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2014年杭州市第一次高考科目教学质量检测(数学理)答案


2014 年杭州市第一次统测数学试卷 数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 D 5 B 6 A 7 D 8 C 9 C 10 B

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.1-i 1

5.1 12.2 16.2

2 13. (? ,0) 3
17.
12 ? 34 4

14.4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)f (x)=

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2

π? ? = sin ? 2 x ? ? ? 1 . 6? ?
所以 f (x)min=-2.……………………………………………………………………7 分

π? π π ? (Ⅱ)因为 f (C)= sin ? 2C ? ? ? 1 =0,只有 2C ? = , 6? 6 2 ?

π . 3 又因为 sinB=2sinA,根据正弦定理,得 b=2a 又因为 c=3,根据余弦定理,得
即 C= 9=a2+b2-2abcos 联立,解得



π 3



? ?a ? 3 .…………………………………………7 分 ? ? ?b ? 2 3
19. (本题满分 14 分)

3 3 ? ,所以 n=5,即 5 个球中有 2 个白球. n 5 所以白球的个数 ξ 可取 0,1,2.
解: (Ⅰ)由题意,得 因为 P(ξ=0)=
2 1 2 C3 C3 C2 C1 1 3 3 3 3C2 = ; P ( ξ = 1) = = ; P ( ξ = 2) = = ; 3 3 3 C5 5 10 C 5 10 C5

所以

E(ξ)=

1 3 3 6 ×0+ ×1+ ×2= .……………………7 分 10 5 10 5
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(Ⅱ)由题设知
2 2 C2 4 p (1 ? p) ?

8 27 2 9



因为 p(1-p)>0,所以①式可化为 p(1-p)> 解之得

1 2 ? p? 3 3
又 6p∈N*,所以 6p=3,即 p= 所以

1 . 2

3 1 ? ,即 n=6. …………………………………………………………………7 分 n 2 20. (本题满分 15 分) 解: (I)因为 a1+a2+a3+…+an-1+an=n-an ① a1+a2+a3+…+an+an+1=n+1-an+1 ② ②-①得 2an+1-an=1 1 1 1 即 an+1-1= ( an-1),又因为 a1= ,所以 a1-1=- . 2 2 2 1 1 所以数列{an-1}是以- 为首项,以 为公比的等比数列.…………………………7 分 2 2 1 1 n?2 (Ⅱ)由(I)知 an-1=- n ,即 an=1- n ,所以 bn= n . 2 2 2 n ? 1 ? 2 n ? 2 n ? 1 ? 2(n ? 2) 3 ? n 由 bn ?1 ? bn ? ? n ? ? n ?1 ? 0 可得 n<3, 2n ?1 2 2n ?1 2 由 bn+1-bn<0 可得 n>3,所以 b1<b2<b3=b4>b5>…>bn…. 1 1 故 bn 有最大值 b3=b4= ,所以对任意 n∈N*,有 bn≤ , 8 8 1 1 1 所以 bn+ t≤t2,即 bn≤t2- t,则 (bn)max≤t2- t, 4 4 4 1 2 1 1 1 所以 ≤t - t,解得 t≥ 或 t≤- . 4 2 4 8 1 1 所以 t 的取值范围是(-∞, - ]∪[ ,+∞).…………………………………………8 分 4 2 21. (本题满分 15 分) 解: (1)由依题意 因为 (-2)2=2p 得 p=2;
又因为

(?2 ? 0)2 ? (1 ? b)2 ? 1 ? 1

得 b=-1;……………………………………………5 分 (2)设直线 PA 的斜率为 k,则直线 PB 的斜率为-k,所以

即 根据韦达定理,有

? x2 ? 4 y ? ? y ? 1 ? k ( x ? 2) 2 x -4kx-8k-4=0 xA+xP=4k
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xA=4k+2,所以点 A (4k ? 2,(2k ? 1)2 ) ,同理 B (?4k ? 2,(?2k ? 1)2 ) .

所以直线 AB 的斜率为: k AB ?

(2k ? 1)2 ? (?2k ? 1) 2 ? 1 .…………………………5 分 4k ? 2 ? (?4k ? 2) t ?3 2


故设直线 AB 的方程为 y=x+t,则点 P 到 AB 的距离 d ? 联立直线 AB 与圆 C 的方程,得

? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ? ?y ? x ? t


2 x2 ? 2(t ? 1) x ? t 2 ? 2t ? 0
4(t ? 1)2 ? 8(t 2 ? 2t ) ? 2 ? ?t 2 ? 2t ? 1 , 2 1 t ?3 ? ? ? 2 ? ?t 2 ? 2t ? 1 2 2

由于 AB 与圆 C 交于不同两点 M,N,所以 1 ? 2 ? t ? 1+ 2 . 因为 所以

MN ? 2 ? S?PMN

?
设 因为 由 mt? ? 0,解得

1 . (t ? 3)2 ? (?t 2 ? 2t ? 1) ( 1 ? 2 ? t ? 1+ 2 ) 2 m ? (t ? 3)2 ? (?t 2 ? 2t ? 1)

mt? ? 2(t ? 3) ? (?t 2 ? 2t ? 1) ? (t ? 3)2 ? (?2t ? 2)
3? 5 3? 5 ,或 t ? (舍) ,或 t ? 3 (舍) . 2 2

t?
所以 此时直线 AB 的方程为 22. (本题满分 14 分) 解: (1)显然 x≥0,

(S△PMN)max=

3 ? 5 1? 5 . ? 4 2
y? x? 3? 5 . ………………………………5 分 2

当 a ? 0 时, f ( x) ? x x ? a ? x ( x ? a)

3 1 1 ?1 x 2 ? ax 2 ? 0 , 2 2 所以 f (x)在 [0, ??) 单调递增,符合题意. f ?( x) ?

? x (a ? x),(0 ? x ? a) ? 当 a>0 时, f ( x) ? ? . ? ? x ( x ? a),( x ? a)
此时 x=a 为 f (x)=0 的极值点,显然不单调。 综上,实数 a 的取值范围为 a ? 0 .……………………………………………6 分 (2)若 a>0, 1 (ⅰ)即证明方程 x | x ? a |? x 有三个不同的根. 2 1 x. 可化为:x=0 或 | x ? a |? (*) 2
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(*)式可化为 x2-(2a+ 设 g(x)=x2-(2a+

1 )x+a2=0. 4

1 )x+a2. 4 1 ?0, 8

又因为 g(0)=a2>0;对称轴 x ? a ? 且 ??a?

1 ? 0. 16 1 x 有 3 个零点. 2

故 g(x)=0 有二个不同的正根,即函数 F(x)=f (x)- (ⅱ)由(ⅰ)知,函数 y ? f ( x) 与 y ?

x 有 3 个交点, y1 ? x (a ? x),(0 ? x ? a) 的一个极 2 a a 大值点为 x ? ,则当 x ?[0, t ] 时, f ( x)max ? max{ f ( ), f (t )} .依题意,有: 3 3 ? a 2a t t ? a f( )? ? ① ? ? ? 3 2 ? (1)当 f ( x)max ? f (t ) 时,则有: ? ,即 ? 3 3 2 , ? f (t ) ? t ? t (t ? a ) ? t ② ? ? 2 ? 2 ? t 由②得, a ? t ? ,代入①式平方得: 2 t 16(t ? )3 ? 27t 2 (*) 2 1 即 16( t ? )3 ? 27 t ? 0 2
得 16 t ? 24 t ? 15 t ? 2 ? ( t ? 2)(4 t ? 1)2 ? 0 得 t≤4, 所以 a≤3. 又 a>0,综上得:0<a≤3.
3 2

? a 2a t t ? a f( )? ? ③ ? ? a ? 3 ? 2 (2)当 f ( x)max ? f ( ) 时,则有: ? ,即 ? 3 3 2 , 3 ? f (t ) ? t ? t (t ? a ) ? t ④ ? ? 2 ? 2 ? 27 2 t 由③得 a 3 ? , t ,由④得 a ? t ? 2 16 t 所以 16(t ? )3 ? 27t 2 ,同上有 0<a≤3. 2 综上,符合题意的实数 a 的范围是 0<a≤3.…………………………………………8 分

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