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云南省昆明一中2015届高三上学期摸底考试文科数学试卷(word版)


云南省昆明一中 2015 届高三上学期摸底考试 数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.设集合 A={x∈Z|x <4},B={x|x>﹣1},则 A∩ B=( ) A. {0,1} B.{﹣1,0} C.{﹣1,0,1} 2.在复平面内,复数 A. (1,1) 3.函数 y= A. 对应的点的坐标为( B.(﹣1,1)

的最小正周期是( B.π ) C.2π D.4π ) D.(﹣1,﹣1)
2

D.{0,1,2}

C.(1,﹣1)

4.双曲线 C: 率为( A. )

=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 x﹣2y+1=0 垂直,则双曲线 C 的离心

B.

C.2

D. ) D.y=log2|x|

5.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( A. y=|x+1| B.y= C.y=2
﹣|x|

6.设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣3y 的最小值是(



A.﹣7 B.﹣6 C.﹣5 D.﹣3 7.已知关于 x 的方程 sinx+ cosx﹣a=0 有实数解,则实数 a 的取值范围是( ) A. [﹣2,2] B.(﹣2,2) C.[﹣1,1] D.[﹣1﹣ 8.在△ ABC 中,点 D 为 BC 的中点,若 AB= ,AC=3,则 ? =( )

,1+

]

A. 1 B.2 C.3 D.4 9.执行如图的程序框图,如果输入的 x,y,N 的值分别为 1,2,3,则输出的 S=(



A. 27 B.81 C.99 D.577 2 10.若函数 f(x)=ax ﹣lnx 在(0,1]上存在唯一零点,则实数 a 的取值范围是( A. [0,2e]
2



B.[0,

]

C.C、 (﹣∞,﹣1]

D.(﹣∞,0]

11.设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,以 F 为圆心且经过点 A 的 圆与 L 交于 B,D 两点,若∠ ABD=90°,|AF|=2,则 p=( ) A. 1 B. C.2 D. 12.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体体 积的最小值等于( )

A. 36

B.

C.18

D.

二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分 13.现有 3 本不同的语文书,2 本不同的数学书,若从这 5 本书中一次任取 2 本,则取出的书都是 语文书的概率为 _________ . 14.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时, 甲说:丙没有考满分; 乙说:是我考的; 丙说:甲说真话. 事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是 _________ . 15.已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=6,AB=4,BC=2,∠ ABC=60°,若该三棱柱的所有顶点 都在球 O 的球面上,则球 O 的表面积为 _________ .

16.已知在△ ABC 中,C=

,AB=6,则△ ABC 面积的最大值是 _________ .

三、简答题 17. (12 分)已知各项为正数的等比数列{an}中,a2=2,a3?a5=64. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )设 bn=log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 18. (12 分)四棱锥 P﹣ABCD 中底面 ABCD 是菱形,PA=PC,AC 与 BD 交于点 O. (1)求证:PB⊥ AC; (2)若平面 PAC⊥ 平面 ABCD,∠ ABC=60°,PB=AB=2,求点 O 到平面 PBC 的距离.

19. (12 分)某校高一年级共有 800 名学生,其中男生 480 名,女生 320 名,在某次满分为 100 分 的数学考试中,所有学生成绩在 30 分及 30 分以上,成绩在“80 分及 80 分以上”的学生视为优秀,现 按性别采用分层抽样的方法抽取 100 名学生,将他们的成绩按[30,40) 、[40,50) 、[50,60) 、[60, 70) 、[70,80) 、[80,90) 、[90,100)分成七组,得到的频率分布直方图如图所示: (Ⅰ )估计该年纪本次数学考试成绩的平均分(同一组中的数据用该区间中点值做代表) ; (Ⅱ )请将下列 2×2 列联表补充完整,计算并说明是否有 95%的把握认为“该校学生数学成绩优秀与 性别有关”. 数学成绩优秀数学成绩不优秀合计 男生12 女生 100 合计 附:K =
2 P(K >k0)0.15 0.10 0.05 2.0722.7063.841 k0 2

,其中 n=a+b+c+d

20. (12 分)设椭圆 C:

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣

,0) ,过 F 的直线交 C 于 A,B

两点,设点 A 关于 y 轴的对称点为 A′ ,且|FA|+|FA′ |=4. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )若点 A 在第一象限,当△ AFA′ 面积最大时,求|AB|的值. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x +(a+1)x +ax﹣2,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线在 x 轴上的截距为 .
3 2

(Ⅰ )求实数 a 的值; (Ⅱ )证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与 y=(k﹣1)e +2x﹣2 有唯一公共点. 选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,CD 是△ ABC 中 AB 边上的高,以 AD 为直径的圆交 AC 于点 E,一 BD 为直径的 圆交 BC 于点 F. (Ⅰ )求证:E、D、F、C 四点共圆; (Ⅱ )若 BD=5,CF= ,求四边形 EDFC 外接圆的半径.
x

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (10 分)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0,以极点为平面直角坐标系的原点,极

轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程是

(t 是参数) .

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线 l 的参数方程化为普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 E,求|EA|+|EB|. 选修 4-5:不等式选讲 24. (10 分)已知函数 f(x)=|2x+b|. (Ⅰ )若不等式 f(x)≤3 的解集是{x|﹣1≤x≤2},求实数 b 的值; (Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,若 f(x+3)+f(x+1)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

18. (1)证明:连结 OP, 因为四棱锥 P﹣ABCD 中底面 ABCD 是菱形,PA=PC,AC 与 BD 交于点 O 所以:OP⊥ AC,AC⊥ BD AC⊥ 平面 PBD PB?平面 PBD 所以:PB⊥ AC (2)解:平面 PAC⊥ 平面 ABCD,OP⊥ 平面 ABCD ∵ ∠ ABC=60°,PB=AB=2 ∴ OP= AC=2 AO=CO= ∴ 进一步得到△ PBC 为等边三角形 所以:VP﹣OBC=VO﹣PBC 设点 O 到平面 PBC 的距离为 h ∴ h=

19. 解: (Ⅰ )估计该年纪本次数学考试成绩的平均分为 0.04×35+0.12×45+0.2×55+0.28×65+0.18×75+0.12×85+0.06×95=65.4(分) ; (Ⅱ )应抽取男生 60 人,女生 40 人,可得 2×2 列联表 数学成绩优秀数学成绩不优秀合计 男生12 48 60 女生6 34 40 合计 18 82 100 K=
2

≈0.407<3.841,

∴ 没有 95%的把握认为“该校学生数学成绩优秀与性别有关”. 20. 解: (I)设 F′ 是椭圆的右焦点, 由椭圆的性质和定义可得:|FA|+|FA′ |=|FA|+|F′ A|=2a=4. 解得 a=2, ∵ 左焦点为 F(﹣ ,0) ,c= , 2 2 2 ∴ b =a ﹣c =2. ∴ 椭圆 C 的方程为 =1. =x1y1.

(II)设 A(x1,y1) (x1>0,y1>0) ,△ AFA′ 面积 S=

∵ ∴ .

≥2×

=



当△ AFA′ 面积取得最大时, 由F (﹣ , 0) , A

= ,解得

,y1=1. , 化为 =0,

, 可得直线 AB 的方程为:

设 B(x2,y2) ,联立

,解得





可得 B ∴ |AB|=

. =
3 2


2

21. (Ⅰ )解:函数 f(x)=x +(a+1)x +ax﹣2 的导数 f′ (x)=3x +2(a+1)x+a, 即有 f′ (1)=3a+5,切线斜率为 3a+5, f(1)=2a,切点为(1,2a) , 则曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为:y﹣2a=(3a+5) (x﹣1) . 令 y=0 则 x= ,由 = ,解得 a=2;
x

(Ⅱ )证明:由题意要证:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与 y=(k﹣1)e +2x﹣2 有唯一公共点, 3 2 x 即要证 x +3x +(1﹣k)?e =0 在 k<1 时有唯一解. 3 2 x 设 g(x)=x +3x +(1﹣k)?e , 3 2 2 由于 1﹣k>0,则 g(x)>x +3x =x (x+3) , 2 ① 当 x≥﹣3 时,g(x)>x (x+3)≥0,则 g(x)在 x≥﹣3 时无零点; 2 x 2 ② 当 x<﹣3 时,g′ (x)=3x +6x+(1﹣k)?e >3x +6x=3x(x+2)>0, ﹣3 则 g(x)在 x<﹣3 时单调递增.而 g(﹣3)=(1﹣k)?e >0, ﹣3 ﹣3 x x 由于 e <e ,则(1﹣k)?e <(1﹣k)?e , g(x)=x +3x +(1﹣k)?e <x +3x +
3 2 3 2 x 3 2

<x +3x +1﹣k,

3

2

设 h(x)=x +3x +1﹣k,由于 k﹣1<0,取 x=k﹣4<﹣3, 3 2 则 h(x)=h(k﹣4)=(k﹣4) +3(k﹣4) +1﹣k, 2 2 即 h(k﹣4)=(k﹣4) [(k﹣4)+3]+1﹣k=(k﹣1)[(k﹣4) ﹣1]<0, 即存在 x=k﹣4,使得 g(x)<h(x)<0, 故存在 x0∈(k﹣4,﹣3) ,有 g(x0)=0, x 综上,当 k<1 时,曲线 y=f(x)与 y=(k﹣1)e +2x﹣2 有唯一公共点. 22. (Ⅰ )证明:连接 ED,FD, ∵ AD,BD 是直径,∴ ∠ AED=∠ BFD=90°, ∴ ∠ DEC=∠ DFC=90°, ∴ ∠ DEC+∠ DFC=180°, ∴ E、D、F、C 四点共圆; (Ⅱ )解:∵ ∠ DEC=90°, ∴ CD 是四边形 EDFC 外接圆的直径, ∵ CD 是△ ABC 中 AB 边上的高, ∴ BD 是四边形 EDFC 外接圆的切线, ∴ BD=BF?BC ∵ BD=5,CF= ∴ BF=3, 同理 CD= ∴ 四边形 EDFC 外接圆的半径为 . ,

23. 解: (1)由曲线 C 的极坐标方程 ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0,化为 ρ ﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ=0, 2 2 ∴ x +y ﹣2x﹣4y=0;

2

由直线 l 的参数方程

(t 是参数)化为


2

(2)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程可得:t ﹣t﹣4=0. 点 E 对应的参数为 t=0.设点 A,B 分别对应的参数为 t1,t2. 则 t1+t2=1,t1t2=﹣4. ∴ |EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|= 24. = = . ≤x ≤ =﹣1, . =2,解得 b=﹣1.

解: (Ⅰ )由不等式 f(x)≤3 可得|2x+b|≤3,解得

再由不等式 f(x)≤3 的解集是{x|﹣1≤x≤2},可得

(Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,f(x)=|2x﹣1|,设 g(x)=f(x+3)+f(x+1) , 则 g(x)=|2x+5|+|2x+1|≥|(2x+5)﹣(2x+1)|=4, 若 f(x+3)+f(x+1)≥m 对一切实数 x 恒成立,应有 4≥m. 故实数 m 的取值范围为(﹣∞,4].


云南省昆明一中2015届高三数学上学期摸底试卷 文(含解析)

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