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重庆市巴蜀中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

时间:2015-09-23


一、选择题(共 10 个,每题 5 分) 1、命题:“对任意的 x∈R,x3-x2+1 ? 0”的否定是 A.不存在 x∈R,x -x +1 ? 0
3 2

(
2 x0∈R,x3 0-x0+1 3 2

)

B.存在

?0
( )

C.存在 ?

2 x0∈R,x3 0-x0+1>0

D.对任意的 x∈R,x -x +1>0 B.必要不充分条件? D.既不充分也不必要条件? )

2、设集合 M={x|x>2},P={x|x<3},那么“x∈M 或 x∈P”是“x∈M∩P”的 A.充分不必要条件 C.充要条件

3、一个棱锥的三视图如图所示(尺寸的长度单位为 m ) , 则该棱锥的体积是(

A.

4 3
)

B. 8

C. 4

D.

8 3

4、如图,半径为 2 的⊙O 中,∠AOB=90° ,D 为 OB 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E, 则线段 DE 的长为( A. 5 2 2 5 B. 5 3 5 C. 5 3 2

D.

5、对于平面 ? 和共面的直线 m 、 n ,下列命题中为真命题是( A.若 m ? ? , m ? n, 则 n∥? C.若 m ? ? , n∥? ,则 m∥n

).

B.若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n D.若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m∥n

PF ? PF2 1 x2 y2 ? , 6、已知 P 是椭圆 ? ? 1 上的点, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,若 1 2 25 9 PF1 PF2
则 ?PF1 F2 的面积为( A. 3 3 ) B. 3 C. 2 3 ) D.

3 3

7、设 a ? 0, b ? 0 ,则下列不等式中不恒成立 的是 ( .... A. (a ? b)( ? ) ? 4 C. a 2 ? b 2 ? 2 ? 2a ? 2b

1 a

1 b

B. a 3 ? b 3 ? 2ab 2 D.

a ?b ? a ? b

x2 y2 8、已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物线 y2

=24x 的准线上,则双曲线的方程为 x y A.36-108=1 x2 y2 C.108-36=1 9、椭圆
2 2

( x y B. 9 -27=1 x2 y2 D.27- 9 =1
2 2

)

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的左焦点为 F,斜率为 3 的直线过 F 与椭圆交于 M、N 两 a 2 b2
) . C.

点,且 MF ? 2 FN ,则椭圆的离心率为( A.

1 2

B.

2 2

2 3

D.

2 3

10、在平面直角坐标系中,已知三点 A(m, n), B (n, t) , C (t , m) ,直线 AC 的斜率与倾斜角为钝 角的直线 AB 的斜率之和为

5 2 ,而直线 AB 恰好经过抛物线 x ? 2 p ( y ? q ) 的焦点 3


PF p .则 F(0, ? q ) ,并且与抛物线交于 P、Q 两点(P 在 Y 轴左侧) ?( QF 2
A.9 B.4 C.

173 2

D.

21 2

二、填空题(共 25 分) 11、不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? 0 的解集是______. 12、已知点 P 是曲线 C : ? 为

? x ? 4 cos ? (? ? ? ? 2? ) 上一点,O 为原点.若直线 OP 的倾斜角 ? y ? 3 sin ?


? ,则点 的直角坐标为 P 4

π 13、在极坐标系中,已知直线过点(1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3, 则直线的极坐标方程为________. 2 14、 已知关于 x 的不等式 2x+ +∞)上恒成立, 则实数 a 的最小值为________. ? 7 在 x∈(a, x-a 15、如图甲,四边形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,DB =2, DC=1,BC= 5 ,AB =AD= 2 .将(图 甲)沿直线 BD 折起,使二面角 A - BD -C 为 60o(如图乙) ,则点 B 到平面 ACD 的距为 ________.

三、解答题(共 75 分)

16、 (本题满分 13 分) 已知命题 p : 方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负实数根; 命题 q : 方程 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根. (1)若“ ? p ”为假命题,求 m 范围。 (2)若“ p 或 q ” 为真命题,“ p 且 q ”为假命题,求 m 的取值范围. 17、 (本题满分 13 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形, AB =2,∠BAD=60°.

(1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值。

18、 (本题满分 13 分)若直线 l: x ? my ? c ? 0 与抛物线 y ? 2 x 交于 A、B 两点,O 点是坐
2

标原点。 (1)当 m ? ?1, c ? ?2 时,求证:OA⊥OB; (2)若 OA⊥OB,求证:直线 l 恒过定点,并求出这个定点坐标。

19、 (本题满分 12 分)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? 1 , E 为 CD 中点. (1)在棱 AA1 上是否存在一点 P ,使得 DP // 平面 B1 AE ?若存在,求 AP 的长;若不存在, 说明理由; (2)若二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 30° ,求 AB 的长.

n(n+1) 2 20、 (本题满分 12 分)是否存在常数 a,b,c 使得等式 1· 22+2· 32+…+n(n+1)2= (an 12

+bn+c)对于一切正整数 n 都成立?并用数学归纳法证明你的结论.

x2 y2 21、 (本题满分 12 分)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0),两个焦点分别为 F1 , F2 。 (1)若 | F1 F2 |? 2 ,点 P 在椭圆上,且 ?PF1 F2 的周长为 6,求椭圆 C 的方程; (2)动圆 Γ:x2+y2=R2,其中 b<R<a,若 A 是椭圆 C 上的动点,B 是动圆 Γ 上的动点,且 直线 AB 与椭圆 C 和动圆 Γ 均相切,求 A、B 两点的距离|AB|的最大值.

19 19、 (1)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,z0),使得 DP∥平面 B1AE.此时 DP =(0,-1,z0). 又设平面 B1AE 的法向量 n=(x,y,z).因为 n⊥平面 B1AE,所以 n⊥ AB1 ,n⊥ AE ,得

x?z ?0 ? 1 ?x (1, ? ,?1) . ? ? y ? 0 取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n= 2 ? ?2
要使 DP∥平面 B1AE,只要 n⊥ DP ,有 1 1 ? Z 0 ? 0 ,解得 z0= . 2 2

1 又 DP?平面 B1AE,所以存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP= . 2 (2)连接 A1D,B1C,由长方体 ABCD-A1B1C1D1 及 AA1=AD=1,得 AD1⊥A1D. 因为 B1C∥A1D,所以 AD1⊥B1C.

又由(1)知 B1E⊥AD1,且 B1C∩B1E=B1, 所以 AD1⊥平面 DCB1A1.所以是平面 A1B1E 的一个法向量,此时=(0,1,1). 设与 n 所成的角为θ , - -a 2 2 1+ +a 4

a

则 cosθ =

a2

.因为二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,
2

所以|cosθ |=cos30°,即 2

3a 2 5a 1+ 4
2



3 ,解得 a=2,即 AB 的长为 2. 2

20、是否存在常数 a,b,c 使得等式 1· 22+2· 32+…+n(n+1)2= +c)对于一切正整数 n 都成立?并证明你的结论. 证明:假设存在符合题意的常数 a,b,c, 在等式 1· 22+2· 32+…+n(n+1)2=

n(n+1) 2 12 (an +bn

n(n+1) 2 12 (an +bn+c)中,

1 1 令 n=1,得 4=6(a+b+c)①令 n=2,得 22=2(4a+2b+c)② 令 n=3,得 70=9a+3b+c③ 由①②③解得 a=3,b=11,c=10,于是,对于 n=1,2,3 都有 1· 22+2· 32+…+n(n+1)2= n(n+1) 2 12 (3n +11n+10)(*)成立.

下面用数学归纳法证明:对于一切正整数 n,(*)式都成立. (1)当 n=1 时,由上述知,(*)成立. (2)假设 n=k(k≥1)时,(*)成立, 即 1· 22+2· 32+…+k(k+1)2= k(k+1) 2 12 (3k +11k+10),那么当 n=k+1 时,

1· 22+2· 32+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2 = = k(k+1) 2 (k+1)(k+2) 2 2 (3k +5k+12k+24) 12 (3k +11k+10)+ (k+1)(k+2) = 12

(k+1)(k+2) [3(k+1)2+11(k+1)+10], 由此可知, 当 n=k+1 时, (*)式也成立. 综 12

上所述,当 a=3,b=11,c=10 时题设的等式对于一切正整数 n 都成立.


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