】

23.【2012 高考广东文 20】 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 a 2 b2

F1 (? 1, 0),且点 P(0,1) 在 C1 上.
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.
2

【答案】 【解析】 (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1,0) ,所以 c ? 1 , 点 P(0,1) 代入椭圆
2 2 2

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 1 ,即 b ? 1 , 2 b a b

所以 a ? b ? c ? 2 ,

x2 ? y 2 ? 1. 所以椭圆 C1 的方程为 2
(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? x2 ? ? y2 ? 1 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 , ?2 ? y ? kx ? m ?
因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 ? ? 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 0 , 整理得 2k ? m ? 1 ? 0
2 2



? y2 ? 4x ,消去 y 并整理得 k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 。 ? ? y ? kx ? m
因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4)2 ? 4k 2 m2 ? 0 , 整理得 km ? 1 ②

? 2 ? 2 ?k ? ?k ? ? 综合①②,解得 ? 2 或? 2 。 ?m ? 2 ?m ? ? 2 ? ?
所以直线 l 的方程为 y ?

2 2 x? 2 或 y ?? x? 2 。 2 2

24.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 2 + 2 =1(a>b>0)的一个顶点为 A (2,0) ,离心率为 , 直线 y=k(x-1) 2 a b 2

与椭圆 C 交与不同的两点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为 【答案】

10 时,求 k 的值 3

25.【2012 高考山东文 21】 (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 M :
3 x2 y 2 ,直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

形 ABCD 的面积为 8.

(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P , Q , l 与矩形 ABCD 有两个 不同的交点 S , T .求 【答案】(21)(I) e ?
| PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |

c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? ??① a 2 a2 4

矩形 ABCD 面积为 8,即 2 a ? 2b ? 8 ??② 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (II) ? ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , y ? x ? m , ?

8 4m2 ? 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? , 5 5
由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .

4m2 ? 4 4 2 ? 8 ? | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 . 5 5 ? 5 ?
当 l 过 A 点时, m ? 1 ,当 l 过 C 点时, m ? ?1 . ①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2,2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,

2

| PQ | 4 5 ? m2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 , 2 | ST | 5 (3 ? m) 5 t t
| PQ | 1 3 4 5 2 其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, 取得最大值 5. | ST | t 4 3 3 5

②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , 由此知,当 m ? 0 时,

| PQ | 5 2 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

| PQ | 2 ? 5 ? m2 , | ST | 5

| PQ | 2 取得最大值 5. | ST | 5

| PQ | 5 2 综上可知,当 m ? ? 和 0 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

26.【2102 高考福建文 21】 (本小题满分 12 分) 如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上。

(1) 求抛物线 E 的方程;

(2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的圆 恒过 y 轴上某定点。

【答案】

27.【2012 高考上海文 22】 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 6 分 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2 x2 ? y 2 ? 1 (1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点,若 MF ? 2 2 ,求点 M 的坐标; (2) 过 C 的左焦点作 C 的两条渐近线的平行线, 求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为 k ( k ? 证: OP ⊥ OQ

2 )的直线 l 交 C 于 P 、 Q 两点,若 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1相切,求









28. 【2012 高考新课标文 20】 (本小题满分 12 分) 2 设抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径 的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值. 【答案】

29.【2012 高考浙江文 22】本题满分 14 分)如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1,错误! 不能通过编辑域代码创建对象。 )到抛物线 C: y =2px(P>0)的准线的距离为错误!不能 通过编辑域代码创建对象。 。点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分。
2

(1)求 p,t 的值。 (2)求△ABP 面积的最大值。 【答案】

【解析】

1 ? 2 pt ? 1 ? ? ?p ? (1)由题意得 ? 2. p 5 ,得 ? 1? ? ? ? ? 2 4 ?t ? 1
(2)设 A( x1, y1 ), B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点坐标为 Q(m, m) 由题意得,设直线 AB 的斜率为 k(k ? 0 ). 由?

? y12 ? 2px1 ? ,得 ( y2 ? y1 )( y1 ? y2 ) ? k ( x2 ? x1 ) ,得 k ? 2m ? 1 2 y ? 2px ? ? 2 2
1 ( x ? m) ,即 x ? 2my ? 2m2 ? m ? 0 . 2m

所以直线的方程为 y ? m ?

2 ? ? x ? 2my ? 2m ? m ? 0 由? 2 ,整理得 y 2 ? 2my ? 2m2 ? m ? 0 , ? ?y ? x

所以 ? ? 4m ? 4m , y1 ? y2 ? 2m , y1 y2 ? 2m2 ? m .从而得
2

AB ? 1 ?

1 y1 ? y2 ? 1 ? 4m2 4m ? 4m2 , 2 k

设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则

d?

1 ? 2m ? 2m 2 1 ? 4m 2

,设 ? ABP 的面积为 S,则 S ?

1 AB ? d ? 1 ? 2(m ? m 2 ) ? m ? m 2 . 2

2 由 ? ? 4m ? 4m ? 0 ,得 0 ? m ? 1 .

1 2 ,则 S ? t (1 ? 2t ) . 2 1 2 2 设 S ? t (1 ? 2t ) , 0 ? t ? ,则 S ? ? 1 ? 6t . 2
令t ?

m ? m2 , 0 ? t ?

2 由 S ? ? 1 ? 6t ? 0 , 得t ?

6 ? 1? 6 6 所以 S max ? , 故 ? ABP 的面积的最大值为 . ? ? 0, ? , 9 9 6 ? 2?
1 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C: x2+y2-4x+2=0 2

30.【2012 高考湖南文 21】 (本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中, 已知中心在原点, 离心率为 的圆心. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
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(Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 相切时,求 P 的坐标.

1 的直线 l1,l2.当直线 l1,l2 都与圆 C 2

【答案】 【解析】 (Ⅰ)由 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 .故圆C的圆心为点

(2,0), 从而可设椭圆E的方程为
c ? 2, e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 其焦距为 2c ,由题设知 a 2 b2

c 1 ? ,? a ? 2c ? 4, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12. 故椭圆E的方程为: a 2

x2 y 2 ? ? 1. 16 12
( Ⅱ ) 设 点 p 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , l1 , l2 的 斜 分 率 分 别 为 k1 , k2 . 则 l1 , l2 的 方 程 分 别 为

1 l1 : y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ), l2 : y ? y0 ? k2 ( x ? x0 ), 且 k1k 2 ? . 由 l1 与圆 c : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 相 2
切,得

2k1 ? y0? k12 ? 1
即 同理可得

k1 x0 ? 2,

2 2 2 ? ?(2 ? x0 ) ? 2 ? ? k1 ? 2(2 ? x0 ) y0 k2 ? y0 ? 2 ? 0. 2 ? ? x0 2 ) ? ? k2 ? ?( 2 ?2 2 ? 2 ( x2 y0 ?k )2 ? y? . 0 0

2

0

0 2 2 从而 k1 , k2 是方程 ? ?(2 ? x0 ) ? 2 ? ? k ? 2(2 ? x0 ) y0 k ? y0 ? 2 ? 0 的两个实根,于是

? (2 ? x0 ) 2 ? 2 ? 0, ? ? 2 2 ?? ? 8 ? ?(2 ? x0 ) ? y0 ? 2 ? ? ? 0, ?
且 k1k2 ?
2 y0 ?2 ? 2. (2 ? x2 )2 ? 2



2 2 ? x0 y0 ? ? 1, ? 10 ? 16 12 2 由? 得 5x0 ? 8x0 ? 36 ? 0. 解得 x0 ? 2, 或 x0 ? . 2 5 ? y0 ? 2 ? 1 2 ? ? (2 ? x0 ) ? 2 2

由 x0 ? ?2 得 y0 ? ?3; 由 x0 ?

18 57 , 它们满足①式,故点P的坐标为 得 y0 ? ? 5 5

18 57 18 57 (?2,3) ,或 (?2, ?3) ,或 ( , ) ,或 ( , ? ). 5 5 5 5
【点评】 本题考查曲线与方程、 直线与曲线的位置关系, 考查运算能力, 考查数形结合思想、

函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出 c, a, b 即得椭圆 E 的 方程,第二问设出点 P 坐标,利用过 P 点的两条直线斜率之积为

1 ,得出关于点 P 坐标的 2

一个方程,利用点 P 在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点 P 坐标. 31.【2012 高考湖北文 21】 (本小题满分 14 分) 2 2 设 A 是单位圆 x +y =1 上任意一点, l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线, D 是直线 l 与 x 轴的交点, 点 M 在直线 l 上,且满足 当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨迹 为曲线 C。 (1)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标。 (2)过原点斜率为 K 的直线交曲线 C 于 P,Q 两点,其中 P 在第一象限,且它在 y 轴上的 射影为点 N, 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H, 是否存在 m,使得对任意的 K>0, 都有 PQ⊥PH? 若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由。 21. 【答案】

【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想 以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论, 不要漏解;对于探讨性问题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求 解的条件,对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求. 32.【2012 高考全国文 22】(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
2 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ? ) ? r (r ? 0) 有一个公共点 A ,
2 2 2

1 2

且在点 A 处两曲线的切线为同一直线 l . (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的 距离。 【答案】

33.【2012 高考辽宁文 20】(本小题满分 12 分) 如图,动圆 C1 : x2 ? y 2 ? t 2 ,1<t<3, 与椭圆 C2 :

x2 ? y 2 ? 1相交于 A, B, C, D 四点, 点A 1, A 2 9

分别为 C2 的左,右顶点。 (Ⅰ)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并 求出其最大面积; (Ⅱ)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程。 【答案】

【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程,椭圆的几何性质,轨迹方程的求法,考查函

数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力,难度较大。 34.【2012 高考江西文 20】 (本小题满分 13 分) 已 知 三 点 O ( 0,0 ) , A ( -2,1 ) , B ( 2,1 ) , 曲 线 C 上 任 意 一 点 M ( x,y ) 满 足

(1)求曲线 C 的方程; (2)点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线 C 上动点,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l,点 P 的坐标是(0, -1) ,l 与 PA,PB 分别交于点 D,E,求△QAB 与△PDE 的面积之比。 【答案】 【解析】

35.【2012 高考四川文 21】(本小题满分 12 分) 如图,动点 M 与两定点 A(?1, 0) 、 B(1, 0) 构成 ?MAB ,且直线 MA、MB 的斜率之积

y

M

A
为 4,设动点 M 的轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程;

O B

x

( m ? 0 )与 y 轴 交 于 点 P , 与 轨 迹 C 相 交 于 点 Q、R , 且 (Ⅱ)设直线 y ? x? m | P Q |? | P R,求 |
【答案】 【解析】

| PR | 的取值范围。 | PQ |

36.【2012 高考重庆文 21】本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分) 已知椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴 上,上顶点为 A ,左、右焦点分别为

F1 , F2 ,线段 OF1 , OF2

的中点分别为

且△ AB1B2 是面积为 4 的直角三 B1, B2 , 角形。 (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方 程;(Ⅱ)过 B1 作直线交椭圆于 P, Q ,

PB2 ? QB2 ,求△ PB2Q 的面积
x2 y2 16 10 【答案】 (Ⅰ) + =1(Ⅱ) 20 4 9

37.【2012 高考陕西文 20】 (本小题满分 13 分)

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 已知椭圆 C1 : 4
(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。 【答案】

??? ?

??? ?


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