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1.1.1命题及1.1.2四种命题


1.1 命题及其关系

1.1.1命题

下列语句的表述形式有什么特点? 你能判断他们的真假吗?
(1)若直线 a∥b,则直线 a 与直线 b 没有公 共点 . (2)2+4=7. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. 2 (4)若 x =1,则 x=1. (5)两个全等三角形的面积相等. (6)3能被2整除.
特点

:①都是陈述句 ②都可以判断真假
(1)(3)(5)为真; (2)(4)(6)为假.

命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符号 或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做 命题 判断为真的语句叫真命题。 判断为假的语句叫假命题。
? 理解:命题定义的核心是判断,切记:判断的标准 必须确定,判断的结果可真可假,但真假必居其一。

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述 句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题? 7是23的约数吗? 2) x>5. 3) -2<a<3. 4) 画线段AB=CD.
1)

疑问句 开语句 祈使句

? 判断一个语句是不是命题,关键看这语句是否符合
?
“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。 有些语句中含有变量,在不给定变量的值之前,我们 无法确定这语句的真假,这样的语句叫开语句.开语句 不是命题.

看看下列语句是不是命题?
1) 今天天气如何?
2) 你是不是作业没交? 3) 这里景色多美啊! 4) -2不是整数。 5) 4>3。 6) x>4。

不是(疑问句)
不是(疑问句) 不是(感叹句) 是 是 不是(开语句)

例1 判断下列语句中哪些是命题?是真 命题还是假命题? 真命题 (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a是素数,则a是奇数;
(3)指数函数是增函数吗? 假命题

(4)若空间中两条直线不相交,则这两条直 假命题 线平行;
(5)

?? 2?2 ? 2

;

真命题

(6)x>15. 上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式. 本章中我们只讨论这种形式.

“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是素数,则a是奇数。”具 q 有“若p则q”的形式。 p
?通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条

件,q叫做命题的结论。 ?“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是 唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有 q”等形式。 ?“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易 辨别, 缺点是太格式化且不灵活.

例2 指出下列命题中的条件p和结论q:
1) 若整数a能被2整除,则a是偶数; 2) 若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分。

解:1) 条件p:整数a能被2整除, 结论q:整数a 是偶数。 2) 条件p:四边形是菱形, 结论q:四边形的对角线互相垂直且平分。

“若p则q”形式的命题的书写
?

对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先 添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。 如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。 写成“若p则q”的形式为: “若两个平面垂直于同一条直线,则这两个 平面平行”。

例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行;
若两条直线垂直于同一直线,则这两条直线平行。 假命题

(2) 负数的立方是负数
若一个数是负数,则这个数的立方是负数。

真命题

(3) 对顶角相等
若两个角是对顶角,则这两个角相等。

真命题

练习3、把下列命题改写成“若p,则q”的形式, 并判断它们的真假.
(1)等腰三角形两腰的中线相等;

(2)偶函数的图象关于y轴对称;
(3)垂直于同一个平面的两个平面平行。 (1)若三角形是等腰三角形,则三角形两边上的中线相等。 这是真命题。 (2)若函数是偶函数,则函数的图象关于y轴对称。 这是真命题。 (3)若两个平面垂直于同一平面,则这两个平面互相平行。 这是假命题。

怎样判断一个数学命题的真假?
(1)数学中判定一个命题是真命题,要经过 证明. (2)要判断一个命题是假命题,只需举一个 反例即可.

思考1
将命题“当a>0时,函数y=ax+b的值随x值的增加而 增加。”改写成“若p则q”的形式,并判断命题的真 假。 当a>0时,若x值增加,则函数y=ax+b的值也随之 增加。它是真命题.

在本题中,当a>0是大前提,应单独给 出,不能把大前提也放在命题的条件部分 内.

例已知命题p : 关于x的不等式 | x - 2 |? m -1的解集为R, 思考2 命题q : 函数f ( x) ? -(7 - 3m) x 是减函数, 为使p和q中有且只有一个命题是真命题求实数m的取值范围

解 : 若p是真命题则 m ?1 ? 0,即m ? 1;
若q是真命题则 7 ? 3m ? 1即m ? 2
?m ? 1 ? m ?? (1)当p是真命题且q是假命题时 ? ?m ? 2
?m ? 2 (2)当q是真命题且p是假命题时 ?m ? 1 ? 1 ? m ? 2 ?

1.1 命题及其关系

1.1.2四种命题

下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件 和结论之间分别有什么关系? (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;

(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;
(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数;

观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间 分别有什么关系?
1. 若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; p q 2. 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; q p
互逆命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件,这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题:其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题:另一个命题叫做原命题的逆命题。 即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p

例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆命题是“两 直线平行,同位角相等”。

观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间 分别有什么关系?
1. 若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; q p 3. 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数. ┐p ┐q
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”
原命题 (原命题的)否命题 互否命题

原命题:若p,则q

否命题:若┐p,则┐q

例如,命题“同位角相等,两直线平行”的否命题是“同 位角不相等,两直线不平行”。

观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间 分别有什么关系?
1. 若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; q p 4. 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数. ┐q ┐p

互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题
原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题是 “两直线不平行,同位角不相等”。

三:三个概念
1、互逆命题:如果一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的结论和条件,那么这两个命题叫互逆命题。其中一个命 题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题。 2、互否命题:如果一个命题的条件和结论是另一个命题的 条件的否定和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命题。 其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的否命题。 3、互为逆否命题:如果一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论的否定和条件的否定,那么这两个命题叫做互 为逆否命题。

若原命题为“若p,则q”的形式,则它的逆命题、 否命题、逆否命题应分别写成什么形式?

四:四种命题形式:
原命题:
逆命题: 否命题:

若p,则q.
若q,则p. 若? p,则? q.

q,则? p. 逆否命题: 若?

例4:写出下列命题的原命题、逆命题、否命 题、逆否命题
原命题: 若一个整数的末位是 0 ,则这个整数可被5整除

真 逆命题: 若一个整数可被5整除,则这个整数的末位是0 假 否命题:若一个整数的末位不是 0 ,则这个整数不能被5整除 假
逆否命题: 若一个整数不能被5整除,则这个整数的末位不是0 真

例5:写出下列命题的原命题、逆命题、 否命题和逆否命题: 逆命题:如果一个四边形四边
相等,那么它是正方形。
(1)正方形的四条边相 等。



原命题:如果一个 四边形是正方形, 那么它的四条边相 等。 真

否命题:如果一个四边
形不是正方形,那么它的 四条边不相等。 假

逆否命题:如果一个
四边形四边不相等,那 么它不是正方形。 真

逆命题:
若X2-3X+2=0, 真 则X=1或X=2 。

否命题:

(2)若X=1或 X=2,则X2- 3X+2=0。


若X?1且X?2, 则X2-3X+2 ?0。 真

逆否命题:若X2-3
X+2 ? 0, 则X?1且X? 2 。



课堂小结1:
通过这节课的学习,你学到了那些知识呢?
1.什么叫命题?真命题?假命题? 2.命题是由哪两部分构成的? 3.怎样将命题写成“若 p,则 q”的形式. 4.如何判断真假命题.

课堂小结2:
通过这节课的学习,你学到了那些知识呢?
1、四种命题形式: 原命题:若p则q. 否命题: 若? p则 ? q.

逆命题: 若q则p.
逆否命题: 若? q则 ? p.


1.1命题及其关系 1.1.2四种命题

1.1.2 四种命题 整体设计 教材分析 本节依次介绍了四种命题:原命题、逆命题、否命题和逆否命题.命题“若 p,则 q” 反映了条件 p 对于结论 q 的因果关系....

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