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单位圆与三角函数线


1.2.2 单位圆与三角函数线

◆学习目标
(一)知识与技能目标 1.有向线段的概念. 2.用单位圆中的线段表示三角函数值. (二)过程与方法目标 理解和掌握用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向 来表示三角函数值. (三)情感态度与价值观目标 根据三角函数的定义导出三角函数线,数形沟边,发展思 维.

◆学习重点、难点

r />1.教学重点:怎样用三角函数线表示三角函数值? 2.教学难点:三角函数线所表示的三角函数值的正负如何 确定?

◆学习过程 (一)复习三角函数的坐标法定义
设有一个角α,我们以它的顶点作为原点,以它的始边 作为x轴的正半轴ox,建立直角坐标系,在角α的终

前面我们学习了三角函数的坐标法定义,
三角函数在各象限内的符号,学习了任意角 的三角函数。 由三角函数的定义我们知道,对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的, 或者说是用数来表示的,今天我们再来学习

正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法—
—几何表示法

我们首先建立下面的坐标系:

在观览车转轮圆面所在的平面
内,以观览车转轮中心为原点,

以水平线为x轴,以转轮半径为
单位长建立直角坐标系。 设P 点为转轮边缘上的一点, 它表示座椅的位置,记 ?xOP ? ? ,则由正弦函数的定义可知,

MP ? sin ?

(二)单位圆、有向线段的概念
1.单位圆的概念
一般地,我们把半径为1的圆叫做单位圆, 设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与 x轴的交点分别为 A(1,0),A’(-1,0). 而与y轴的交点分别为

B(0,1),B’(0,-1).

2. 有向线段的概念:
带有方向的线段叫有向线段 ; 有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。 如在数轴上,|OA|=3,|OB|=3
OA =3

OB =-3
x O A

B

(三)用单位圆中的线段表示三角函数值
设任意角α的顶点 在原点,始边与x轴的 正半轴重合,终边与 单位圆相交于点P(x, y),过P作x轴的垂线, 垂足为M; 做PN垂直 y轴于点N, 则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.

根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα) 其中cosα=OM,sinα=ON. 这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α 的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标. 以A为原点建立y’轴与y 轴同向,y’轴与α角的终边 (或其反向延长线)相交于点 T(或T ’),则tanα=AT(或 AT ’)

???? ? ???? ??? ? ???? ? 我们把轴上的向量 OM , ON和AT (或AT ')

分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.

角α的终边在四个象限的情况

(四)练习
例1.分别作出

2? 3

3? ? 、 4

2? ? 、 3

的正弦线、

余弦线、正切线。

例2 利用单位圆中的三角函数线,求满足 下列条件的角x的集合:
在0~2π之间满足条件的角x的终边 必须在图中阴影部分内(包括边界), 即Π/3≤x≤2Π/3,故满足条件的角 x的集合为﹛x▏2k k∈z﹜ 在0~2π之间满足条件的角x的终边 应在图中阴影部 分(不包括边界), 即Π/2<x<5Π/6或3Π/2<x<11Π/6,故满 足条件的角x的集合为 ﹛x▏kΠ+Π/2<x<kΠ+5Π/6, k∈z﹜

例3.比较大小:

(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解:由三角函数线得 sin1<sin1.5

cos1>cos1.5

tan2<tan3

例4. 利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
证明:在△OMP中, OP=1,OM=|cosα|, MP=ON=|sinα|, 因为三角形两边之和 大于第三边,所以 |sinα|+|cosα|≥1。

(五)小结
1. 给定任意一个角α,都能在单位圆中作出它
的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 : 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在y轴上的射影的有向线段; 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在x轴上的射影的有向线段; 正切线在过单位圆与 x ??? ?轴正方向的交点的切 线上,为有向线段 AT

3. 特殊情况: ① 当角的终边在x轴上时,点P与点M重合, 点T与点A重合,这时正弦线与正切线都变成 了一点,数量为零,而余弦线OM=1或-1。 ② 当角的终边在y轴上时,正弦线MP=1或-1 余弦线变成了一点,它表示的数量为零,正切 线不存在。

思考:对于不等式 sin a < a < t an a (其中α 为锐角),你能用数形结合思想证明吗?

y P
O M

T

A x

1.1.1任意角
问题
展示 小组

高效展示 6分钟 精彩点评 17分钟 展示要求 点评要求

位置 讲述 前黑板左侧

点评 小组

预习内容 3组 预习自测 4组

例1 例2 例3 例4

5组 9组 8组 2组

前黑板中间 7组 后黑板左侧 1组 后黑板中间 6组 后黑板右侧 6组

1.展示要书写认真 1.从规范、对错、 迅速、总结规律! 思路和所用知识 2.非展示同学:互 点上点评. 查知识对错后讨论 2.其它同学:认 错误原因.针对学 真倾听、积极思 习中疑问问题准备 考重点内容记好 提出质疑. 笔记.有不明白 或有补充的要大 3.展示组最高评分: A层3分,B层5分, 胆提出. C层6分;(同组多 3.点评人员点评 层参加,算平均分 声音洪亮、语言 清晰并能拓展, 用彩笔补充. 4.A层拓展,B层 方法总结.

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