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北京市海淀区2014届高三数学上学期期末考试试题 理


北京市海淀区 2014 届高三数学上学期期末考试试题 理(扫描版) 新人教 A 版

1

2

3

4

5

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (理)

参考答案及评分标准 2014.1 阅卷须知: 1.评分参考中所注分

数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 B 5 A 6 C 7 B 8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分) 9. 2 12. 2 3 10.

4 5

11. 14.

(0,1) ;4

13. 2

4 ;①②③ 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)由 sin x ? cos x ? 0 得 x ? kπ ? 因为, f ( x) ?

π ,k ? Z . 4

cos2 x ? 2sin x sin x ? cos x cos2 x ? sin 2 x ? ? 2sin x -----------------------------------2 分 sin x ? cos x

? cosx ? sin x

π ? 2 sin( x ? ) , 4
因为在 ?ABC 中, cos A ? ? ? 0 ,

-------------------------------------4 分

3 5

π ? A ? π ,-------------------------------------5 分 2 4 所以 sin A ? 1 ? cos2 A ? ,------------------------------------7 分 5 4 3 1 所以 f ( A) ? sin A ? cos A ? ? ? . -----------------------------------8 5 5 5
所以 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f ( x) ? 2 sin( x ? ) ,

π 4

6

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 π . 因为函数 y ? sin x 的对称轴为 x ? kπ+

-----------------------------------10 分

π , k ? Z , -----------------------------------11 分 2 π π π 又由 x ? ? kπ+ , k ? Z ,得 x ? kπ+ , k ? Z , 4 2 4 π 所以 f ( x ) 的对称轴的方程为 x ? kπ+ , k ? Z .----------------------------------13 分 4

16.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)由上图可得 0.01 ? a ? 0.19 ? 0.29 ? 0.45 ? 1 , 所以 a ? 0.06 . ---------3 分 (Ⅱ)由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于 8 环的概率为 -----------------------

0.45 ? 0.29 ? 0.01 ? 0.75
-------4 分 由题意可知随机变量 X 的取值为:0,1,2,3. -------5 分

---------------------------

---------------------------

事件“ X ? k ”的含义是在 3 次射击中,恰有 k 次击中目标靶的环数不低于 8 环.

? 3? P( X ? k ) ? C ? ? ?4?
k 3

k

? 3? ?1 ? ? ? 4?

3?k

(k ? 0,1,2,3)

----------------------------------8

分 即 X 的分布列为

X

0

1

2

3

P

1 64

9 64

27 64

27 64
------------------------10

所以 X 的期望是 E( X ) ? 0? 分

1 9 27 27 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 64 64 64 64 4

(Ⅲ)甲队员的射击成绩更稳定. --------13 分 17.(本小题共 14 分)

-------------------------

解:(Ⅰ)因为底面 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O , 所以 O 为 AC , BD 中点. -------------------------------------1 分 PA ? PC , PB ? PD 又因为 , 所以 PO ? AC , PO ? BD , ---------------------------------------3 分
7

所以 PO ? 底面 ABCD . (Ⅱ)由底面 ABCD 是菱形可得 AC ? BD , 又由(Ⅰ)可知 PO ? AC , PO ? BD . 如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz . 由 ?PAC 是 边 长 为 2

----------------------------------------4 分 z

P

的 等 边 三 角 形 ,

F
x A

D
O C

PB ? PD ? 6 ,
可得 PO ? 3, OB ? OD ? 3 .

By

所以 A(1,0,0), C(?1,0,0), B(0, 3,0), P(0,0, 3) .---------------------------------------5 分 所以 CP ? (1,0, 3) , AP ? (?1,0, 3) . 由已知可得 OF ? OA ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 1 ??? 3 3 AP ? ( ,0, ) -----------------------------------------6 分 4 4 4

设平面 BDF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

??? ? ? 3 y ? 0, ? ? n ? OB ? 0, ? 即?3 ? ? ??? 3 n ? OF ? 0, z ? 0. ? ? x? ? ?4 4
令 x ? 1 ,则 z ? ? 3 ,所以 n ? (1,0, ? 3) .----------------------------------------8 分

??? ? ??? ? CP ? n 1 ? 因为 cos ? CP ? n ?? ??? ? ? ,----------------------------------------9 分 2 | CP | ? | n |
所以直线 CP 与平面 BDF 所成角的正弦值为

1 , 2
?

所以直线 CP 与平面 BDF 所成角的大小为 30 . 10 分 (Ⅲ)设

-----------------------------------------

BM ? ? (0 ? ? ? 1) ,则 BP

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? CM ? CB ? BM ? CB ? ? BP ? (1, 3(1 ? ? ), 3? ) .--------------------------------11 分 若使 CM ∥平面 BDF ,需且仅需 CM ? n ? 0 且 CM ? 平面 BDF , --------------------12 分

???? ?

8

1 ? [0,1] ,----------------------------------------13 分 3 所以在线段 PB 上存在一点 M ,使得 CM ∥平面 BDF . BM 1 此时 = . -------------------------------BP 3
解得 ? ? ---14 分 18.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ) f '( x) ? -------2 分 当 a ? ?1 时, f ( x ) , f '( x) 的情况如下表:

?ae x ( x ? 2) ?a( x ? 2) , x?R . ? (e x )2 ex

-----------------------------------

x
f '( x )

( ??, 2)
?


2 0 极小值

(2, ??)

?
↗ -----------------------------------

f ( x)

所以,当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 的极小值为 ?e?2 . ------6 分 (Ⅱ) F '( x ) ? f '( x ) ?

?a ( x ? 2) . ex

①当 a ? 0 时, F ( x ), F '( x ) 的情况如下表:

x
f '( x )

( ??, 2)
?


2 0 极小值

(2, ??)

?
↗ -------------------------

f ( x)

-------7 分 因为 F (1) ? 1 ? 0 , ------8 分 若使函数 F ( x ) 没有零点,需且仅需 F (2) ? ------9 分 所以此时 ?e 2 ? a ? 0 ; ②当 a ? 0 时, F ( x ), F '( x ) 的情况如下表:
9

------------------------

a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?e 2 ,------------e2

-----------------------------------------------10 分

x
f '( x )
f ( x)

( ??, 2)

2 0 极大值

(2, ??)
?
↘ --------

?


11 分

10 e 因为 F (2) ? F (1) ? 0 ,且 F (1 ? ) ? a
所以此时函数 F ( x ) 总存在零点.

1?

10 a

? 10

e

10 1? a

?

e ? 10 e
1? 10 a

? 0 ,---------------------------12 分

--------------------------------------------13 分

综上所述,所求实数 a 的取值范围是 ?e 2 ? a ? 0 . 19.(本小题共 14 分) 解:(Ⅰ)由题意得 c ? 1 , --------1 分 由 -------------------------------

c 1 ? 可得 a ? 2 , a 2

------------------------------------------2 分 -------------------------------------------3 分

所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,

所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3
3 2

---------------------------------------------4 分

(Ⅱ)由题意可得点 A( ?2,0), M (1, ) , 所以由题意可设直线 l : y ? 设 B( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) ,

------------------------------------------6 分

1 x ? n , n ? 1 .------------------------------------------7 分 2

? x2 y 2 ? ? 1, ? ?4 2 2 3 由? 得 x ? nx ? n ? 3 ? 0 . 1 ? y ? x?n ? ? 2
由题意可得 ? ? n2 ? 4(n2 ? 3) ? 12 ? 3n2 ? 0 ,即 n ? (?2,2) 且 n ? 1 . -------------------------8 分

x1 ? x2 ? ?n, x1x2 ? n2 ? 3 .-------------------------------------9 分
3 3 y2 ? 2? 2 -----------------------------------10 分 ? x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ?

因为 k MB ? k MC

10

1 3 1 3 x1 ? n ? x2 ? n ? 2?2 2 ? 1? n ?1 ? n ?1 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ? 1?
? 1?

( n ? 1)( x1 ? x2 ? 2) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
( n ? 1)( n ? 2) ? 0 , ---------------------------------13 分 n2 ? n ? 2
---------------------------------14 分 ---------------------------

所以直线 MB, MC 关于直线 m 对称. 20.(本小题共 13 分) 解:(Ⅰ)①②③都是等比源函数. --------3 分 (Ⅱ)函数 f ( x) ? 2x ? 1 不是等比源函数. --------4 分 证明如下:

----------------------------

假设存在正整数 m, n, k 且 m ? n ? k ,使得 f ( m), f ( n), f ( k ) 成等比数列,

(2n ? 1)2 ? (2m ? 1)(2k ? 1) ,整理得 22 n ? 2n ?1 ? 2m ?k ? 2m ? 2k ,-------------------------5 分
等式两边同除以 2 m , 得 22 n ?m ? 2n ?m ?1 ? 2k ? 2k ?m ? 1 . 因为 n ? m ? 1, k ? m ? 2 ,所以等式左边为偶数,等式右边为奇数, 所以等式 22 n ?m ? 2n ?m ?1 ? 2k ? 2k ?m ? 1 不可能成立, 所以假设不成立,说明函数 f ( x) ? 2x ? 1 不是等比源函数.-----------------------------8 分 (Ⅲ)法 1: 因为 ?b, n ? N* ,都有 g (n ? 1) ? g (n) ? d , 所以 ?d , b ? N* ,数列 {g (n )} 都是以 g (1) 为首项公差为 d 的等差数列.

?d , b ? N* , g (1), g (1)(1 ? d ), g (1)(1 ? d )2 成等比数列,
因为 g (1)(1 ? d ) ? g (1) ? ( g (1) ? 1 ? 1)d ? g[ g (1) ? 1] ,

g (1)(1 ? d )2 ? g (1) ? (2 g (1) ? g (1)d ? 1 ? 1)d ? g[2 g (1) ? g (1)d ? 1] ,
所以 g (1), g[ g (1) ? 1], g[2 g (1) ? g (1)d ? 1] ?{g (n) | n ? N*} , 所以 ?d , b ? N* ,函数 g ( x) ? dx ? b 都是等比源函数 .------------------------------------------13 分
11

(Ⅲ)法 2: 因为 ?b, n ? N* ,都有 g (n ? 1) ? g (n) ? d , 所以 ?d , b ? N* ,数列 {g (n )} 都是以 g (1) 为首项公差为 d 的等差数列. 由 g 2 (m) ? g (1) ? g (k ) ,(其中 1 ? m ? k )可得

[ g (1) ? (m ? 1)d ]2 ? g(1) ? [ g(1) ? (k ? 1)d ] ,整理得
(m ? 1)[2 g (1) ? (m ? 1)d ] ? g (1)(k ? 1) , 令 m ? g (1) ? 1,则 g (1)[2 g (1) ? g (1)d ] ? g (1)(k ? 1) , 所以 k ? 2 g (1) ? g (1)d ? 1 ,
所以 ?d , b ? N* ,数列 {g (n )} 中总存在三项 g (1), g[ g (1) ? 1], g[2 g (1) ? g (1)d ? 1] 成等比数列. 所以 ?d , b ? N* ,函数 g ( x) ? dx ? b 都是等比源函数 .------------------------------------------13 分

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