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点到直线距离公式其它推导方法


点 P 到直线 L 的距离
巧推点(线外)到直线距离公式: 已知 点P( x0 , y0 )和直线l : Ax ? By ? C ? 0, 则点到直线的距离 即为点 P 到直线 l 上任意点所连结的线段中的最短线段 (利用距离的最短性结合不等式实现).设 M ? x, y ?为直线 l 上任意一点,点 P 到直线 l 的距离为 d ,则:
( Ax ? Ax0

)2 ( By ? By0 )2 (设 PM ? ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? PM ? ? A2 B2
2 2 2

A 与 B 都不为 0)
( Ax ? Ax0 )2 ( By ? By0 )2 ? ( A ? B ) PM ? ( A ? B )[ ? ] A2 B2 2 ? ( Ax ? Ax0 ? By ? By0 )2 = (? Ax0 ? By0 ? C )(不要以为不等
2 2 2

2

2

式放缩的不够或过大要么不是最小要么太小取不到等 号,那这是对不等式理解的不够深入,要知道大于等于 是对所有情况成立的所以可以保证最小其次等号条件是 可以实现的所以放缩的不会过小) 。
? d ? PM
min

?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

,当且仅当

x ? x0 y ? y 0 ? A B

(两向

量共线且(B,-A)是直线的方向向量,满足我们最小 的几何垂直关系)时等号成立。 向量方法推导点到直线的距离公式: 证明:由直线 l的 方程: Ax ? By ? C ? 0,( A, B不能同时为0) , 可得直线 l的 法向量为 n=(A,B),设过点 P( x0 , y0 ) 作直线 l的

垂 线 , 垂 足 为
( x' ? x0 , y ' ? y0 ) ? ? ( A, B)

P' ( x' , y ', )

则 向 量
x' ?
0

PP' ? ?

n , 即
且 B

, 所 以
A2 ? B 2

x ?? ,

A y' ? ? y?

PP ' ? ( x ' ? x0 ) ? ( y ' ? y0 ) 2 ? ?

又因为点 P' ( x' , y ' ) 在直线 l 上,所以就有:
Ax' ? By ' ? C ? 0,即( A x0 ? ? A) ? B( y0 ? ? B) ? C ? 0 , ?? ( A2 +B2 )=-(Ax0 ? By0 ? C ) ,又因为

A,B 不同时为 0,

?? ? =

-(Ax0 ? By0 ? C ) A2 +B2
( x ' ? x0 ) ? ( y ' ? y0 ) 2 ? ? A2 ? B 2 ? -(Ax0 ? By0 ? C ) A2 +B2 A2 ? B 2

? PP ' ?

即: d ?

PP ' ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

.

这样处理,既避开了分类讨论,又体现了平面向量 的工具性。 构造引理推导点到直线距离公式: 引理:如图 1,直角三角形 MPN 中, ?MPN ? 90 , MP ? a, NP ? b, 则点 P 到直线 MN 的距离 d 满足
1 1 1 ? 2 ? 2. 2 d a b
M a P d b 图1 N

证明: 由直角三角形的面积公式得:
1 1 ? MP ? NP ? ? MN ? d , 2 2

即 1 ab ? 1
2

2

a 2 ? b2 ? d ,即

1 a 2 ? b2 ? d ab

,所以

1 1 1 ? ? . d 2 a 2 b2

下面就用引理证明点 P ? x0 , y0 ?到直线l:Ax ? By ? C ? 0 的距 离为: d ?
Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

.
M a P O

y

证明:当 A ? B ? 0 时易证公式成立. 当 A? B ? 0 时 , 如 图 2 所 示 , 过 点 P ? x0 , y0 ? 分别作平行于x轴,y轴 的 两 条 直 线 , 分别交直线 l:Ax ? By ? C ? 0
于点M (-

dX x b 图2

L N x

X x

By0 ? C Ax ? C , y0 ) 、 N(x 0 ,- 0 ) , 则 X A B x B y? C M P ? 0? x 0 , A Ax ? C NP ? y0 ? 0 . B 点P到直线MN的距离d满足: MP ? NP,?在RT?MPN中, 1 1 1 1 1 ? ? = ? 2 2 2 By ? C 2 Ax ? C 2 d MP NP ( x0 ? 0 ) ( y0 ? 0 ) A B Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2 , d ? . = 所以 2 2 ( Ax0 ? By0 ? C ) 2 A ?B

X x

用直线的参数方程推导点到直线距离公式: 证明:当 A ? B ? 0 时易验证公式成立,下证 A ? B ? 0 时的 情形: 过点 P 作直线 L 的垂线,垂足为 H,则直线 PH 的标 准参数方程为:

A ? ? x ? x0 ? t ? 2 ? A ? B2 (t为参数) ? B ?y ? y ?t ? 0 ? A2 ? B 2 ?

A ?B C 应的参数 t ? ? Ax0 ?2By0 ? 2 A ?B

将直线 PH 的参数方程代入直线 L 的方程得: A B A( ? x0 ? t ? )+B( ? y0 ? t ? ) ? C ? 0 ,解之得点 H 对 2 2 2 2
A ?B

? PH ? ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

? d ? PH ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

.


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