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专题一《常见递推数列通项公式的求法》


常见递推数列通项公式的求法

类型一:类等差数列, 即an?1 ? an ? f (n) (条件 : f (1) ? f (2) ? ? ? f (n)的和是可求的 )
求数列?a n ? 的通项公式。 a

例1:数列?a n ? 中,a1 ? 2,a n ?1 ? a n ? 2n(n ? 1,2,3?),

/>分析:由已知易得

n ?1

? an ? 2n

a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 2 ? 2, a4 ? a3 ? 2 ? 3,?, an ? an?1 ? 2(n ?1 )
上面各式相加得 an ? a1 ? 2[1 ? 2 ? 3 ? ?? (n ?1)] ? n(n ?1),

方法归纳:累加

故an ? n2 ? n ? 2(n ? 1,2,3,?)

可求和

变式训练:
1.已知数列 ?an ? 中, a1
n

? 2 满足

an?1 ? an ? 2 ? n ,求数列 ?an ? 的通

项公式

2.已知数列 ?an ?中, a1 ? 2 满足
an?1 ? an ? n ? 2 ? n ,求数列 ?an ? 的
n

通项公式

类型二:类等比数列
an?1 若 ? f (n),且f (1) ? f (2) ??? f (n ? 1)的积是可求的, an

列?an ? 的通项公式为

an?1 n ?an ?中,a1 ? 1且满足 ? 例 2: 已知数列 ,则数 an n?2

累乘法求得 a n 该题型方法归纳:

an?1 an n a2 a3 a4 1 2 3 4 n- 1 分析 : ? 得 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? an n ? 2 a1 a2 a3 an?1 3 4 5 6 n ?1

an 1? 2 2 ? ? ? a1 ? 1? an ? a1 n(n ? 1) n(n ? 1)

累乘

列?an ? 的通项公式。

an?1 n ?an ?中,a1 ? 1且满足 ? 例 2: 已知数列 ,求数 an n?2

其他解法探究:
an?1 n ? ? (n ? 2)an?1 ? nan an n?2

? (n ? 1)(n ? 2)an?1 ? n(n ? 1)an

?n(n ? 1)an ?是常数数列 则可构造
2 故有n(n ? 1)a n ? 1 ? 2 ? a1 ? 2, ? a1 ? 1? a n ? n(n ? 1)

类型三:知 S n与an 及n 的关系式,求通项 an

列?a n ? 的前n项和S n 满足S1 ? 1 求?a n ? 的通项公式

例3: (07重庆)各项均正数的数 且6 S n ? (a n ? 1)(a n ? 2), n ? N ,
*

类型三:知 S n与an 及n 的关系式,求通项 an
2 分析:由题意得 6S n ? an ? 3an ? 2



当n ? 1时, 6a1 ? 6S1 ? a12 ? 3a1 ? 2

解得a1 ? 1或a1 ? 2又a1 ? S1 ? 1故a1 ? 2

且有6S n?1 ? a

2 n?1

? 3an?1 ? 2



S n?1 ? S n ? an?1

可找出an?1与an的关系

由②-①整理得

(an?1 ? an )(an?1 ? an ? 3) ? 0又an?1 ? an ? 0 ? an?1 ? an ? 3

故?an ?是首项为 2,公差为 3的等差数列, 故?an ? 的通项为an ? 2 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 1

类型三:知 S n与an 及n 的关系式,求通项 an
方法总结:可考虑用 n ? 1或n ? 1(n ? 2)代替n, 两项的关系式再分析求 解。

得另一式子,与原关系 式两式相减,得出相邻

(有时用an ? S n ? S n?1 (n ? 2)消an 得S n 与S n?1的关系式,先求出 S n,再求an)

变式训练:
1. ( 07 福建 )数列?an ? 的前 n项和 S n , a1 ? 1,
?

2 S n ? an ?1 (n ? N ),求数列 ?an ? 的通项公式

解: 2S n?1 ? an?2 , 两式相减整理得 an?2 a2 ?3 而 ? 2 ? 3, a1 a n ?1
?1(n ? 1) 故an ? ? n?2 ?2 ? 3 (n ? 2)

? an ? 2 ? 3

n ?2

类型四:待定系数法(构造法)求递推数列的通项:
(一)若数列相邻两项 an?1与an满足 an?1 ? qan ? d
则可考虑待定系数法设

an?1 ? x ? q?an ? x ? (其中 x为待定系数,
{an ? x}
是首项为

(q, d为常数)
a1 ? x

满足x ? qx ? d )

构造新的辅助数列

an ? x ,再进一步求通项 an 例4:数列?a n ? 的前n项和为S n 满足S n ? a n ? 2n ? 1(n ? N ? ),
公比为q的等比数列,求出

1 1 故数列?a n ? 2?是首项为 a1 ? 2 ? ? ,公比为 的等比数列 2 2 n ?1

求数列?a n ? 的通项公式 3 解析:由 S n ? an ? 2n ? 1 ? a1 ? , 且S n ?1 ? an ?1 ? 2n ? 3, 2 1 1 两式相减整理得 an ?1 ? an ? 1 ? a n ?1 ? 2 ? ( a n ? 2) 2 2

1 ?1? 故an ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2?

1 ? an ? 2 ? n 2

变式探究一: 例 数列 ?an ? 满足 a
5

n?1 ? ? 2 , 且 a ? 2 a ? 2 ( n ? N ) 1 n?1 n

求其通项 an

解 :由an?1 ? 2an ? 2 (n ? N )得 : an ?1 an an ?1 an ? ? 1 ? ? ? 1 n ?1 n n ?1 n 2 2 2 2

n?1

?

an n ? a ? n ? 2 ? 1 ? ( n ? 1 ) ? 1 ? n n n 2

变式探究二:
例 6

数列?a n ? 的a1 ? 2, a n ?1 ? 4a n ? 2
?

n ?1

?an ?的通项公式 (n ? N ),求数列

其他解法探究: 数列?a n ? 的a1 ? 2, a n ?1 ? 4a n ? 2 n?1 ?an ?的通项公式 (n ? N ? ),求数列
? an?1 ? 4an ? 2
n?1

同除以4n?1,转化 为什么类型呢?

an ?1 an 1 可化为 n ?1 ? n ? n ?1 4 4 2

a n ?1 a n 1 ? n ?1 ? n ? n 4 4 2 几个式子? a n a n ?1 a 2 a1 1 a3 a 2 1 1 ? ? 2 , 3 ? 2 ? 3 ,? n ? n ?1 ? n 2 4 2 4 4 4 2 4 4 2
上面各式相加可得

a n a1 1 1 1 ? ? 2 ? 3 ??? n n 4 2 4 2 2

an 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 3 ??? n ? 1? n n 2 2 4 2 2 2

? an ? 4 ? 2
n

n

数列?a n ? 的a1 ? 2, a n ?1 ? 4a n ? 2 n?1
? an?1 ? 4an ? 2
n?1

?an ?的通项公式 (n ? N ? ),求数列
2 n?1 不是常数,不能 直接应用。怎么办?
同除以2 n ?1, 构造新数列

an ?1 an 可化为 n ?1 ? 2 ? n ? 1 2 2

a n?1 ? an ? ? n?1 ? 1 ? 2? n ? 1? 2 ?2 ? a1 ? an ? 故数列? 2 ? 1?是首项为 ? 1 ? 2,公比为2 的等比数列 2 ?2 ?

? a ? a n ?1 a n 新数列? n , n ?1 、 n 是其 n ? 2 ?2 ? 2 相邻两项, 1 与 2都是常数

an n ?1 n n n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? an ? 4 ? 2 n 2

探究归纳,总结提升:
递 推 式 如 an?1 ? qan ? d ? b n?1 (n ? N ? , bdq ? 0, b, d , q为常数) 型的通项的求法: (1)若 b ?
a1 a n ?1 a n q ,则可化为 n ?1 ? n ? d ,从而化为以 b b b

为首项,公差为 d 的等差数列,通项可求.
a n ?1 q a n (2) 若 b ? q , 则 可 化 为 n ?1 ? b ? n ? d , 进 而 转 化 为 型 如 b b

bn?1 ? qbn ? d 的数列,从而运用构造法可求通项.
a n ?1 qan ?d ? ?q? ? (3) 若 b ? q ,则可化为 , q n?1 ? q n?1 ? d ? ? ?
n ?1 b ? b ? q n 型如 n ?1 的数列 ,从而通项可求 .
n ?1

, 进而转化为

an?1 ? qan ? An+B, ( A、B、q为常数) 类型五:
若数列相邻两项满足 a n ?1 ? qan ? An+B ( A、 然后展开对比系数确定 A、B、q,构造得等比数

B、q为常数)设a n ?1 ? (n ? 1) x ? z ? q (a n ? n ? x ? z ), 列?a n ? x ? n ? z? ? a n ? x ? n ? z ? a n

探究归纳:

例 7

求数列?a n ? 的通项公式。

(06山东)在数列?a n ? 中,a1 ? 2, a n ?1 ? 2a n ? n, (n ? N ? )

分析: ? an?1 ? 2an ? n ,
可设an?1 ? (n ? 1) x ? z ? 2(an ? n ? x ? z)

展开后对比系数可得 x ? ?1, z ? 1

则an?1+(n ? 1)+ 1 ? 2(an+n+ 1)
故?an ? n ? 1?是首项为a1 ? 1 ? 1 ? 4,公比为2 的等比数列

an ? n ? 1 ? 4 ? 2

n?1

? an ? 2

n?1

? n ?1

其他解法探究:

例 7

求数列?a n ? 的通项公式。 ? an?1 ? 2an ? n , 等式两边同除以2 n?1 可得 : 方法二:
a n ?1 2a n n a n ?1 a n n ? ? ? n ? n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2

(06山东)在数列?a n ? 中,a1 ? 2, a n ?1 ? 2a n ? n, (n ? N ? )

累加

an n ?1 ? n ? 2 ? n ? an ? 2 n?1 ? n ? 1 2 2

n ? 1 an 1 1 1 1 n ?1 1 n ?1 S ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n+1 ? ? n ?1 ? S ? 1 ? n ? n ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 n ? 2 n ?1 S ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n+1 ② 2 2 2 2 2

an an ?1 n ? 1 a2 a1 1 a3 a2 2 ? ? 2 , 3 ? 2 ? 3 ,?, n ? n ?1 ? n , 各式相加可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 n ?1 ① a n a1 1 2 n ?1 令S ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? 2 ? 3 ??? n n 2 2 2 2 2 2 2 2

由①-②得

变式训练:答案an ? 6 ? 4 数列 ?an ?满足 a ? 2, 且a ? 4a
1 n?1

n?1

? (n ? 1) ? 2
n?1 ?

n

n

? n ? 2 (n ? N )
n?1

求其通项 an
an ?1 n ?1 4

略解:由an?1 ? 4an ? n ? 2 得 : an an ?1 an n n ? n ? n ?1 ? n ?1 ? n ? n ?1 4 2 4 4 2

a 2 a1 1 错位相减求和法 ? ? 2, 2 4 2 4 a3 a 2 2 an a1 1 2 n ?1 ? ? , 各式相加得 ? ? 2 ? 3 ??? n n 43 4 2 23 4 2 2 2 2 ?, 1 2 n ?1 a n a n ?1 n ? 1 令S ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? n , n 4 4 2 2 2 2

pan 类型六:an?1 ? qa ? r ( p, q, r均不为零) n

求法 : 倒数法, 若p ? r , 则化为等差数列求 通项; 若p ? r , 则构造法求通项 .
S n ?1 , 例7 已知数列{a n }中, a1 ? 1, S n ? 2 S n ?1 ? 1 求{an }的通项公式.

?an ?满足a1 ? 1,且an?1 ? 2an ? n 2 ? n ? 1, 例8: 已知数列
求?a n ? 的通项公式探究归纳:该类型可转化为特殊数列: 方法:设 an?1 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? q(an ? xn2 ? yn ? z)
分析:设 an?1 ? x(n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z)

类型七:an?1 ? qan ? An

2

? Bn ? C呢?

展开整理可得 an?1 ? 2an ? xn2 ? (2x ? y)n ? x ? y ? z 2 与an?1 ? 2an ? n ? n ? 1对比系数可得:
?? x ? 1 ? x ? ?1 ? ? 2 x ? y ? ?1 ? ? ? y ? ?1 ?x ? y ? z ? 1 ? ? 3 ?z ? 2

故有an?1 ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 3 ? 2(an ? n 2 ? n ? 3)

由等比数列通项公式可 得an ? n2 ? n ? 3=6 ? 2n?1 ? 3 ? 2n

故知 {an ? n 2 ? n ? 3}是首项为 a1 ? 6,公比为2 的等比数列

? an=3 ? 2 ? n ? n ? 3
n 2

其它类型 类型八: 求法:按题中指明方向求解. 例8 设数列{a n }满足a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ?
1 (a n ?1 ? 2a n ? 2 )(n ? 3,4, ?) 3 (1)求证 : 数列{a n ?1 ? a n }是等比数列; ( 2)求数列{a n }的通项公式a n .

(选讲)变式探究:
若已知数列相邻三项的递推关系式,又 如何求其通项公式呢? 可化为an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 0 例:已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N ? ) 求数列 ?an ? 的通项公式。 1与2是方程t ? 3t ? 2 ? 0的两根
2

设an?2 ? xan?1 ? y(an?1 ? xan ) ? an?2 ? ( x ? y)an?1 ? xyan
?x ? y ? 3 ?x ? 2 ?x ? 1 与an?2 ? 3an?1 ? 2an对比系数得? ?? 或? ? xy ? 2 ?y ?1 ?y ? 2 即由an?2 ? 3an?1 ? 2an 可得an?2 ? 2an?1 ? an?1 ? 2an

? an?1 ? 2an ? a2 ? 2a1 ? 1

故{an?1 ? 2an }是 常数数列

(即取x ? 2,y ? 1 )

? an?1 ? 2an ? 1

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ?an ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? an ? 2n ?1

(三)若数列相邻三项的关系满足 an?2 ? Ban?1 ? Can ? 0
且方程t 2 ? Bt ? C ? 0有解 , 若设解为x与y, 则有x ? y ? ? B, x ? y ? C
则可得

探究归纳:

an?2 ? xan?1 ? y(an?1 ? xan )

?an?1 ? xan ?,

则可构造以y 为公比的辅助等比数列 若a2 ? xa1 ? 0且y ? 0,
转化为相邻两项的类型再分析求解

设an?2 ? xan?1 ? y(an?1 ? xan ) ? an?2 ? ( x ? y)an?1 ? xyan ? 0

问题:知道连续三项满足这样的递推关系的 数列的通项,在什么条件下,你才会求其通 项公式呢?
与an? 2 ?x ? y ? ?B ? Ban?1 ? Ca n ? 0对比系数得? 有解 ? xy ? C
2

即方程t ? Bt ? C ? 0有解


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