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高中数学人教版选修2-2导数及其应用(定积分)知识点总结

时间:2017-09-16


数学选修 2-2 导数及其应用(定积分)知识点必记
1.函数的平均变化率是什么? 答:平均变化率为

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? ?x ?x x2 ? x1 ?x

注 1:其中 ?x 是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注 2:函数的平均变化率

可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么? 答:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim
?x?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ,则称 ? lim ?x ?x?0 ?x

函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导, 并把这个极限叫做 y ? f ( x) 在 x 0 处的导数, 记作 f ' ( x0 ) 或 y ' | x? x0 ,即 f ' ( x0 ) = lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x

3.平均变化率和导数的几何意义是什么? 答: 函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线 的斜率。 4 导数的背景是什么? 答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些? 函数 导函数 不定积分

y?c
y ? xn ? n ? N * ?

y' ?0

————————
n ? x dx ?

y ' ? nxn?1

x n ?1 n ?1

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?

y ' ? a x ln a
y ' ? ex
1 x ln a
1 x

x ? a dx ?

ax ln a
x

y ? ex

? e dx ? e
x

y ? loga x

? a ? 0, a ? 1, x ? 0?
y ? ln x

y'?

————————
1

y'?

? x dx ? ln x
? cos xdx ? sin x
? sin xdx ? ? cos x

y ? sin x
y ? cos x

y ' ? cos x

y ' ? ? sin x

6、常见的导数和定积分运算公式有哪些?

答:若 f ? x ? , g ? x ? 均可导(可积),则有: 和差的导数运算

? f ( x) ? g ( x) ?
? f ( x) ? g ( x) ?
'

'

? f ' ( x) ? g ' ( x)

? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x)

积的导数运算

特别地: ? ?Cf ? x ? ? ? ' ? Cf ' ? x ?
? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?
? 1 ? ? g '( x) 特别地: ? ?'? 2 g x g ? x? ? ? ? ?
y x? ? yu? ? u x?
'

商的导数运算

复合函数的导数

微积分基本定理

? f ? x ?dx ?
a

b

(其中

F ' ? x? ? f ? x? )

和差的积分运算

?

b

a

[ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a

b

b

特别地: 积分的区间可加性

?

b

a

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx(k为常数)
a

b

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中a ? c ? b)
a c

c

b

6.用导数求函数单调区间的步骤是什么? 答:①求函数 f(x)的导数 f '( x ) ②令 f '( x ) >0,解不等式,得 x 的范围就是递增区间. ③令 f '( x ) <0,解不等式,得 x 的范围,就是递减区间; 注:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数 f(x)的极值的步骤是什么? 答:(1)确定函数的定义域。(2) 求函数 f(x)的导数 f '( x ) (3)求方程 f '( x ) =0 的根 (4) 用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间, 并列成表格,检查 f / ( x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在 这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左 右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤是什么? 答:求 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ?a, b? 上的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与 f ( a), f (b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一 个是最小值。 注:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点; 9.求曲边梯形的思想和步骤是什么? 答:分割 ? 近似代替 ? 求和 ? 取极限 (“以直代曲”的思想)

10.定积分的性质有哪些? 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1

? 1dx ? b ? a
a
b a
b

b

性质 5 若 f ( x) ? 0, x ? ?a, b?,则 ? f ( x)dx ? 0 ①推广: ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x) ?
a

? f m ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ?
a a

b

b

? ? f m ( x)
a

b

②推广: ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ?
a a c1

b

c1

c2

? ? f ( x)dx
ck

b

11 定积分的取值情况有哪几种? 答:定积分的值可能取正值,也可能取负值,还 可能是 0. ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定 积分的值取正值,且等于 x 轴上方的图形面积; (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定 积分的值取负值,且等于 x 轴上方图形面积的相 反数; (3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为 0,且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的 面积. 12.物理中常用的微积分知识有哪些? 答: (1)位移的导数为速度,速度的导数为加速度。 (2)力的积分为功。


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