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高三理科数学解三角形经典练习题

时间:2015-09-08


高三理数解三角形练习题
一、选择题
1. 已知 2sinαtanα=3,则 cosα 的值是( A. -7 B. - 1 2 ) C. 3 4 D. 1 2

π cos? +α?sin?-π-α? 2 2. 已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则 的值为( 11π 9π cos? -α?sin? +α? 2 2 A. -1 B. 3 4 C. 3 4 )



D. 2

3.

π ? 已知 sin(3π-α)=-2sin? ?2+α?,则 sinαcosα 等于( 2 A. - 5 B. 2 5 C. 2 2 或- 5 5

1 D. - 5

π? π 4.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线 x= 对称,且 f? 12 ? ?=0,则 ω 的最小值 3 是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

π 5.将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的 8 一个可能取值为( A. 3π 4 ) B. π 4 C. 0 ) D. ) D. π D. - 4

6.边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A. B. C.

7.一等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么顶角的余弦值为( A.

5 18

B.

3 4

C.

3 2

7 8

? 8.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 c ? 4 2,B ? 45 ,面积 S ? 2 ,则 b 等于

( A.



113 2

B.5

C. 41

D.25

9.在 ?ABC中,A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列则 B ?

1

( A.



? 6

B.

? 4

C.

? 3
2 2

D.

2? 3
2 2 2

10.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 b ? c ? 2b ? 4c ? 5 且 a ? b ? c ? bc , 则△ABC 的面积为( A. 3 B. )

3 2

C.

2 2

D. 2

二、选择题
11.在 ?ABC 中,角 A,B,C 新对的边分别为 a,b,c,若 a cos B ? b cos A ? c sin C ,

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc ,则角 B=________.
12.已知三角形的一边长为 4,所对角为 60°,则另两边长之积的最大值等于 13.北京庆阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡度为 15°的观礼

.

台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在 该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60°和 30°,且第一排和最后一排的距离为 10 6 米,则 旗杆的高度为______米
14.在 ?ABC 中, sin A,sin B,sin C 依次成等比数列,则 B 的取值范围是_____________

三、解答题
15.已知函数 f ( x) ? M sin(? x ? ? )( M ? 0,| ? |? (Ⅰ)求 函 数 f ( x ) 的 解 析 式; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A、B、C 的 对 边 分

?
2

) 的部分图象如图所示.

别是 a、b、c ,若 (2a ? c ) cos B ? b cos C , 求f ( ) 的 取 值 范 围.

A 2

2

16.已知 ?ABC 的角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a cos B ? 3b sin A ? c . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1 , AB ? AC ? 3 ,求 b ? c 的值.

17.在△ ABC 中,已知 3 sin 2B ? 1 ? cos 2B . (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 BC ? 2 ,

A?

? ,求△ ABC 的面积. 4

3

18. 在

?ABC

中 , 角

A, B, C

所 对 的 边 分 别 为

a,b,c, 满

足: c cos B ? b cos C ? 4a cos A . (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 AB ? AC ? b ? c ,求 ?ABC 的面积 S 的最小值.

19.已知 m ? (2cos x ? 2 3sin x,1), n ? (cos x, ? y) ,满足 m ? n ? 0 . [来源:om] (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (2)已知 a , b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长, 若 f ( x) ? f ( ) 对所有

??

?

?? ?

A 2

x ? R 恒成立,且 a ? 2 ,求 b ? c 的取值范围

4

(1)已知 2sinαtanα=3,则 cosα 的值是( A. -7 C. 3 4

) 1 B. - 2 D. 1 2

解析:由已知得 2sin2α=3cosα, ∴2cos2α+3cosα-2=0, (cosα+2)(2cosα-1)=0,又∵cosα∈[-1,1],∴cosα≠-2, 1 ∴cosα= ,选 D. 2 答案:D π cos? +α?sin?-π-α? 2 (2)已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则 的值为________. 11π 9π cos? -α?sin? +α? 2 2 -sinα· sinα 解析:原式= =tanα. -sinα· cosα 3 3 根据三角函数的定义,得 tanα=- ,所以原式=- . 4 4 3 答案:- 4 π ? (3)已知 sin(3π-α)=-2sin? ?2+α?,则 sinαcosα 等于( 2 A. - 5 2 2 C. 或- 5 5 B. 2 5 )

1 D. - 5

π ? 解析:因为 sin(3π-α)=sin(π-α)=-2sin? ?2+α?, 所以 sinα=-2cosα,所以 tanα=-2, sinαcosα tanα 2 所以 sinαcosα= 2 =- . 2 = 2 5 sin α+cos α tan α+1 π? π (4)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线 x= 对称,且 f? ?12?=0,则 ω 的 3 最小值是( A. 1 C. 3 ) B. 2 D. 4

π π? 2π 解析:设函数的周期为 T,则 T 的最大值为 4×? ?3-12?=π, ω ≤π,ω≥2,故选 B. 5

π (5)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象, 8 则 φ 的一个可能取值为( A. 3π 4 ) B. π 4

C. 0

π D. - 4

π 解析: 解法一:将函数 y = sin(2x + φ) 的图象沿 x 轴向左平移 个单位后得到 f(x) = 8 π π π π ? ? ? sin? ?2x+4+φ?的图象,若 f(x)=sin?2x+4+φ?为偶函数,则必有4+φ=kπ+2,k∈Z,当 k π =0 时,φ= . 4 π π ? 解法二: 将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 个单位后得到 f(x)=sin? ?2x+4+φ? 8 π π π ? 的图象,其对称轴所在的直线满足 2x+ +φ=kπ+ ,k∈Z,又∵f(x)=sin? ?2x+4+φ?为偶 4 2 π π π 函数,∴y 轴为其中一条对称轴,即 +φ=kπ+ ,k∈Z,故当 k=0 时,φ= . 4 2 4 答案:B
(6)边长为

的三角形的最大角与最小角的和是 B. C. D.





A.

【答案】 B 【解析】 边 7 对角为 ? ,则由余弦定理可知

cos ? =

52 ? 82 ? 7 2 1 = 2? 5?8 2 ,所以 ? =60? ,

所以最大角与最小角的和为 120 ,选

?

B. ( D. )

(7)一等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么顶角的余弦值为

A.

5 18

B.

3 4

C.

3 2

7 8

【答案】D

【解析】设底边长为 x ,则两腰长为 2 x ,则顶角的余弦值 cos ? ? 选 D.
(8)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 c ? 4

(2 x) 2 ? (2 x) 2 ? x 2 7 ? . 2 ? 2x ? 2x 8

2,B ? 45? ,面积 S ? 2 ,则 b 等
( )

于 A.

113 2

B.5

C. 41 6

D.25

1 1 2 S ? ? ac sin B ? ? 4 2 ? a?2 【答案】B【解析】因为 c ? 4 2,B ? 45 ,又面积 , 2 2 2
?

解得 a ? 1 ,由余弦定理知 b2 ? a 2 ? c2 ? 2 ac cos B , 所以 b2 ? 1 ? 32 ? 2 ? 4 2 ? 所以 b ? 5 ,选 B

2 ? 25 , 2

(9)5 .在 ?ABC中,A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列

则B?





? A. 6

? B. 4

? C. 3

2? D. 3

【 答 案 】 C 【 解 析 】 因 为 a cos C, b cos B, c cos A 成 等 差 数 列 , 所 以

ac o s C ?

c c o ?A s

b2

cB o ,s 根
,

据 即









可 ,

得 即

sin A cos C ? sin C cos A ? 2sin B cos B

sin( A ? C ) ? 2sin B cos B
C.
2 2

sin B ? 2sin B cos B ,所以 cos B ?

? 1 B ? ,选 , 即 3 2

( 10 ) 6 . 在 △ABC 中 , 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c, 若 b ? c ? 2b ? 4c ? 5 且

a2 ? b2 ? c2 ? bc ,则△ABC 的面积为
A. 3
【答案】B 11.在 ?ABC 中,角 A,B,C 新对的边分别为 a,b,c,若 a cos B ? b cos A ? c sin C ,





B.

3 2

C.

2 2

D. 2

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc ,则角 B=________.
【 答 案 】 60 由
?

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc 得 cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 3bc 3 ,所以 ? ? 2bc 2bc 2
, 即

A ? 30? . 由 正 弦 定 理 得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C sin C

sin( A ? B) ? sin C sin C ? sin C ,解得 sin C ? 1 ,所以 C ? 90? ,所以 B ? 60? .
12 已知三角形的一边长为 4,所对角为 60°,则另两边长之积的最大值等于. 【答案】16

【 解 析 】 设 另 两 边 为 a, b , 则 由 余 弦 定 理 可 知 42 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 60? , 即

16 ? a 2 ? b 2 ? ab , 又 16 ? a 2 ? b 2 ? ab ? 2ab ? ab ? ab , 所 以 ab ? 16 , 当 且 仅 当

7

a ? b ? 4 时取等号,所以最大值为 16.
13 2009 年北京庆阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡度为 15°的观礼台上,某一列座位与旗

杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别 为 60°和 30°,且第一排和最后一排的距离为 10 6 米,则旗杆的高度为______米.

【答案】 30

【解析】设旗杆的高度为 x 米,如图,可知 , , 所 以

?ABC ? 180? ? 60? ? 150 ? 1050
?CAB ? 30? ? 150 ? 45?

? ? ? ?ACB ? 180? ? 105 ? 45 ? 30 ,根据正弦定理可知

BC AB ? ? sin 45 sin 30?
x ? 20 3 ?

, 即 BC ? 20 3

sin 60? ?
, 所 以

x x ? BC 20 3 , 所 以

3 ? 30 2 米.

14.在 ?ABC 中, sin A,sin B,sin C 依次成等比数列,则 B 的取值范围是_____________ 【 答 案 】 (0,

?
3

]
2

【 解 析 】 因 为 sin A,sin B,sin C 依 次 成 等 比 数 列 , 所 以 , 即

sin A s iC n?

s iB n

ac ? b 2

,




2

c

a2 ? B? o 2a

s

c2 ? c

?

b2 2

? a

2 a 1

?

? c2

,

c2

a ? ?所 2a

c 以 c

2

a

cos B ?

a 2 ? c 2 1 2ac 1 1 ? ? ? ? ? ? ,所以 0 ? B ? ,即 B 的取值范围是 (0, ] . 3 3 2ac 2 2ac 2 2

15.已知函数 f ( x) ? M sin(? x ? ? )( M ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图象如图所示.

(Ⅰ)求 函 数 f ( x ) 的 解 析 式;

A、B、C 的 对 A 别是 a、b、c ,若 (2a ? c ) cos B ? b cos C , 求f ( ) 的 取 值 范 围. 2
(Ⅱ)在△ 中,角

ABC





8

【答案】(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)由图像知 M ? 1 , f ( x) 的最小正周期 T ? 4( 将点 (

? ? ? ,1) 代入 f ( x) 的解析式得 sin( ? ? ) ? 1 ,又 | ? |? 6 2 3 ? ? 故? ? 所以 f ( x ) ? sin( 2 x ? ) 6 6

5? ? ? ) ? ? ,故 ? ? 2 12 6

(Ⅱ)由 (2a ? c) cos B ? b cosC 得 2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC 所以 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? sin A 因为 sin A ? 0 所以 cos B ?

A ? 2? f ( ) ? sin( A ? ) 0? A? 2 6 3 1 A ? ? f ( ) ? sin( A ? ) ? 1 2 2 6

1 2

B?

?
3

A?C ? ? A?

?

?
6

6

?

5? 6

2? 3

16.已知 ?ABC 的角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,

且 a cos B ? 3b sin A ? c . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1 , AB ? AC ? 3 ,求 b ? c 的值.

【答案】解:(Ⅰ)由题 sin A cos B ?

3 sin B sin A ? sin(A ? B) ,

可得 3 sin B sin A ? cos A sin B ,所以 tan A ? (Ⅱ)由 AB ? AC ? 3 得 cb cos 又

? 3 ,即 A ? 6 3

?
6

? 3 ,即 cb ? 2 3 ··· ① ·······9 分
, 从 ············12 分 而

a ?1

1 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos

?
6

,··· ··②

9

由①②可得 (b ? c)2 ? 7 ? 4 3 ,所以 b ? c ? 2 ? 3

17.在△ ABC 中,已知

3 sin 2B ? 1 ? cos 2B .

(Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 BC ? 2 , A ?

? ,求△ ABC 的面积. 4

【答案】 (Ⅰ)解法一:因为
2

3 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B ,
………………3 分

所以 2 3 sin B cos B ? 2sin B . 因为 0 ? B ? ? , 所以 sin B ? 0 , 从而 tan B ? 3 , 所以 B ?

………………5 分 ………………6 分

π . 3

解法二: 依题意得

3 sin 2B ? cos 2B ? 1 ,

所以 2sin(2 B ? ) ? 1 , 即 sin(2 B ?

? 6

? 1 )? . 6 2 ? ? 13? ? 2B ? ? , 6 6 6

………………3 分

因为 0 ? B ? ? , 所以

? 5? ? . 6 6 π 所以 B ? . 3
所以 2 B ?

………………5 分 ………………6 分

? π ,B ? , 4 3 AC BC ? 根据正弦定理得 , sin B sin A BC ? sin B ? 6. 所以 AC ? sin A 5? 因为 C ? ? ? A ? B ? , 12
(Ⅱ)解法一:因为 A ? 所以 sin C ? sin

………………7 分 ………………8 分 ………………9 分

5? ? ? 6? 2 ? sin( ? ) ? , 12 4 6 4 1 3? 3 AC ? BC sin C ? . 2 2
10

………………11 分

所以 △ ABC 的面积 S ?

………………13 分

? π ,B ? , 4 3 AC BC ? 根据正弦定理得 , sin B sin A BC ? sin B ? 6. 所以 AC ? sin A
解法二:因为 A ? 根据余弦定理得 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ,
2 2 2

………………7 分 ………………8 分 ………………9 分 ………………11 分

化简为 AB ? 2 AB ? 2 ? 0 ,解得 AB ? 1 ? 3 .
2

所以 △ ABC 的面积 S ?
18 . 在

1 3? 3 . AB ? BC sin B ? 2 2

………………13 分

?ABC

中 , 角

A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 满

足: c cos B ? b cos C ? 4a cos A . (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 AB ? AC ? b ? c ,求 ?ABC 的面积 S 的最小值.

【答案】解:(Ⅰ) 由题意得: sin C cos B ? sin B cos C ? 4 sin A cos A

sin(B ? C ) ? 4 sin A cos A

sin A ? 4 sin A cos A

? sin A ? 0

? cos A ?

1 ┈┈6 分 4

(Ⅱ) 因为 AB ? AC ? bc cos A ? 所以

1 bc 4

1 bc ? b ? c ? 2 bc 4

bc ? 64 ,又 sin A ?

15 4

1 1 15 S ? bc sin A ? ? 64 ? ? 8 15 2 2 4
当且仅当 b ? c 时, S min ? 8 15 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈

19.已知 m ? (2cos x ? 2

??

?? ? ? 3sin x,1), n ? (cos x, ? y) ,满足 m ? n ? 0 . [来源:Zxxk.Com]

(1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (2)已知 a , b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长, 若 f ( x) ? f ( ) 对所有 11

A 2

x ? R 恒成立,且 a ? 2 ,求 b ? c 的取值范围
【答案】

12


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