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2013年贵阳市高三适应性监测考试(二)文科数学试题及答案


贵州省贵阳市 2013 年高三适应性监测考试(二)

1

2

3

4

5

6

贵阳市 2013 年高三适应性监测考试(二) 文科数学参考答案与评分建议

2013 年 5 月

一、选择题 题 1 号 答 D 案 C A A D B B C B A B C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题
( (13) x ? 1)
o
2

? ( y ? 2) ? 4
2

(14) 0 或 2

(15)

1 2

(16)

5 6

?

(或

150

)

三、解答题 (17)解: (I)设公差为 d ,则有 ? 解得 ? 分
7

? 2 a1 ? 4 d ? 1 4 ? 7 a1 ? 2 1d ? 7 0

,即 ?

? 2 a1 ? 4 d ? 1 4 ? a1 ? 3 d ? 3

??????2 分

? a1 ? 1 ?d ? 3

????????????????????????4

所以 a 分

n

? 3n ? 2

.???????????????????????6

(II) S 所以 b

n

?

n 2

[1 ? (3 n ? 2 )] ?

3n ? n
2

????????????8 分
48 n

2

n

?

3n ? n ? 48
2

? 3n ?

48 n

? 1 ≥ 2 3n ?

? 1 ? 23

??????10 分

n
48 n

当且仅当 3 n ?
n

,即 n ? 4 时取等号,

故数列 { b } 的最小项是第 4 项,该项的值为 23 .?????????12 分

F

E

(18)方法一: (I)证明:取 D C 中点 S ,连接 A S , G S , G A ∵ G 是 D F 的中点, G S // F C , A S // C M ∴面 G S A // 面 F M C ,而 G A ? 平面 G S A , A ∴ G A // 平面 F M C ?????????6 分 方法二: (Ⅰ)证明:取 F C 中点 N ,连接 G N , M N ∵ G 是 D F 中点 ∴G F ∥CD 且GN
? 1 2 CD ? 1 2 CD
D
G C

M

B

又∵ A M ∥ C D 且 A M ∴ AM ∥G N 且 AM

? GN

∴ A M N G 是平行四边形 ∴ AG ∥MN 又∵ M N
?

平面 F C M
8

∴ A G ∥平面 F M C ?????????6 分 (II)设三棱柱 A D F ? B C E 的体积为 V ,多面体 F 体积分别是 V , V , A M ? x . 由题意得,
1 2

? ADM

与多面体 DMFEBC 的

V ? (

1 2

DA ? DF ) ? AB ? (

1 2

a ? a) ? 2a ? a

3



V1 = V M ? A D F ?

1 1 1 2 ( DA ? DF ) ? x ? a x 3 2 6
3



V 2 = V ? V1 ? a ?

1 6

a x

2

.

????????????????9 分

因为 V 所以 a 所以 ?

2

? 3V1
? 1 6 a x ? 3?
2

3

1 6

a x

2

,解得 x ? .

3 2

a

.

3 ? AM BM ? 2 2a ?

a 3 2 ? 3 a

????????????????12 分

(19)解: ( Ⅰ ) 第 二 组 的 频 率 为 1 ? (0 .0 4 ? 0 .0 4 ? 0 .0 3 ? 0 .0 2 ? 0 .0 1) ? 5 ? 0 .3 , 所 以 高 为
0 .3 5 ? 0 .0 6

.频率直方图如下:

??????2 分 第一组的人数为
120 0 .6 ? 200

,频率为 0 .0 4 ? 5 ? 0 .2 ,所以 n ?

200 0 .2

? 1000

.??4 分

由题可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1 0 0 0 ? 0 .3 ? 3 0 0 ,所以
9

p ?

195 300

? 0 .6 5



第四组的频率为 0 .0 3 ? 5 ? 0 .1 5 ,所以第四组的人数为 1 0 0 0 ? 0 .1 5 ? 1 5 0 ,所以
a ? 1 5 0 ? 0 .4 ? 6 0



??????????????????6 分

(Ⅱ)因为 [ 4 0 , 4 5 ) 岁年龄段的“低碳族”与 [ 4 5, 5 0 ) 岁年龄段的“低碳族” 的比值为 6 0 : 3 0 ? 2 : 1 ,所以采用分层抽样法抽取 6 人, [ 4 0 , 4 5 ) 岁中有 4 人,
[ 4 5, 5 0 )

岁中有 2 人.

??????????????????8 分

设 [ 4 0 , 4 5 ) 岁中的 4 人为 a 、 b 、 c 、 d , [ 4 5, 5 0 ) 岁中的 2 人为 m 、 n ,则选取 2 人作为领队的有 ( a , b ) 、 ( a , c ) 、 ( a , d ) 、 ( a , m ) 、 ( a , n ) 、 ( b , c ) 、 ( b , d ) 、 ( b , m ) 、
(b , n )

、 ( c , d ) 、 ( c , m ) 、 ( c , n ) 、 ( d , m ) 、 ( d , n ) 、 ( m , n ) ,共 15 种;其中恰有 1 人

年龄在 [ 4 0 , 4 5 ) 岁的有 ( a , m ) 、( a , n ) 、( b , m ) 、( b , n ) 、( c , m ) 、( c , n ) 、( d , m ) 、( d , n ) , 共 8 种. ??????????????????10 分
[40, 45)

所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在
P ? 8 15

岁的概率为



????????????????????????12



(20) (Ⅰ) 解: 依题意: 2分 由e ? ∴b
2

3
2

?1

∴a

?

3

.

??????????????

a

c a

?

6 3

,得 c
2

?

2

.

??????????????????4 分

? a

2

?c

? 1.

???????????????????????5 分
x
2

∴所求椭圆方程为

? y

2

? 1 .??????????????????6



3

10

(Ⅱ)设 M , N 坐标分别为 ( x 将y
(3 k
2

1

, y1 )

,(x

2

, y2 )

? kx ? m
2

代入椭圆方程,整理得:
2

? 1) x

? 6 kmx ? 3 ( m
2 2

? 1) ? 0
2

∴?

? 36 k m

? 12 ( 3 k

2

? 1)( m
6 km 3k
2

? 1) ? 0

(*)

????????????8 分

x1 ? x 2 ? ?

?1

要令 P (1, n ) 为 M , N 中点,则
?k ? 0

x1 ? x 2 ? 2

,∴ ?

6 km 3k
2

?1

? 2

∴m

? ?

3k

2

?1

3k

代入(*)得,
36 k
2

?

(3 k

2

? 1)
2

2

? 12 ( 3 k

2

? 1)[

(3 k

2

? 1)
2

2

? 1] ? 0

??????????10 分

9k

9k
(3 k
2

(3 k

2

? 1) ? 3 ?

? 1) ? 9 k
2

2

9k 9k
4

2

? 0

(3 k

2

? 1) ?

? 3k 3k
2

2

?1

? 0

9k

4

? 3k
2

2

?

9k

4

? 3k 3k
2

2

?1

? 0

3k
6k
2

?1 ? 0

∴k

?

6 6

或k

? ?

6 6

.
6 6 6 6

∴ k 的取值范围是 ( ? ? , ? (21)解: (Ⅰ) m
? 2

)? (

,? ?)

.??????????????12 分

时, f ? x ? ?

2x ?

2 x

, f '?x ? ?

2?

2 x
2

, f ' ?1 ? ? 4

,切点坐标为 ?1, 0 ? ,

? 切线方程为 y ? 4 x ? 4

??????????? 4 分
11

(Ⅱ) m

? 1 时,令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ?

1 x

? 2 ln x ,

h '( x ) ? 1 ?

1 x
2

?

2 x

?

? x ? 1?
x
2

2

≥ 0 ,? h ? x ? 在 ? 0 , ??

? 上为增函数. ??6 分

又 h ?e ? ? h ? ?

1? 1 2 ? ? ?( ? e ? 2) ? 0 e ?e?



? y ? h ? x ? 在 ? 0 , ?? ? 在 ? 0 , ??

? 内有且仅有一个零点

?内

f (x) ? g (x)

有且仅有一个实数根.

???????8 分

(或说明 h (1) ? 0 也可以) (Ⅲ) mx
?
2

m x

? 2 ln x ? 2

恒成立, 即 m ? x

2

? 1 ? 2 x ? 2 x ln x
2 x ? 2 x ln x x
2

?

恒成立,

又x

?1 ? 0

,则当 x ? ?1, e ? 时, m
2

?

?1

恒成立,???10 分

令G ?x ? ?
G '?x ? ?

2 x ? 2 x ln x x ?1

,只需 m 小于 G ? x ? 的最小值,

? 2 ( x ln x ? ln x ? 2 )
2

?x
,? ln

2

?1

?

2



Q1? x≤ e

x ? 0

,? 当 x ? ?1, e ? 时 G ' ? x ? ? 0 ,
4e e
2

? G ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递减,? G ? x ? 在 ?1, e ? 的最小值为 G ? e ? ?

?1



则 m 的取值范围是 ? ? ? , ?
? e

4e
2

? ?. ?1?

?????????? 12 分

(22)证明: (Ⅰ)如图,连接 O C , Q O A ? O B , C A ? C B ,? O C
Q OC

? AB

是圆的半径,

? AB

是圆的切线.

?????????3

分 (Ⅱ) ED 是直径,? ? E C D 又 ?BCD ? ?OCD
? 9 0 ? ,? ? E ? ? E D C ? 9 0 ?

? 9 0 ? , ? O C D ? ? O D C ,? ? B C D ? ? E , 又 ? C B D ? ? E B C



12

? ? BCD

∽ ? BEC ,?
CD EC ? 1 2

BC BE

?

BD BC

? BC

2

? BD ? BE



?????????5 分

tan ? CED ?


? CD EC
2

?BCD : ?BEC



BD BC

?

1 2

?????????????????7 分
2

设 BD

? x, 则 BC ? 2 x, Q BC

? BD ? BE ? (2 x) ? x( x ? 6) ? BD ? 2

????9 分 分

? OA ? OB ? BD ? OD ? 2 ? 3 ? 5 .?????????????????10

(23)解: (Ⅰ)圆 O : ?

? co s ? ? sin ?
2

,即 ?
2

2

? ? co s ? ? ? sin ?

圆 O 的直角坐标方程为: x 直线 l : ? s in (?
?

? y ? x? y

,即 x

2

? y ? x? y ? 0
2

???3 分

?
4

)?

2 2

,即 ? sin ?

? ? co s ? ? 1

则直线 l 的直角坐标方程为: y ? x ? 1 ,即 x ? 分 (Ⅱ)由 ?
?x ? y ? x ? y ? 0
2 2

y ?1? 0

????5

?x ? y ?1 ? 0

得?

?x ? 0 ?y ?1

????8 分
?
2 )

故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 (1, 分

????10

(24)解: (Ⅰ) 当2 ?

? ? 3, ? f ( x ) ? | x ? 2 | ? | x ? 5 |? ? 2 x ? 7 , ? 3, ?

x ≤ 2, 2 ? x ? 5, x ≥ 5.

x ? 5时 , ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3 .
f ( x) ≤ 3.

所以 ? 3 ≤

??????5 分
13

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 当 x ≤ 2时 , 当2 ?
f ( x) ≥ x ? 8 x ? 15
2

的解集为空集;
3 ≤ x ? 5} ;

x ? 5时 , f ( x ) ≥ x ? 8 x ? 1 5的 解 集 为 { x | 5 ?
2
2

当 x ≥ 5时 ,

f ( x ) ≥ x ? 8 x ? 1 5的 解 集 为 { x | 5 ≤ x ≤ 6} .
x ? 8 x ? 1 5的 解 集 为 { x | 5 ?
2

综上,不等式 f ( x ) ≥

3 ≤ x ≤ 6} .

????10 分

14


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