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4-2-3 直线与圆的方程的应用

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一、选择题 1.一辆卡车宽 1.6m,要经过一个半圆形隧道(半径为 3.6m)则这 辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( A.1.4m C.3.6m [答案] B [解析] 圆半径 OA=3.6,卡车宽 1.6,∴AB=0.8, B.3.5m D.2.0m ) ∴弦心距 OB= 3.62-0.82≈3.5. 2.与圆 x2+y2-ax-2y+1=0 关于直线 x-y-1=0 对称的圆的 方程是 x2+y2-4x+3=0,则 a=( A.0 C.2 [答案] C [解析] x2+y2-4x+3=0 化为标准形式为(x-2)2+y2=1,圆心 为(2,0), ∵(2,0)关于直线 x-y-1=0 对称的点为(1,1), ∴x2+y2-ax-2y+1=0 的圆心为(1,1). a2 a2 a 2 ∵x +y -ax-2y+1=0,即为(x-2) +(y-1) = 4 ,圆心为(2, 2 2 ) B.1 D.3 a 1),∴2=1,即 a=2. 3.直线 2x-y=0 与圆 C:(x-2)2+(y+1)2=9 交于 A、B 两点, 则△ABC(C 为圆心)的面积等于( A.2 5 C.4 3 [答案] A |4+1| [解析] ∵圆心到直线的距离 d= = 5, 5 1 ∴|AB|=2 9-d2=4,∴S△ABC=2×4× 5=2 5.. 4.点 P 是直线 2x+y+10=0 上的动点,直线 PA、PB 分别与圆 x2+y2=4 相切于 A、B 两点,则四边形 PAOB(O 为坐标原点)的面积 的最小值等于( A.24 C.8 [答案] C [解析] 1 ∵ 四 边 形 PAOB 的 面 积 S = 2× 2 |PA|×|OA| = ) B.16 D.4 ) B.2 3 D.4 5 2 OP2-OA2=2 OP2-4,∴当直线 OP 垂直直线 2x+y+10=0 时, 其面积 S 最小. 5.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则点 P(a,b)的位置 是( ) A.在圆上 C.在圆内 [答案] B B.在圆外 D.以上都不对 [解析] 由 |0+0-1| 2 2 2 2 <1,∴a +b >1. a +b 6.(2008 年山东高考题)已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0.设该 圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的 面积为( ) B.20 6 D.40 6 A.10 6 C.30 6 [答案] B [解析] 圆心坐标是(3,4),半径是 5,圆心到点(3,5)的距离为 1, 根据题意最短弦 BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直, 故最短弦的长为 1 1 2 52-12 = 4 6 , 所 以 四 边 形 ABCD 的 面 积 为 2 ×AC×BD = 2 ×10×4 6=20 6. 7.方程 1-x2=kx+2 有唯一解,则实数 k 的范围是( A.k=± 3 B.k∈(-2,2) C.k<-2 或 k>2 D.k<-2 或 k>2 或 k=± 3 [答案] D [解析] 由题意知,直线 y=kx+2 与半圆 x2+y2=1(y≥0 只有一 个交点.结合图形易得 k<-2 或 k>2 或 k=± 3. 8.(拔高题)台风中心从 A 地以每小时 20 km 的速度向东北方向 移动,离台风中心 30 km 内的地区为危险地区,城市 B 在 A 的正东 40 km 外,B 城市处于危险区内的时间为( A.0.5 h C.1.5 h B.1 h D.2 h ) )

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