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利用阿波罗尼斯圆解竞赛题

时间:2011-10-20


2010 年第 2 期

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利用阿波罗尼斯圆解竞赛题
黄全福
( 安徽省怀宁县江镇中学 , 241642) 中图分类号 : O 123 . 1 文献标识码 : A 文章编号: 1005 - 6416( 2010) 02 - 0005- 04

(本讲适合高中 ) 1 关于阿波罗尼斯圆 AB 为 平

面内 的定长 线段 , C 为一 个动 点 , 满足 CA a = (a CB b b ), 则点 C 的轨迹是一 a 内分 AB b

( 1) 阿氏圆的性质与阿波罗尼斯轨迹定 理是一组互逆命题. ( 2) 要牢记阿波罗尼斯轨迹定理的两大 特征: ( i) 线段成比例, 即 AM AN = ; MB NB CN.

个圆. 这个圆直径的两端是按定比 和外分 AB 所得的两个分点 . 如图 1 ,M 为 AB 的 内 分 点 , N 为 AB 的 AM 外分点 . 若 MB = AN a = (a NB b
图 1

( ii) 两直线互相垂直, 即 CM

只要已知条件具备上述两个特征, 阿波 罗尼斯轨迹定理立刻就有了用武之地. 2 例题选讲 2. 1 解有关角的问题 利用阿氏圆解有关角的问题 , 应该说是 用得最多的一种情况 .

b ), 则以 MN 为直径的

O就

例 1 设凸四边形 ABCD 的两组对边所 在直线分别交于点 E、 F, 两条对角线交于点 P, 过 P 作 PO BOC = 讲解 EF 于点 O. 求证: AOD.

是动点 C 的轨迹 . 这是著名的阿 波罗尼斯 ( Apo llon iu s) 轨 迹定理 . 以 MN 为直径的 斯圆, 简称阿氏圆 . 阿氏圆有如下性质: 在线段 AB 关于定比 a (a b b ) 的阿氏圆 O 叫做阿波罗尼

( 2002 , 中国国家集训队选拔赛 ) 分两种情况讨论. EF 时 , 这个问题比较易于 EF 时, 不妨设 DB 与 FE 交 ( 1) 当 BD ( 2) 当 BD 于点 Q (如图 2 ). 延 长 AC 交 EF 于 点 K, 令 = , BAD BCD
图 2

处理, 此处不赘述.

上任意一点, 到 A、 B 两点距离的比都等于定 比 a CA a . 若点 C 在阿氏圆上 , 则 = . b CB b 此时 , 必有 CM 平 分 ACB 的外角 (证明略 ). 顺便指出:
收稿日期 : 2009- 03- 02 修回日期 : 2009- 11- 16

ACB、 CN 平 分

= . 易证

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中 等 数 学

AP S ! ABD AB?AD sin = = , PC S ! CBD CB?CD sin AK S ! AEF AE?AF sin = = CK S ! CEF CE? CF sin .

# = ? 故 又 =

PAB = 1 2

BAM -

PAM 1 2 BAC - . BAC + . PAM 1 2 1 2 BAC + ,

BAC PAB + PAC =

PNM = PCB = MAC + PNM = 1 2

视 ! BEQ、! DFQ、! DEQ、 ! BFQ 分 别 被直线 ADF、 ABE、 BCF、 DCE 所截, 分别应用 梅涅劳斯定理得 BA EF QD DA FE QB ? ? = 1 , ? ? = 1 , AE FQ DB AF EQ BD DC EF QB BC FE QD ? ? = 1 , ? ? = 1 . CE FQ BD CF EQ DB 由以上四式知 BA?DA DC? BC = ,即 AE? AF CE? CF % AP AK = . PC CK

1 2

BAC + - ,

PBC = 从而, 故 易证 故

PAC + PAB + APC APC -

PBC =

BAC + . PBC. PCB, ACB. PBC.

PCB = ABC = ABC = ACB =

PAC + PAB + APB PAC +

AB?AD = AE?AF . CB?CD CE?CF 比较式 # 、 ?、 % 立得 再注意到 PO 定理可得 同理, 从而, 别为 径作 证: APC 讲解 PN. 易 知 BC 的阿氏圆 . 注意到点 P 在阿氏圆上, 由 阿氏圆 的性 质得 BN PB = . NC PC 从而, PN 必平分 记 易得 CPN = PCB = BPC 的外角
图 3

APB -

2. 2 解关于线段的问题 利用阿氏圆可解决关于线段的问题 ( 如 线段的积、 线段的比等 ). 例 3 给定锐角 ! PBC, PB O 作 OE AB, OF PC. 设 A、 D 分别是 PB、 PC 上的点, AC 交 BD 于点 O. 过 CD, E、 F 分别为垂足 , 线段 BC、 AD 的中点为 M 、 N. ( 1) 若 A、 B、 C、 D 四点共圆 , 求证 : EM? FN = EN?FM; ( 2) 若 EM ?FN = EN? FM, 是否一定有 A、 B、 C、 D 四点共圆 ? 证明你的结论. ( 2009 , 中国数学奥林匹克 ) 讲解 此题第 ( 1 ) 问实际上是 2003 年 德国的数学竞赛题. 原题是 : 求证: EF 的中垂线同时 平分 BC 与 AD 两边, 即 ME = MF, NE = NF. 这自然得到了 ME?NF = MF?NE. 第 ( 2 ) 问的结论是: A、 B、 C、 D 不一定四 点共圆 . 事实上 , 当 AD CPX. BC ( 易证 A、 B、 C、 D四 BC 时 , 易知 M 、 O、 N 三点 点不共圆 ) 时, 也能得到 ME?NF = MF?NE. 证明 共线. 当 AD

EF, 由阿波罗尼斯轨迹 POA. POD. AOD.

POC = POB = BOC =

例 2 在 ! ABC 中 , AB > AC, AM 、 AN 分 BAC 及其外角的平分线, 以 MN 为直 O, 点 P 在 ! ABC 内部且在 ABC = O APB O 上. 求 ACB.

如图 3 , 延长 BP 到 点 X, 联 结

是关于 线段

XPN = , + ,

PNB = .

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如图 4 , 联结 PM 、 PN. 由于 AD BC, 则 ! PBC ! PAD. 故 PB BC BM = = . PA AD AN 又
PBM = ! PBM BPM = PAN ! PAN APN
图 4

KE BE DE = = GF CF DF ! KED 由 BED = KED = 故只须证 由图 5 易知 KDE = ( 90?GDF = ( 90?因为 AN 平分 外角, 所以 , KN AK KM = = . NG AG MG BDE ) + CDF ) + KAG, AM 平分 KDN, GDN. KAG 的 ! GFD. CFD, 得 GFD. KDE = GDF. # 于是, 只要证式 # 成立即可 .

=

BPN.

因此, P、 N、 M 三点共线 . 此时, 必有 P、 N、 O、 M 四点共线 . 又 因 为 AD ! PBC OM BC PM = = . ON AD PN 再注意到 OE PB, OF PC, 从而, 点 E、 F 都在线段 MN 的阿氏圆上. 由阿氏圆的 性质得 ME OM MF = = . NE ON NF 因此, ME?NF = MF?NE. 例 4 DN 满足 EE & 在 ! ABC 中, AB = AC, AM 是 高, AM, 过 BC 上一点 D 作 CDF. 求证: MN 平分 EF. BC, 点 过点 A 作直线 l BDE = FF & BC, ! OBC ! ODA,

! PAD, 所以,

再注意到 ND 段 KG 的阿氏圆上.

BC, 从而 , 点 D 必在线

DK KN 由阿氏圆的性质知 = . DG NG 故 DN 平分 KDG, 即 KDN = GDN.

3 确定点的几何位置 例 5 设点 A、 B、 C、 D 依次在同一条直 线上, AB = 6, BC = 3 , CD = 2 . 已知点 P 在直 线 AD 外, 满足 讲解 APB = BPC = CPD. 试 确定点 P 的几何位置. 如图 6 , 先作线 段 AC 关 于 6 (3
1

l于点 N, 点 E、 F 分别在边 AB、 AC 上, 讲解 如图 5 ,作

E& 、 F& 都在 MN 上. 设 EF 交 MN 于 点 O, 延长 MN 交 BA 于点 K, MK 交 AC 于 点 G, 联结 DG、 DK. 注意到 BM = MC, ! BDE ! CDF BE DE = . CF DF 故 MN 平分 EF OE = OF EE &= FF & EE & FF & KE GF KE GF = = = BM MC KB GC BE CF
图 5

( 或 2 (1 ) 的阿 氏圆 3 (2 的阿氏圆
2

, 再作 线段 BD 关于

.

图 6

于是, 圆

1

、 2 的交点 P 即为所求.

由对称性易知, 点 P 的几何位置有两种 情况, 即 P 关于 AD 的对称点 P & 也 符合要求 .

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中 等 数 学

例 6 如图 7 ,已 知 ABCD 和 A & B& C& D& 是某个国家的同一地 区按不同比例尺绘制 的地图 . 将它们重 叠起 来 . 试证明: 在小地图上只有这样的点 O, 它 和下面的大地图上 与之正对着的点 O & 都代 表这个国家的同一地点 . 试用欧几里德作图 法 ( 只用直尺、 圆规 )确定点 O 位置. (第七届美国数学竞赛 ) 讲解 为方便计, 试题所给的图形 ABCD、 A& B& C& D& 都是正方形 , 两个正方形的字母排 列都是逆时针的 . 应强调的是 , 此题的实质是在小正方形 A& B& C& D& 内求 一点 O, 使 其满 足 ! OA & B& ! OAB, 进而得到 ! OB & C & ! OBC, ! OC & D& ! OCD, ! OD & A & ! ODA. ( 1 )当 A & B & AB, B & C & BC, C & D & CD, D& A & DA ( 图 7 ) 时, 显然两个正方形是位似 形 , 它们的位似中心就是所求的点 O. ( 2 )当 A & B & AB (如图 8)时, 令 AB = a, A& B &= a & . 易知 a a & . 先作 线 段 AA & 关 于 a (a & 的阿氏圆 1, 再 作 线 段 BB &关 于 a( a& 的阿氏圆 2. 图 8 于 是, 圆 1、 2 在小正方形 A & B& C& D& 内的交点 , 就是所求的 点 O. 由阿氏圆的性质得 OA & a & OB & = = . OA a OB 故 ! OA & B & ! OAB. 由此可证 ! OB & C & ! OBC, ! OC & D& ! OCD, ! OD & A & ! ODA. 至于所 求的 点 O 是否 在形 内, 是否 唯 一 , 文 [ 1] 已回答得清楚明白 , 这里不赘述 .
图 7

练习题
1. 在凸四边形 ABCD 中 , AC BD, 垂足 为 K, 延长 AB、 DC 交于点 E, 延长 BC、 AD 交 于点 F. 求证 : BKE = DKF. 提示: 若 BD EF, 延长 BD、 EF 交于点 Y, 延长 AC 交 EF 于点 X. 由塞瓦定理和梅涅 EX EY 劳斯定理易得 = . 注 意 AC BD, 即 XF YF KX K Y, 此时, 以 X Y 为直径的圆是线段 EF KE EX 的阿氏圆. 故 = EKX = FKX. KF XF 2. 在 ! ABC 中, AB = 4, CA ( CB = 5 (3. 试 求 (S ! ABC ) m ax. 提示: 作出 AB 关于 5(3 的阿氏圆 O, 在 O 上找出离 AB 最远的点, 即点 C. 易知 O 直径 MN = 7 5 . 过 O 作半径 OC MN. 则 OC = 3 75 . 故 ( S! ABC ) m ax = 7 5 . 3. O 1、 O 2 不等且外离 . 现有一点 P, 它对于 O 1 所张的视角与对于 O 2 所张的 视角相等. 试确定点 P 的几何位置 . 提示: 作 O 1、 O 2 的内、 外公切线分别 交连心线 O 1O 2 于点 A、 B. 以线段 AB 为直径 的圆 , 就是线段 O 1O 2 关于 r1 (r2 ( r1、 r2 分别 为 O 1、 O 2 的半径, r1 r 2 ) 的阿氏圆. 该圆 上的任意一点都符合要求 , 即点 P 位置存在 无数种情况 . 4. 过 O 外的一点 P 作 PA 切 O 于点 A, PO 交 O 于点 M 、 N, AB MN 于点 B, 点 PE PF E、 F 都在 O 上. 求证: = . BE BF 提示: 联结 AM、 AN. 易证 AM 平分 PAB, AN 平分 PAB 的外角 . 故 PM = PA = PN , 可 MB AB NB 知 O 是线段 PB 的阿氏圆 . 因为点 E、 F 都在 O 上, 所以, PE PM PF = = . BE M B BF 5. 在凸四边形 ABCD 中 , AC 交 BD 于点 O, M 、 N 分别为 AB、 DC 的中点 , 且 M、 O、 N三 点共线 . 作 OE AD 于点 E, OF BC 于点 F. 求证: ME?NF = MF?NE. 提示: 易知 S! ODN = S! OCN , S ! OBM = S! OAM . OD?ON OC? ON OD OC 则 = = OB?OM OA? OM OB OA

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命题与解题

巧用配积法推广一类初中数学竞赛题

中图分类号 : O 122


文献标识码 : A





( 华南师范大学数学科学学院 2007 级研究生, 510631 )

(华南师范大学数学科学学院 , 510631)

文章编号 : 1005 - 6416( 2010) 02 - 0009- 03

1 问题原解 题 1 已知实数 a、 b 0 ,令 a b ab x= + + . |a | | b | | ab | [ 1] 则 x 的最大值与最小值的和是 . (第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初 一复赛 ) 题 2 已知 a、 b、 c 是非零实数, 且
M= a b c ab bc ca abc + + + + + + . |a | |b | | c | | ab | | bc | |ca | |abc |
[ 2]

求 M 的值 . [ 1] 题 1 原解 按 a、 b 中负数的个数, 可 分三种情况 : ( 1 ) a、 b 均正 , 则 x = 3 ; ( 2 ) a、 b 一正一负 , 则 x = - 1 ; ( 3 ) a、 b 均负 , 则 x = - 1 . 综上, x 的最大值为 3 , 最小值为 - 1 . 故所求为 2 .
收稿日期 : 2009- 05- 22

题 2原解 考虑到 M 中 a、 b、 c的 )地 ab bc ca 位平等 ?知 , + + 的值取决于两 | ab | | bc | | ca | abc 个数积的符号, 的值取决于三个数积的 |abc | 符号. 故可按 a、 b、 c 中正数的个数分类: ( 1) 当 a 、 b、 c 均为正数时, M = 7 . ( 2) 当 a、 b、 c中有两个正数、 一个负数时, a b c + + = 1 , |a | |b | |c | ab bc ca abc + + = - 1, = - 1 . | ab | | bc | | ca | | abc | 从而, M = - 1 . ( 3) 当 a、 b、 c中有一个正数、 两个负数时, b c a + + = - 1 , |a | |b | |c | ab bc ca abc + + = - 1, = 1 . | ab | | bc | | ca | | abc | 从而, M = - 1 .
[ 2]

( 4) 当 a 、 b、 c 全为负数时, M = - 1. 综上, M 的值为 - 1 或 7 .

! OCD

! OAB

DC

AB.

( 1 ) 若 DC = AB, 易得 ME = MF = NF = NE. ( 2 ) 若 DC AB, 则四 边形 ABCD 为 梯 形 . 不妨设 DC < AB. 延长 AD、 BC 得交点 P, 则 P、 N、 O、 M 四点共线 . 易知 MO OM AB AB = = = ON ON CD DC

PA PM MP = = . PD PN PN 从而, 以 OP 为直径的圆是 线段 MN 的 阿氏圆 . 再注意到 OE AP, OF BP, 易得 ME?NF = M F?NE. =
参考文 献 :
[ 1] 黄全福 . 从一道国际数学竞赛 题谈起 [ J] . 数 学教学 , 1984( 4 ) .