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(北师大版)必修四:1.3《弧度制》ppt课件


§3

弧度制

1.角度制的定义
1 规定周角的 为1度的角,这种用度作单位来度 360

量角的制度叫角度制. 2.弧长公式及扇形面积公式 n?R 2 n?R S? l? 360 180 在角度制下,当把两个角相加、相减时,由于运算进
率非十进制,总给我们带来困难.那么我们能否重新 选择角单位,

使运算与常规的十进制加减法一样去做 呢?

1.理解弧度的意义,熟记特殊角的弧度数.(重点)

2.能熟练地进行弧度与角度的换算.(难点)
3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.(难点)

探究点1 弧度制的有关概念 在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心 角为__________ 1弧度的角 ,它的单位符号是rad,读作弧度.



? 的长为l,若l=r, AB

B l =r
1弧度

则∠AOB=

l

r

= 1弧度.

O

r

A

若l=2r,
则∠AOB=

若l=2π r,

l
r

= 2弧度. 则∠AOB= l= 2 r

l = 2π 弧度. r l=2 π r

B r

2弧度

O

A

2π弧度 O r

A (B)

若圆心角∠AOB表示一个负角,且它所对的弧的 l 长为3r,则∠AOB的弧度数的绝对值是 = 3, r 即∠AOB = l r

= -3弧度.

O

r

A

B

-3弧度
l=3r

思考:通过上面的实例我们能得到什么结论? 提示:圆心角∠AOB的弧度数的绝对值等于它所对 的弧的长与半径长的比.

B'

B O O

l=R
l=r

1弧度

1弧度

r R A

A'

的与 一半 个径 比长 值无 关

正数 ;任一 一般地,任一正角的弧度数都是一个_____ 负数 ;零角的弧度数是__. 0 负角的弧度数都是一个_____

这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫作弧
度制. 总结:不同的角,其弧度数一定不相同.因此可

用角的弧度数来度量角的大小.这种度量方法有
效地把角度单位与长度单位统一起来.弧度制确

立了角的弧度数与实数间的一一对应关系,

正角 零角

正实数 零 负实数

对应角的 弧度数

负角

角的集合

实数集R

探究点2 弧度制与角度制的换算
因为周角的弧度数是2 π ,而 在角度制下它是360°,所以

l=2 π r O r A(B)

360°= 2π rad

180°= π rad

由180°=π rad还可得

把角度换成弧度
1°= —— rad ≈ 0. 017 45 rad. 180
π

把弧度换成角度
1rad =(——)°≈ 57.30°=57°18′.
π 180

例1

把45°化成弧度.

? ? ? 45 rad ? rad. 解: 45°= 180 4 3? 例2 把 rad 化成度. 5 解: 3? rad ? 3 ?180? ? 108?. 5 5

方法:用弧度与角度的相互转化公式求解

练习

提升总结 一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度
0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

弧 0 度

? 6

? 4

? 3

? 2

π

3? 2



对于0°~360°之外的角,我们也不难得到它们的 ? 弧度数.例如,-30°=rad,420°= 360°+60° 6 7 ? = rad. 3

思考:在进行角度制和弧度制的换算时,应注意什么?
提示: (1) 用“弧度”为单位度量角时,“弧度”两

字或“rad”可以不写.
(2)用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成

多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数.
(3)度化为弧度时,应先将分、秒化为度,再化为弧

度.

探究点3

扇形的弧长和面积

设r为圆的半径, l是圆心角α 所对的弧长,在使用 弧度制时,圆心角α 的弧度数通常也用α 来表示, 由弧度的定义可知,角α 的弧度数的绝对值满足:

︱ α︱ =
的积.

l r



l =| α |r

即弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径

例3 如图,利用弧度制证明扇形面积公式 1 2 1 (1)S= ?r . (2)S= lr. 2 2 其中r是半径,l是弧长,?(0 ? ? ? 2?) 为圆心角,

S是扇形的面积.

1.把下列各角化成弧度.
(1)67°30'. (2)120°.(3)75°.

5 π 7 π 5 π 2 π 3 π 3 π (5) . (6). (3) . (2) . (1) . (4) . 解: 8 12 6 3 3 4
2.把下列各弧度化成度.
π (1) 12 .
π. (2) - 4π . (3) - 56 5

(4)135°.(5)300°.(6)-210°.

解: (1)15°. (2)-144°. (3)-150°.

3.已知扇形的周长为8 cm,面积为4 cm2,求该 扇形的圆心角的弧度数.

解:设扇形半径为r,弧长为l,则由 2r ? l ? 8 ?r ? 2, ,解得, ? 1 ?l ? 4. lr ? 4 2
故该扇形的圆心角α的弧度数为
l 4 ? ? ? ? 2. r 2

l

?

r

回顾本节课的收获
1. 角度制与弧度制.
弧度制使角与实数有一一对应关系. 2. 能熟练地进行角度与弧度之间的换算. 3. 弧长公式: l ? ? r ,
S ? lr ? ? r 2 . 扇形面积公式: 1 2 1 2

悲观的人虽生犹死,乐观的人永生不老. ——拜伦


第一章《弧度制》教案_北师大版必修4

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