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三角函数一轮


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三角函数是高考命题的重点,分值约占14%左右,试题大都 源于教材,是例题、习题的变形与创新,以中低档题为主. 1.三角函数的图象与性质,简单的三角恒等变换,正、余弦 定理及应用是高考的热点.如2011·天津7,2011·广东16,2011·山东 17等,题目常考常新. 2.三角函数题型全面,一般是两道小题,一道大题.客观题 主要是涉及三角函数的

求值、函数的图象、简单性质(如2011·安徽 ),解答题主要以三角变换为工具,综合考查函数图象和性质;或 以正弦、余弦定理为工具,考查解三角形及其应用. 3.高考命题中,本章常与平面向量相结合,既可以考查平面 向量的运算,又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质, 符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.

1.立足基础,着眼于提高.立足课本,牢固掌握三角函数的概 念、图象和性质;弄清每个公式成立的条件,公式间的内在联系及 公式的变形、逆用等.要在灵、活、巧上下功夫,切不可死记硬 背. 2.突出数学思想方法.应深刻理解数与形的内在联系,理解 众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想.在解决三角函数的 问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能. 3.抓住关键,三角函数的化简、求值中,要熟练掌握三角变 换公式的应用,其中角的变换是解题的关键,注意已知与待求中角 的关系,力争整体处理. 注意三角函数与向量等内容的交汇渗透,这也是命题的热点之一.

第一节 角的概念与任意角的三角函数
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1.角的有关概念 负角 和_____ 零角 . (1)从运动的角度看,角可分为正角、_____ 象限角 与轴线角. (2)从终边位置来看,可分为________ (3)若β与α是终边相同的角,则β用α表示为____________________ β=2kπ+α(k∈Z) . 2.角的度量 (1)1弧度的角:把长度等于________ 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度 的角. 角度 制和_____ 弧度 制. 180 (2)角的度量制有______ π ( ) π (3)换算关系:1° = rad,1 rad=___________° . 180 (4)扇形的弧长与面积公式 l=rα ,则 设扇形的弧长为 l,圆心角大小为 α(rad),半径为 r,则______ 1 12 lr 扇形的面积为 S=___________ = r α. 2 2

3.任意角的三角函数 (1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y), y y ,cos α__ x ,tan α=_________. 那么 sin α=__ x

(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示,正弦 原点 ,正切线的起 线的起点都在________ x轴 上,余弦线的起点都是_____ 点都是(1,0).

1.“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件?

【提示】 充分不必要条件.
2.三角函数值和点P在角α的终边上的位置是否有关? 【提示】 三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小

和点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置决定,
对于确定的角α,其终边位置也就确定了,因此三角函数的大 小只与角有关.

π 1. (教材改编题)已知锐角 α 终边上一点 A 的坐标是(2sin , 3 π 2cos ),则 α 弧度数是( ) 3 π π 2π A.2 B. C. D. 3 6 3
【解析】 点 A 的坐标为 ( 3, 1). 1 1 π ∴sin α= = ,又 α 为锐角, ∴ α = . 2 2 6 ? 3? + 1
【答案】 C

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2.若sin α<0且tan α>0,则α是(
A.第一象限角 C.第三象限角

)

B.第二象限角 D.第四象限角

【解析】

由sin α<0,得α在第三、四象限或y轴非正半轴上,

又tan α>0,∴α在第三象限. 【答案】 C

3.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对 的弧长是( ) 2 A.2 B.sin 2 C. D.2sin 1 sin 1
1 【解析】 由题设,圆弧的半径 r= , sin 1 2 ∴圆心角所对的弧长 l= 2r= . sin 1
【答案】 C

4.(2011· 江西高考)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴 2 5 的正半轴.若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ=- ,则 y 5 =________.

【解析】 由三角函数的定义,sin θ= 2 5 又 sin θ=- < 0, 5 y 2 5 ∴ y< 0 且 =- , 2 5 16+ y 解之得 y=- 8.
【答案】 -8

y , 2 16+ y

角的有关概念

(1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; (2)已知 α 是第二象限的角,求 180° -α 所在的象限.

【思路点拨】 根据象限角和终边相同角的概念转化求解.

π 【尝试解答】 (1)所求集合为 {α|α= 2kπ+ ,k∈ Z}∪{α|α= 3 π π (2k+ 1)π+ , k∈ Z}= {α|α= kπ+ , k∈ Z}. 3 3

(2)因α为第二象限角, ∴k·360°+90°<α<k·360°+180°,(k∈Z)

∴-k·360°-180°<-α<-k·360°-90°,(k∈Z)
∴-k·360°<180°-α<-k·360°+90°,(k∈Z) 故180°-α是第一象限的角.

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1.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限,一般是先 将角化成2kπ+α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式,然后再根据α所在的

象限予以判断.
2.注意区分象限角与终边在坐标轴上的角.

6π 若角 θ 的终边与 角的终边相同, 求在[0,2π)内终边与 7 θ 角的终边相同的角. 3
6π θ 2π 2kπ 【解】 ∵θ= + 2kπ(k∈ Z), ∴ = + (k∈ Z). 7 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ + < 2π?- ≤k< , k∈ Z. 7 3 7 7 ∴k= 0,1,2, θ 2π 20π 34π 因此在 [0,2π)内终边与 相同的角为 , , . 3 7 21 21

弧长与扇形的面积公式

解答下列各题: (1)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,求扇形圆心角的 弧度数; (2)已知一扇形的周长为40 cm,当它的半径和圆心角取什么值 时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 【思路点拨】 (1)由周长及面积列出方程组求解; (2)用半径及弧长表示扇形面积,利用函数性质求解.

【尝试解答】 (1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0< θ< 2π),弧长 为 l,半径为 r, ① ? ?l+2r= 10, 依题意有?1 lr= 4. ② ? ?2 ①代入②得 r2- 5r+ 4= 0,解之得 r1= 1, r2= 4. 当 r= 1 cm 时, l= 8 cm,此时, θ= 8 rad> 2π rad 舍去. 2 1 当 r= 4 cm 时, l= 2 cm,此时, θ= = rad. 4 2 (2)设扇形的圆心角为 θ,半径为 r,弧长为 l,面积为 S, 则 l+ 2r= 40,∴l= 40- 2r, 1 1 ∴ S= lr= × (40- 2r)r=- (r- 10)2+ 100. 2 2 ∴当半径 r= 10 cm 时,扇形的面积最大, 且 Smax= 100 cm2. l 40-2×10 这时圆心角 θ= = =2 rad. r 10

1 1 1.求扇形的弧长和面积,可利用公式 l= |α|· r 和 S= l· r= 2 2 |α|· r2,但注意角的单位必须是弧度. 2.本题把求扇形面积最大值的问题,转化为二次函数的最值 问题,利用配方法使问题得到解决,有关最值的问题,一般把所 求问题表示成某一变量的函数,转化为求函数的最值.

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已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10, (1)求弦AB所对的圆心角α的大小;

(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.

【解】 (1)在△AOB 中,AB=OA=OB=10, ∴△AOB 为等边三角形. π 因此弦 AB 所对的圆心角 α= . 3

(2)由扇形的弧长与扇形面积公式,得 π 10 l= α· R= ×10= π, 3 3 1 1 2 50π S 扇形= R· l= α· R= . 2 2 3 1 π 又 S△ AOB= · OA· OB· sin = 25 3. 2 3 π 3 ∴弓形的面积 S= S 扇形- S△ AOB= 50( - ). 3 2

三角函数的定义

(1)(2011· 课标全国卷)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边 与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y=2x 上, 则 cos 2θ=( ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 (2)(2012· 佛山模拟)已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在第几象限?( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【思路点拨】 (1)设终边上一点 P( x0, y0),由三角函数定义 求tan θ,进而计算cos 2θ的值;

(2)由点P所在象限,先确定tan α与cos α的符号,再判定α终边
所在象限.

【尝试解答】 (1)设点 P(x0,y0)(x0≠0)是 θ 终边上一点,则 y0= 2x0. y0 由三角函数定义, tan θ= = 2, x0 cos2θ- sin2θ 2 2 则 cos 2θ= cos θ- sin θ= 2 cos θ+ sin2θ 1- tan2θ 1- 22 3 = = =- . 5 1+ tan2θ 1+ 22 (2)∵点 P(tan α, cos α)在第三象限, ∴ tan α< 0,且 cos α< 0, 由 tan α< 0,知 α 的终边在第二或第四象限, 由 cos α< 0,知 α 的终边在第二或第三象限,或 x 轴的非正 半轴上,因此角 α 的终边在第二象限.
【答案】 (1)B (2)B

1.(1)已知角θ的终边所在的直线方程,则可先设出终边
上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定 义来求相关问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角

θ的三角函数值.(2)在第(1)题中,利用整体思想,将齐次式化
为正切. 2.在第(2)题中,主要利用三角函数值在各象限的符号规

律,但要注意角α是满足两个条件的公共解.

设 90° <α<180° ,角 α 的终边上一点为 P(x, 5), 且 cos α=
【解】

2 x,求 4sin α-3tan α 的值. 4

∵r= x2+ 5, x ∴ cos α= 2 , x +5 2 x 从而 x= 2 , 4 x +5 解得 x=0 或 x= ± 3. ∵90° < α< 180° , ∴x< 0,因此 x=- 3.则 r= 2 2, 5 10 5 15 ∴sin α= = , tan α= =- . 4 3 2 2 - 3 故 4sin α- 3tan α= 10+ 15.

从近两年高考看,三角函数的有关概念以客观题形式考
查,一般是容易题,分值5分,命题内容主要以三角函数的定 义为载体考查求值与化简,预计2013年高考仍会以三角函数定

义为载体,渗透相关知识命题,考查分析问题的能力.

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创新探究之三 以三角函数定义为载体的创新题

(2010· 课标全国卷 )如图 3- 1- 1, 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运 动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速 度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时 间 t 的函数图象大致为( )

π 【解析】 ∵P0( 2,- 2), ∴∠P0Ox= . 4 π 按逆时针转时间 t 后,得∠POP0= t, ∠POx= t- . 4 π 由三角函数定义,知点 P 的纵坐标为 2sin(t- ), 4

π 因此 d=2|sin(t- )|. 4 当点 P 在 P0 处时, t=0, d= 2,排除 A、D; π 当 t= 时,点 P 在 x 轴上, d=0,排除 B,只有 C 满足. 4

【答案】

C

创新点拨:(1)本题以三角函数定义为背景,考查三角函数的 图象与性质,并渗透物理学相关知识,命题角度新颖. (2)考查阅 读,提取信息和数学建模的能力,考查思维的灵活性,以及识图、 用图的能力. 应对措施:(1)结合圆周运动,准确理解题意,根据三角函数 π 定义,表示出 d= 2|sin(t- )|是关键. 4 (2)涉及函数图象判定问题,结合函数的性质、特殊化思想是 快捷求解的有效途径.

(

π 1. (2012· 深圳模拟 )若- < α< 0,则点 (tan α, cos α)位于 2 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

π 【解析】 ∵- <α<0,∴α 为第四象限角, 2 ∴tan α<0, cos α>0. ∴点(tan α,cos α)位于第二象限.
【答案】 B

2.(2012· 潍坊模拟)已知角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0) |sin α| |cos α| 上,则 - =________. sin α cos α

【解析】 因为角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上, 所以角 α 是第二象限角,因此 sin α>0,cos α<0, |sin α| |cos α| sin α -cos α 故 - = - =1+1=2. sin α cos α sin α cos α
【答案】 2

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