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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《2.3.1离散型随机变量的均值》教案2

时间:2013-03-31


2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值 一、复习引入: 1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常
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用希腊字母ξ 、η 等表示 随机变量

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2.

离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型
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3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续 型随机变量
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4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变 量 都 是 用 变 量 表 示随 机试 验的 结果;但是 离 散型 随机 变量 的结 果可以 按 一定 次序 一一 列出,而连 续 性随 机变 量 的 结果 不可 以一 一列 出 若 ? 是随机变量,? 续型)
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? a? ? b, a, b 是常数,则? 也是随机变量

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并 且不 改变 其属 性( 离散 型、连

5. 分布列:设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1,x2,?,x3,?, ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?)的概率为 P(? ξ

? xi ) ? pi ,则称表
? ?

x1 P1

x2 P2
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xi Pi

? ?

P

为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列

6. 分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,?; ⑵P1+P2+?=1. 7.离散型随机变量的二项分布:在 一 次 随 机 试 验 中 , 某 事 件 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 , 在 n 次独 立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是 一个 随机 变量 .如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么 在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k ( . Pn (? ? k ) ? Cn p k q n?k , k=0,1,2,?,n, q ? 1 ? p )

于是得到随机变量 ξ 的 概率分 布 如下 : ξ 0
0 Cn p0qn

1
1 Cn p1q n?1

? ?

k
k Cn p k q n ? k

? ?

n
n Cn p n q 0

P

称 这 样 的 随 机 变 量 ξ 服 从 二 项 分 布 ,记 作 ξ ~ B ( n , p ),其中 n , p 为 参数 ,并记 Cn

k

p k q n?k =

b(k;n,p).
8. 离散型随机变量的几何分布:在独立重复试验中,某 事 件 第 一 次 发生时,所作试验的次数 ξ 也 是 一 个正 整数 的离 散型 随机变 量 .“ ?

? k ” 表 示在 第

k 次 独立重复试验时事件第一次发生.如果把

k 次试验时事件 A 发生记为 Ak 、事件 A 不发生记为 Ak ,P( Ak )=p,P( Ak )=q(q=1-p),那么

P(? ? k ) ? P( A1 A2 A3 ? Ak ?1 Ak ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )?P( Ak ?1 )P( Ak ) ? q k ?1 p
0,1,2,?,



k



q ? 1? p ) .于是得到随机变量 ξ

的 概率 分布 如下 :

ξ

1

2

3

? ?

k

? ?

P

p
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pq

q2 p

q k ?1 p

称这样的随机变量 ξ 服从几何分布 记 作 g ( k , p )= 二、讲解新课:

q k ?1 p , 其中 k=0,1,2,?, q ? 1 ? p .

根据已知随机变量的分布列,我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率,但分布列的用途远不 止于此,例如:已知某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下 ξ 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22

P

在 n 次射击之前,可以根据这个分布列估计 n 次射击的平均环数.这就是我们今天要学习的离散型随 机变量的均值或期望
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根据射手射击所得环数 ξ 的分布列, 我们可以估计,在 n 次射击中,预计大约有

P(? ? 4) ? n ? 0.02n P(? ? 5) ? n ? 0.04n
????

次得 4 环; 次得 5 环;

P(? ? 10) ? n ? 0.22n
故在 n 次射击的总环数大约为

次得 10 环.

4 ? 0.02 ? n ? 5 ? 0.04 ? n ? ? ? 10 ? 0.22 ? n

? (4 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? ? ? 10 ? 0.22) ? n ,
从而,预计 n 次射击的平均环数约为

4 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? ? ? 10 ? 0.22 ? 8.32 .
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的, 只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数, 它反映了射手射击的平均水平. 对于任一射手,若已知其射击所得环数 ξ 的分布列,即已知各个 P(? 们可以同样预计他任意 n 次射击的平均环数:

? i) (i=0,1,2,?,10) ,我

0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? ? ? 10 ? P(? ? 10) .
1. 均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P 则称 x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ?

E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ?

为 ξ 的均值或数学期望,简称期望.
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2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3. 平均数、均值:一般地,在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中,令

p1 ? p2 ? ? ? pn ,则有

p1 ? p2 ? ? ? p n ?
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1 n

, E?

? (x1 ? x2 ? ? ? x n ) ?

1 ,所以 n

ξ 的数学期望又称为平均数、均值

4. 均值或期望的一个性质:若 ? 分布列为 ξ η P 于是 E? x1

? a? ? b (a、b 是常数),ξ 是随机变量,则 η 也是随机变量,它们的

x2

? ? ?

xn

? ? ?

ax1 ? b
p1

ax2 ? b
p2

axn ? b
pn

? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? ? ? (axn ? b) pn ? ?

= a( x1 p1 = aE?

? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ?) ? b( p1 ? p 2 ? ? ? pn ? ?)

?b, ? b) ? aE? ? b

由此,我们得到了期望的一个性质: E (a? 5.若ξ 证明如下: ∵ ∴

? B(n,p) Eξ ,则

=np

k k P(? ? k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k ? Cn pk qn?k ,

E? ?



0 1 2 Cn p 0 q n + 1 × Cn p1q n?1 + 2 × Cn p 2 q n?2

+?+k×

k Cn p k q n ? k

+?+n×

n Cn p n q 0 .

又∵

k kCn ? k ?

n! n ? (n ? 1)! k ?1 ? ? nCn?1 , k!(n ? k )! (k ? 1)![(n ? 1) ? (k ? 1)]!

1



0 E? ? np( Cn?1 p0 n? q

1 Cn?1 p1q n?2

+ ? +

k ?1 Cn?1 p k ?1q (n?1)?(k ?1)

+ ? +

n ?1 Cn?1 p n?1q 0 ) ? np( p ? q) n?1 ? np .



若 ξ ~B(n,p),则 E?

? np.

三、讲解范例: 例 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知他命中的概率为 0.7,求他罚球 一次得分 ? 的期望
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解:因为 P(? 所以 E?

? 1) ? 0.7, P(? ? 0) ? 0.3 ,
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? 1? 0.7 ? 0 ? 0.3 ? 0.7

例 2. 一次单元测验由 20 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中有且仅有一个选项是正确答案, 每题选择正确答案得 5 分,不作出选择或选错不得分,满分 100 分 学生甲选对任一题的概率为 0.9,学生
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乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个,求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
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解:设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是 ? ,? ,则 ? ~ B (20,0.9),?

~ B(20,0.25) ,
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? E? ? 20 ? 0.9 ? 18, E? ? 20 ? 0.25 ? 5

由于答对每题得 5 分,学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是 5 ? 和 5 ? 的成绩的期望分别是:

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所以,他们在测验中

E (5? ) ? 5E (? ) ? 5 ? 18 ? 90, E (5? ) ? 5E (? ) ? 5 ? 5 ? 25

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例 3. 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为 0.25,有大洪水的概率为 0. 01.该地区某工地上有 一台大型设备,遇到大洪水时要损失 60 000 元,遇到小洪水时要损失 10000 元.为保护设备,有以下 3 种 方案: 方案 1:运走设备,搬运费为 3 800 元. 方案 2:建保护围墙,建设费为 2 000 元.但围墙只能防小洪水. 方案 3:不采取措施,希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好. 解:用 X1 、X2 和 X3 分别表示三种方案的损失. 采用第 1 种方案,无论有无洪水,都损失 3 800 元,即 X1 = 3 800 . 采用第 2 种方案,遇到大洪水时,损失 2 000 + 60 000=62 000 元;没有大洪水时,损失 2 000 元,即

?62000,有大洪水; X2 = ? ?2000,无大洪水.
同样,采用第 3 种方案,有

?60000,有大洪水; ? X 3 = ?10000,有小洪水; ?0,无洪水. ?
于是, EX1=3 800 , EX2=62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 , EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 . 采取方案 2 的平均损失最小,所以可以选择方案 2 . 值得注意的是,上述结论是通过比较“平均损失”而得出的.一般地,我们可以这样来理解“平均损 失” :假设问题中的气象情况多次发生,那么采用方案 2 将会使损失减到最小.由于洪水是否发生以及洪 水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案 2 也不一定是最好的.

例 4.随机抛掷一枚骰子,求所得骰子点数 ? 的期望 解:∵ P(?

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? i) ? 1 / 6, i ? 1,2,? ? ?,6 ,
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? E? ? 1? 1 / 6 ? 2 ? 1 / 6 ? ? ? ? ? 6 ? 1 / 6 =3.5

例 5.有一批数量很大的产品,其次品率是 15%,对这批产品进行抽查,每次抽取 1 件,如果抽出次品, 则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品为止,但抽查次数不超过 10 次 求抽查次数 ? 的期望(结果保
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留三个有效数字)

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解:抽查次数 ? 取 1 ? ?

? 10 的整数,从这批数量很大的产品中抽出 1 件检查的试验可以认为是彼此
? 1 次取出正品而第 k 次( k =1,2,…,

独立的,取出次品的概率是 0.15,取出正品的概率是 0.85,前 k 10)取出次品的概率:

P(? ? k ) ? 0.85k ?1 ? 0.15 ( k =1,2,…,10)
需要抽查 10 次即前 9 次取出的都是正品的概率: P(?

? 10) ? 0.859
6 7

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由此可得 ? 的概率分布如下: 8 9 10

?
P

1

2

3

4

5

0.15

0.1275

0.1084

0.092

0.0783

0.0666

0.0566

0.0481

0.0409

0.2316

根据以上的概率分布,可得 ? 的期望

E? ? 1? 0.15 ? 2 ? 0.1275? ? ? ? ? 10 ? 0.2316? 5.35
例 6.随机的抛掷一个骰子,求所得骰子的点数 ξ 的数学期望. 解:抛掷骰子所得点数 ξ 的概率分布为 ξ P 所以 1 2 3 4

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5

6

1 6
+3×

1 6

1 6

1 6
+6×

1 6

1 6

E? ? 1×

1 1 1 +4× +5× 6 6 6 1 =(1+2+3+4+5+6)× =3.5. 6
+2×

1 6

1 6

1 6

抛掷骰子所得点数 ξ 的数学期望,就是 ξ 的所有可能取值的平均值. 例 7.某 城市 出租 汽车 的起 步价 为 10 元, 行驶 路程 不超出 4km 时租 车费为 10 元 ,若 行 驶路 程 超 出 4km,则 按每 超 出 lkm 加 收 2 元计 费(超 出不 足 lkm 的 部分 按 lkm 计).从 这个城 市 的民 航机 场 到 某宾 馆的 路程为 15km.某 司 机经 常驾 车在 机场 与此宾 馆 之间 接送 旅客,由于 行车 路 线的 不同 以 及 途中 停车 时间 要转 换成行 车 路程 (这个 城市 规定 ,每 停车 5 分钟按 lkm 路 程计费 ),这个 司机 一 次 接送 旅客 的行 车路程 ξ 是 一 个随 机变 量. 设他 所收租 车 费为 η (Ⅰ)求租 车费 η 关于 行车 路程 ξ 的 关系 式; (Ⅱ)若 随 机 变 量 ξ 的 分 布列为
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ξ P 求所收租车费 η 的数学期望.

15 0.1

16 0.5

17 0.3

18 0.1

(Ⅲ )已 知某 旅客 实付 租车 费 38 元 ,而 出租 汽车 实际 行驶了 15km, 问出 租车 在途 中因 故 停 车 累计最多几分钟? 解 : (Ⅰ )依 题 意 得 (Ⅱ ) ∵ ∴ η=2(ξ-4)十 10, 即 η=2ξ+2;

E? ? 15 ? 0.1 ? 16 ? 0.5 ? 17 ? 0.3 ? 18 ? 0.1 ? 16.4

η=2ξ+2

E? ? 2 E ξ+2=34.8

(元)

故 所收租车费 η 的数学期望为 34.8 元. (Ⅲ )由 38=2ξ+2, 得 ξ=18, 5 ? (18-15)=15 所 以 出 租 车 在 途 中 因 故 停 车 累 计 最 多 15 分 钟 四、课堂练习: 1. 口袋中有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,从中任取 3 球,以 ? 表示取出球的最大号码,则 E? ( 答案:C 求 ⑴他罚球 1 次的得分 ξ 的数学期望; ⑵他罚球 2 次的得分 η 的数学期望; ⑶他罚球 3 次的得分 ξ 的数学期望. 解:⑴因为 P(? ) A.4;
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?

B.5;

C.4.5;

D.4.75

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2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的 1 分,罚不中得 0 分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,

? 1) ? 0.7 , P(? ? 0) ? 0.3 ,所以

E? ? 1× P(? ? 1) +0× P(? ? 0) ? 0.7
⑵η 的概率分布为 η 0 1
1 C2 ? 0.7 ? 0.3

2

P
所以

0.32

0.7 2

E? ? 0× 0.09 +1× 0.42 +2× 0.98 =1.4.

⑶ξ 的概率分布为 ξ 0 1
1 C3 ? 0.7 ? 0.32

2
2 C3 ? 0.7 2 ? 0.3

3

P
所以

0.33

0.7 3

E? ? 0× 0.027 +1× 0.189 +2× 0.98 =2.1.

3.设有 m 升水,其中含有大肠杆菌 n 个.今取水 1 升进行化验,设其中含有大肠杆菌的个数为 ξ ,求

ξ 的数学期望. 分析:任取 1 升水,此升水中含一个大肠杆菌的概率是

1 m

,事件“ξ =k”发生,即 n 个大肠杆菌中

恰有 k 个在此升水中,由 n 次独立重复实验中事件 A(在此升水中含一个大肠杆菌)恰好发生 k 次的概率 计算方法可求出 P(ξ = k ),进 而 可 求 E ξ . 解:记事件 A: “在所取的 1 升水中含一个大肠杆菌” ,则 P(A)= ∴ ∴

1 m



P(ξ =k)=Pn(k)=C n

k

1 m

) (1-

k

1 m

)

n-k

(k=0,1,2,?.,n) .

ξ ~B(n,

1 m

),故

Eξ =n×

1 n = m m

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五、小结 :(1)离 散 型 随 机 变 量 的 期 望 , 反 映 了 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水 平 ; (2)求离散型随机变量 ξ 的期望的基本步骤:①理解 ξ 的 意 义 ,写 出 ξ 可 能 取 的 全 部 值 ;②求 ξ 取 各 个 值 的 概 率 ,写 出 分 布 列 ;③根据分布列,由期望的定义求出 Eξ 二项分布的随机变量的期望 Eξ =np
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公式 E(aξ +b)= aEξ +b,以及服从

六、课后作业:P64-65 练习 1,2,3,4 P69 A 组 1,2,3 1.一袋子里装有大小相同的 3 个红球和两个黄球,从中同时取出 2 个,则其中含红球个数的数学期望 是 (用数字作答)

解:令取取黄球个数 ? (=0、1、2)则 ? 的要布列为

?
p

0

1

2

于是

3 10 3 3 1 E( ? )=0× +1× +2× =0.8 10 5 10

3 5

1 10

故知红球个数的数学期望为 1.2 2.袋中有 4 个黑球、3 个白球、2 个红球,从中任取 2 个球,每取到一个黑球记 0 分,每取到一个白球 记 1 分,每取到一个红球记 2 分,用 ? 表示得分数 ①求 ? 的概率分布列 ②求 ? 的数学期望 解:①依题意 ? 的取值为 0、1、2、3、4
2 C4 1 ? C92 6

? =0 时,取 2 黑

p( ? =0)=

? =1 时,取 1 黑 1 白

1 1 C 4 ? C3 1 p( ? =1)= ? 3 C92

? =2 时,取 2 白或 1 红 1 黑 p( ? =2)=

1 1 C 32 C2 ? C4 11 + ? 36 C92 C 92 1 1 C3 ? C 2 1 ? 6 C92

? =3 时,取 1 白 1 红,概率 p( ? =3)=

? =4 时,取 2 红,概率 p( ? =4)= ?
p

2 C2 1 ? 2 C9 36

0

1

2

3

4

∴ ? 分布列为

1 6

1 3
+4×

11 36

1 6

1 36

(2)期望 E ? =0×

1 6

+1×

1 11 1 +2× +3× 3 6 36

1 14 = 36 9
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3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学,为保证设备正常工作,事先进行独立试验,已知各设备产生故 障的概率分别为 p1、p2、p3,求试验中三台投影仪产生故障的数学期望

解:设 ? 表示产生故障的仪器数,Ai 表示第 i 台仪器出现故障(i=1、2、3)

Ai 表示第 i 台仪器不出现故障,则:
p( ? =1)=p(A1· A2 ·

A3 )+

p(

A1 ·A · A3 )+
2

p( A1 ·

A2

·A3)

=p1(1-p2) (1-p3)+ p2(1-p1) (1-p3)+ p3(1-p1) (1-p2) = p1+ p2+p3-2p1p2-2p2p3-2p3p1+3p1p2p3 p( ? =2)=p(A1· A2· A )+ p(A1· A2 · = p1p2 (1-p3)+ p1p3(1-p2)+ p2p3(1-p1) = p1p2+ p1p3+ p2p3-3p1p2p3 p( ? =3)=p(A1· A2·A3)= p1p2p3 ∴ E? =1×p( ? =1)+2×p( ? =2)+3×p( ? =3)= p1+p2+p3

A3 )+

p( A1 ·A2·A3)

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注:要充分运用分类讨论的思想,分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望

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4.一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球, 从中同时取出 2 个, 含红球个数的数学期望是
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1.2

解:从 5 个球中同时取出 2 个球,出现红球的分布列为

?
P

0
2 C2 ? 0.1 2 C5

1
1 1 C3 ? C2 ? 0.6 2 C5

2
2 C3 ? 0.3 2 C5

? E? ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.6 ? 2 ? 0.3 ? 1.2

5.

A 、 B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员, A 队队员是 A1 , A2 , A3 , B 队队员是

B1 , B2 , B3 ,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下:
对阵队员 A1 对 B 1 A 队队员胜的概率 B 队队员胜的概率

A2 对 B 2

A3 对 B 3

2 3 2 5 2 5

1 3 3 5 3 5
A 队, B 队最后所得分分别为 ?
,?
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现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 (1)求 ? , ? 的概率分布; (2)求 E? , E?

解: (Ⅰ) ? , ? 的可能取值分别为 3,2,1,0

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2 3 2 P ?? ? 2? ? 3 2 P ?? ? 1? ? 3 1 P ?? ? 0? ? 3 P ?? ? 3? ?
根据题意知 ?

2 5 2 ? 5 3 ? 5 3 ? 5 ?

2 5 3 ? 5 3 ? 5 3 ? 5 ?

8 , 27 1 2 2 2 3 2 28 ? ? ? ? ? ? ? , 3 5 5 3 5 5 75 1 2 3 1 3 2 2 ? ? ? ? ? ? ? , 3 5 5 3 5 5 5 3 ? 25 ?

? ? ? 3 ,所以
8 28 , P ?? ? 1? ? P ?? ? 2? ? , 75 75 2 3 ? , P ?? ? 3? ? P ?? ? 0? ? 5 25

P ?? ? 0? ? P ?? ? 3? ? P ?? ? 2? ? P ?? ? 1?
(Ⅱ) E?

8 28 2 3 22 ? 2? ? 1? ? 0 ? ? ; 75 75 5 25 15 23 因为 ? ? ? ? 3 ,所以 E? ? 3 ? E? ? 15 ? 3?
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选修2-3教案2.3.1离散型随机变量的均值

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人教A版高中数学选修2-3知识点总结

人教A版高中数学选修2-3知识点总结_数学_高中教育_教育专区。人教A版高中数学...为ξ 的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.是离 散型随机变量。 ...

高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《2.3.2离散型随...

高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《2.3.2离散型随机变量的方差》评估训练 隐藏>> 2.3.2 离散型随机变量的方差 双基达标 1.已知 ξ 的分布列为: ξ...

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...A版数学选修2-3导学案:2.3离散型随机变量的均值与方...

2015-2016学年高二人教A版数学选修2-3导学案:2.3离散型随机变量的均值与方差_高二数学_数学_高中教育_教育专区。23 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散...

2016新课标三维人教A版数学选修2-3 复习课(二)随机变量...

2016新课标三维人教A版数学选修2-3 复习课(二)随机变量及其分布_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2016新课标三维人教A版数学选修2-3 复习课(二)随机变量及其...

...选修2-3数学(理):2.3.1《离散型随机变量的数学期望...

最新高中人教B版】选修2-3数学(理):2.3.1《离散型随机变量的数学期望》教案设计(精品)_数学_高中教育_教育专区。2.3.1 离散型随机变量的数学期望 【教学...