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点到直线距离公式其它推导方法


点 P 到直线 L 的距离
巧推点(线外)到直线距离公式: 已知 点P( x0 , y0 )和直线l : Ax ? By ? C ? 0, 则点到直线的距离 即为点 P 到直线 l 上任意点所连结的线段中的最短线段 (利用距离的最短性结合不等式实现).设 M ? x, y ?为直线 l 上任意一点,点 P 到直线 l 的距离为 d ,则:
( Ax ? Ax0

)2 ( By ? By0 )2 (设 PM ? ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? PM ? ? A2 B2
2 2 2

A 与 B 都不为 0)
( Ax ? Ax0 )2 ( By ? By0 )2 ? ( A ? B ) PM ? ( A ? B )[ ? ] A2 B2 2 ? ( Ax ? Ax0 ? By ? By0 )2 = (? Ax0 ? By0 ? C )(不要以为不等
2 2 2

2

2

式放缩的不够或过大要么不是最小要么太小取不到等 号,那这是对不等式理解的不够深入,要知道大于等于 是对所有情况成立的所以可以保证最小其次等号条件是 可以实现的所以放缩的不会过小) 。
? d ? PM
min

?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

,当且仅当

x ? x0 y ? y 0 ? A B

(两向

量共线且(B,-A)是直线的方向向量,满足我们最小 的几何垂直关系)时等号成立。 向量方法推导点到直线的距离公式: 证明:由直线 l的 方程: Ax ? By ? C ? 0,( A, B不能同时/鳎河芍: 扔谑迪值乃得方程: Ax ㄆ导礎x n=(A,B),设过线 l )和直线l : 作方程: A

垂 程O值垂 足 为x0 x' ( y ?线 l' ( ? ? A2Ax0 ?时/)

P' 0 x' 线 l'现)

则推 量
x' (
0

PP'
2

nO值即


量 所 以
( ? ( 仅? y? ,都不y' ( B


PPl' ( ) ? ' ( y ? y0 ) ? ' ( ? ? ( ?

又因直线 l' 0 x' 线 l' A 在任意一点#不痪陀 AxAx' ( )2 ' ( 点到直即(较? C A两 y0 B) ? C A两B y0 点到郑现祔? 0 ?2 +Ax )=-( ? C )(不要以危现又因直都,B 不芍: ? ? B A两=

-( ? C )(不要以危?2 +Axx0 x ' ( y ? y0 ) ? ' ( ? ? ( ? ?2 ? ( ? -( ? C )(不要以危?2 +Ax ?2 ? ( ? B PPl' (

即:in



PPl' (y0 ? C A ?B
2 2

( ? ( 仅.

这样处理,既避开了分类讨论现又体现了平面频嫉直构ぞ咝苑ㄍ构造引理毕叩木嗬牍渌频挤:i引理:如图 1,直角三角形 MPN 中现祔MPN ? 9郑现礛P ? a, NP ? b毕叩木 L 的距离
MN赏频悖╥n

1 1 1 ? ? 2. d a b
M a P d b 图1 N

毕 l 方角三角形的面积明:得 Ax1 1 ? MP ? NP ? ? MN ? ( Ax B 都 即 1 ab ? 1醯牟的瞐 ? b ? ( Ax即
x1 a ? b ? ( ab
量不
x1 1 1 ? ? . ( 2 a b的蚕旅婢陀靡肀线 木 L ( y ?线 C 嗬 即l: C ? 0,( A, B不赏频 则::in


? C A ?B
2 2

,当且仅.
M a P O

y

毕 l档盤M ? ( 到郑时易证明:量方. 当PM? ( 到郑时 Ax肴 图 所 示?线过, y L ( y ?线 C 分别作平行于x轴,y轴赏 两 条 直 程, 分别交任意一: C ? 0,( A, B不
对算M (-

dX x b 图的睱 N x

X x

(不要以 C ? C直线l : 、 N(x街,-街) Ax朐蛲X较
x BB
C諱 L ( 0( y街,较 C ? C諲P ? ? C A0 . B, y0嗬 即MNd ,则d钚 :iMP ? NP,?在RTyMPN中现1 1 1 1 1 ? ? = ? 0, 则点2 C ? C纸 d MP NP )和 A0 ) ) ?椭 A0 ) 向
? C A ?B
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?. = 牟换 0 ? C )(不要以
,当
X x

用方程耄数 ? B毕叩木嗬牍渌频挤:i毕 l档盤M ? ( 到郑时易验证明:量方,下证PM ? ( 到郑时推 情形:i过线 l 作方程G赏拼瓜撸埂 氮 HAx ?任意襊H赏票 准数 ? B::都 ? ] ( y( y ?? t ? ? ? ] A 0t2 2问实? ( A B

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,当
将任意襊H赏片问 ? B代入距离
巧推 ? B得 A较
A(( y ?? t ? )+B(( ú灰猼 ? 谑? 点到郑现解之得线 H 痘 B
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