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解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型


解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论:常用的八种方法
1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法(点参数、K 参数、角参数) 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法

七种常规题型
(1)中点弦问题 (2)焦点三角形问题 (3)直线与圆锥曲线位置关系问题 (4)圆锥曲线的有关

最值(范围)问题 (5)求曲线的方程问题 1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 (6) 存在两点关于直线对称问题 (7)两线段垂直问题

常用的八种方法
1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。

(2)双曲线有两种定义。第一定义中, r1 ? r2 ? 2a ,当 r1>r2 时,注意 r2 的最小值为 c-a:第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用 定义解决更直接简明。 半径与“点到准

2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化 为方程组关系问题, 最终转化为一元二次方程问题, 故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线 问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不 要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解 决,这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问 题,常用“点差法” ,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、 B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不 求”法,具体有: (1)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 a2 b2

x0 y 0 ? k ? 0 。(其中 K 是直线 AB 的斜率) a2 b2
(2)

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有 a2 b2

x0 y 0 ? k ? 0 (其中 K 是直线 AB 的斜率) a2 b2
(3) 2=2px p>0) y ( 与直线 l 相交于 A、 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p. B (其中 K 是直线 AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式: 一般地, 求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是: 把直线方程 y ? kx ? b 代入圆锥曲线方程中,得到型如 ax ? bx ? c ? 0 的方程,方程的两根设为 x A , x B ,判别
2

式为△,则 | AB| ? 1 ? k 2 ?| x A ? x B | ? 方等运算过程。 5、数形结合法

△ ,若直接用结论,能减少配方、开 1 ? k 2? |a|

解析几何是代数与几何的一种统一, 常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来

考虑问题, 在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性, 尤其是将某些代数 式子利用其结构特征,想象为某些图形的几何意义而构图,用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y” ,令 2x+y=b,则 b 表示斜率为-2 的直线在 y 轴上的截距;如“x +y ”,令
2 2

x 2 ? y 2 ? d ,则 d 表示点 P(x,y)到原点的距离;又如“
表示点 P(x、y)与点 A(-2,3)这两点连线的斜率?? 6、参数法

y?3 y?3 ” ,令 =k,则 k x?2 x?2

(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”,以此点为参数,依次求出其他 ) 相关量,再列式求解。如 x 轴上一动点 P,常设 P(t,0) ;直线 x-2y+1=0 上一动点 P。 除设 P(x1,y1)外,也可直接设 P(2y1-1,y1) (2)斜率为参数 当直线过某一定点 P(x0,y0)时,常设此直线为 y-y0=k(x-x0),即以 k 为参数,再按命题 要求依次列式求解等。 (3)角参数 当研究有关转动的问题时,常设某一个角为参数,尤其是圆与椭圆上的动点问题。 7、代入法中的顺序 这里所讲的“代入法” ,主要是指条件的不同顺序的代入方法,如对于命题: “已知条件 P1,P2 求(或求证)目标 Q” ,方法 1 是将条件 P1 代入条件 P2,方法 2 可将条件 P2 代入条件 P1, 方法 3 可将目标 Q 以待定的形式进行假设,代入 P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会 影响解题的难易程度,因此要学会分析,选择简易的代入法。 八、充分利用曲线系方程法

一、定义法【典型例题】 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐 标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标 为 。 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现,
H A Q P F B

当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。

(2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时,距离和最 小。 解: (2, 2 ) (1) 连 PF,当 A、P、F 三点共线时, AP ? PH ? AP ? PF 最小,此时 AF 的方程为

y?

1 4 2 ?0 ( 另一交点为( ,? 2 ), ( x ? 1) 即 y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 ), 注: 2 3 ?1

它为直线 AF 与抛物线的另一交点,舍去) (2) (

1 ,1 ) 4

过 Q 作 QR⊥l 交于 R,当 B、Q、R 三点共线时, BQ ? QF ? BQ ? QR 最小,此时 Q 点的纵坐标为 1,代入 y2=4x 得 x=

1 1 ,∴Q( ,1 ) 4 4

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细 体会。 例 2、F 是椭圆 上一动点。 (1) PA ? PF 的最小值为 (2) PA ? 2 PF 的最小值为 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 PF ? 或准线作出来考虑问题。 解: (1)4- 5 设另一焦点为 F ? ,则 F ? (-1,0)连 A F ? ,P F ?
F 0 ′

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆 4 3

y A F P H x

PA ? PF ? PA ? 2a ? PF ? ? 2a ? ( PF ? ? PA ) ? 2a ? AF ? ? 4 ? 5
当 P 是 F ? A 的延长线与椭圆的交点时, PA ? PF 取得最小值为 4- 5 。 (2)作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e= ∴ PF ?

1 , 2

1 PH ,即2 PF ? PH 2

∴ PA ? 2 PF ? PA ? PH

当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为

a2 ? xA ? 4 ?1 ? 3 c

例 3、 动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的 轨迹方程。 分析:作图时,要注意相切时的“图形特征” :两个圆心与切点这三点共线(如 图中的 A、M、C 共线,B、D、M 共线) 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半 径” (如图中的 MC ? MD ) 。 解:如图, MC ? MD , ∴ AC ? MA ? MB ? DB即6 ? MA ? MB ? 2 ∴ MA ? MB ? 8 (*)

y M D C 5 x

A

0B

∴点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为

x2 y2 ? ?1 16 15

点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式
2 2 求解,即列出 ( x ? 1) ? y ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,再移项,平方,?相当于将椭圆标准

方程推导了一遍,较繁琐! 例 4、△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=

3 sinA,求点 A 的轨迹方程。 5

分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) , 可转化为边长的关系。

3 sinA 5 3 ∴ AB ? AC ? BC 5
解:sinC-sinB= 即 AB ? AC ? 6

2RsinC-2RsinB=

3 ?2RsinA 5

(*)

∴点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4 所求轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 (x>3) 9 16

点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)

例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴 的最短距离。 分析: (1) 可直接利用抛物线设点, 如设 A(x1,x12), 2, 22), B(x X 又设 AB 中点为 M(x0y0) 用弦长公式及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。 (2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法。 解法一:设 A(x1,x12),B(x2,x22),AB 中点 M(x0,y0)
2 ?( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x12 ? x 2 ) 2 ? 9 ① ? ② 则 ?x ? x ? 2x 1 2 0 ③ ? 2 2 ? x1 ? x 2 ? 2 y 0

由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 即[(x1+x2)2-4x1x2]?[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]?[1+(2x0)2]=9

∴ 4 y 0 ? 4 x0 ?
2

9 , 2 1 ? 4 x0

2 4 y 0 ? 4 x0 ?

9 9 2 ? (4 x0 ? 1) ? 2 ?1 2 4 x0 4 x0 ? 1
y0 ? 5 4

≥ 2 9 ? 1 ? 5,

当 4x02+1=3 即 x 0 ? ?

5 2 2 5 , ) 时, ( y 0 ) min ? 此时 M (? 4 2 2 4
y M A A1 A2 0 M1 M2 B1 B2 x B

法二:如图, 2 MM 2 ? AA2 ? BB2 ? AF ? BF ? AB ? 3

∴ MM 2 ?

3 1 3 , 即 MM 1 ? ? , 2 4 2 5 , 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。 4
5 4

∴ MM 1 ?

∴M 到 x 轴的最短距离为

点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 x1,x2,从而形成 y0 关于 x0 的函数, 这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点 M 到 x 轴 的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为 A、B 到准线的距离和,结合 定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性, 简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的 坐标也不能直接得出。 二、韦达定理法【典型例题】

例 6、 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(2 ? m ? 5) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线 m m ?1

从左到右依次交于 A、B、C、D、设 f(m)= AB ? CD ,(1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值。

分析:此题初看很复杂,对 f(m)的结构不知如何运算,因 A、B 来源于“不同系统” , A 在准线上,B 在椭圆上,同样 C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段 “投影”到 x 轴上,立即可得防

f (m) ? ( x B ? x A ) 2 ? ( x D ? xC ) 2 ? 2 ( x B ? x A ) ? ( x D ? X C )

? 2 ( x B ? xC ) ? ( x A ? x D ) ? 2 ( xB ? X C )
A
此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。

y C F1 0 F2

D

B

x

解: (1)椭圆

x2 y2 ? ? 1 中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点 F1(-1,0) m m ?1

则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-

2m (2 ? m ? 5) 2m ? 1

f (m) ? AB ? CD ? 2 ( x B ? x A ) ? ( x D ? xC ) ? 2 ( x1 ? x2 ) ? ( x A ? xC ) ? 2 x1 ? x2 ? 2 ?
(2) f (m) ?

2m 2m ? 1

2

2m ? 1 ? 1 1 ? 2 (1 ? ) 2m ? 1 2m ? 1

∴当 m=5 时, f (m) min ?

10 2 9

当 m=2 时, f (m) max ?

4 2 3

点评:此题因最终需求 xB ? xC ,而 BC 斜率已知为 1,故可也用“点差法”设 BC 中 点为 M(x0,y0),通过将 B、C 坐标代入作差,得

x0 y ? 0 ? k ? 0 ,将 y0=x0+1,k=1 代入得 m m ?1

x0 x0 ? 1 m 2m ? ? 0 ,∴ x0 ? ? ,可见 x B ? xC ? ? 2m ? 1 m m ?1 2m ? 1
当然,解本题的关键在于对 f ( m) ? AB ? CD 的认识,通过线段在 x 轴的“投影” 发现 f (m) ? xB ? xC 是解此题的要点。 三、点差法 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是: 联立直线和圆锥曲线的方程, 借助于一元二次 方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,将这两点代入

圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子,可以大大 减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。 1.以定点为中点的弦所在直线的方程 例 1、过椭圆 的方程。 解:设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,求这条弦所在直线 16 4

? M (2,1) 为 AB 的中点

? x1 ? x2 ? 4
2 2

y1 ? y2 ? 2
2 2

? 又 A 、 B 两点在椭圆上,则 x1 ? 4 y1 ? 16, x2 ? 4 y2 ? 16
两式相减得 ( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0
2 2 2 2

于是 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

?

y1 ? y2 x ?x 4 1 ?? 1 2 ?? ?? x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 4? 2 2
1 1 ,故所求直线的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2 2
2

即 k AB ? ?

例 2、 已知双曲线 x ?

y2 ?1, 经过点 M (1,1) 能否作一条直线 l , l 与双曲线交于 A 、B , 使 2

且点 M 是线段 AB 的中点。若存在这样的直线 l ,求出它的方程,若不存在,说明理 由。 策略:这是一道探索性习题,一般方法是假设存在这样的直线 ,然后验证它是否满足 题设的条件。本题属于中点弦问题,应考虑点差法或韦达定理。 解:设存在被点 M 平分的弦 AB ,且 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y2 ? 2

y y 2 x1 ? 1 ? 1 , x2 ? 2 ? 1 2 2
2

2

2

两式相减,得

1 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 2
故直线 AB : y ? 1 ? 2( x ? 1)

? k AB ?

y1 ? y2 ?2 x1 ? x2

? y ? 1 ? 2( x ? 1) ? 由 ? 2 y2 ? x ? 2 ?1 ?

消去 y ,得 2 x ? 4 x ? 3 ? 0
2

? ? ? (?4) 2 ? 4 ? 2 ? 3 ? ?8 ? 0
这说明直线 AB 与双曲线不相交,故被点 M 平分的弦不存在,即不存在这样的直线 l 。 评述:本题如果忽视对判别式的考察,将得出错误的结果,请务必小心。由此题可看到中点 弦问题中判断点的 M 位置非常重要。 (1)若中点 M 在圆锥曲线内,则被点 M 平分的弦一 M 在圆锥曲线外,则被点 M 平分的弦可能不存在。 般存在; (2)若中点 2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例 3、已知椭圆

1 y2 x2 ? ? 1 的一条弦的斜率为 3,它与直线 x ? 的交点恰为这条弦的中点 2 75 25

M ,求点 M 的坐标。
解:设弦端点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y 2 ) ,弦 PQ 的中点 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

1 2

x1 ? x2 ? 2x0 ? 1 , y1 ? y2 ? 2y0


y x y1 x ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 75 25 75 25

2

2

2

2

两式相减得 25( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 75( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 即 2 y0 ( y1 ? y2 ) ? 3( x1 ? x2 ) ? 0

?

y1 ? y 2 3 ?? x1 ? x2 2 y0

? k?

y1 ? y 2 ?3 x1 ? x2

? ?

1 3 ? 3 ,即 y 0 ? ? 2 2 y0

1 1 ? 点 M 的坐标为 ( ,? ) 。 2 2
例 4、已知椭圆

y2 x2 ? ? 1 ,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。 75 25

解:设弦端点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y 2 ) ,弦 PQ 的中点 M ( x, y ) ,则

x1 ? x2 ? 2 x ,
2 2

y1 ? y2 ? 2 y
2 2



y x y1 x ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 75 25 75 25

两式相减得 25( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 75( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0

即 y( y1 ? y 2 ) ? 3x( x1 ? x2 ) ? 0 ,即

y1 ? y 2 3x ?? x1 ? x2 y

? k?

y1 ? y 2 3x ? 3 ,即 x ? y ? 0 ?3 ?? y x1 ? x2

由 ? y2

? x? y ?0 5 3 5 3 5 3 5 3 ? ,? ) , ) Q( ,得 P(? x2 ? ?1 2 2 2 2 ? 75 25 ?

? 点 M 在椭圆内 ? 它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为 x ? y ? 0(?
5 3 5 3 ?x? ) 2 2

例 1 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 ,求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程. 2

解 设弦的两个端点分别为 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , PQ 的中点为 M ? x, y ? .

x12 x2 2 2 ? y1 ? 1 , ? y2 2 ? 1 , 则 (1) (2) 2 2

?1? ? ? 2? 得:

x12 ? x2 2 x ? x2 y1 ? y2 ? ? y12 ? y2 2 ? ? 0 ,? 1 ? ? y1 ? y2 ? ? 0 . 2 2 x1 ? x2

又 x1 ? x2 ? 2 x, y1 ? y2 ? 2 y,

y1 ? y2 ? 2 ,? x ? 4 y ? 0 . x1 ? x2

. ? 弦中点轨迹在已知椭圆内, 所求弦中点的轨迹方程为 x ? 4 y ? 0(在已知椭圆内) ? 例2 直线 l : ax ? y ? ? a ? 5? ? 0 ( a 是参数)与抛物线 f : y ? ? x ? 1? 的相交弦
2

是 AB ,则弦 AB 的中点轨迹方程是

.

解 设 A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ? , AB 中点 M ? x, y ? ,则 x1 ? x2 ? 2 x .

? l : a ? x ? 1? ? ? y ? 5? ? 0 ,? l 过定点 N ?1, ?5? ,? k AB ? kMN ?
又 y1 ? ? x1 ? 1? , (1) y2 ? ? x2 ? 1? , (2)
2 2

y?5 . x ?1

?1? ? ? 2? 得: y1 ? y2 ? ? x1 ? 1?
? k AB ? y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 2 . x1 ? x2

2

? ? x2 ? 1? ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? 2 ? ,
2

于是

y?5 ? 2 x ? 2 ,即 y ? 2 x2 ? 7 . x ?1

? 弦中点轨迹在已知抛物线内,? 所求弦中点的轨迹方程为 y ? 2 x2 ? 7 (在已知抛物
线内).

3.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例 5、已知中心在原点,一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 l : y ? 3x ? 2 截得的弦的中点的 横坐标为

1 ,求椭圆的方程。 2

解:设椭圆的方程为

y2 x2 ? ? 1 ,则 a 2 ? b 2 ? 50 ┅┅① a 2 b2

设弦端点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y 2 ) ,弦 PQ 的中点 M ( x0 , y0 ) ,则

x0 ?

1 1 , y 0 ? 3 x0 ? 2 ? ? ? x1 ? x2 ? 2x0 ? 1 , y1 ? y2 ? 2 y0 ? ?1 2 2
2 2 2 2

y x y x 又 12 ? 12 ? 1 , 22 ? 22 ? 1 a b a b
两式相减得 b ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? a ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0
2 2

即 ? b ( y1 ? y2 ) ? a ( x1 ? x2 ) ? 0
2 2

?

y1 ? y2 a 2 ? x1 ? x2 b 2
2

?
2

a2 ? 3 ┅┅② b2

联立①②解得 a ? 75 , b ? 25

? 所求椭圆的方程是

y2 x2 ? ?1 75 25
2

例 3 已知 ?ABC 的三个顶点都在抛物线 y ? 32x 上,其中 A ? 2,8? ,且 ?ABC 的重心

G 是抛物线的焦点,求直线 BC 的方程.
解 由已知抛物线方程得 G ?8,0? .设 BC 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,则 A、G、M 三点共

? 2 ? 2 x0 ? 1? 2 ? 8 ???? ? ? 线,且 AG ? 2 GM ,? G 分 AM 所成比为 2 ,于是 ? , ? 8 ? 2 y0 ? 0 ? 1? 2 ?
解得 ?

? x0 ? 11 ,? M ?11, ?4? . ? y0 ? ?4

设 B ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? ?8 . 又 y12 ? 32 x1 , (1) y2 2 ? 32 x2 , (2)

?1? ? ? 2? 得: y12 ? y22 ? 32 ? x1 ? x2 ? ,? kBC

?

y1 ? y2 32 32 ? ? ? ?4 . x1 ? x2 y1 ? y2 ?8

? BC 所在直线方程为 y ? 4 ? ?4 ? x ? 11? ,即 4 x ? y ? 40 ? 0 .
例 4 已知椭圆

? x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的一条准线方程是 x ? 1 ,有一条倾斜角为 的 2 4 a b
? 1 1? , ? ,求椭圆方程. ? 2 4?
x2 y2 1 ,且 12 ? 12 ? 1 , (1) 2 a b

直线交椭圆于 A、B 两点,若 AB 的中点为 C ? ?

解 设 A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x 2 ? ?1, y 1 ? y 2 ?

x2 2 y2 2 ? 2 ? 1, (2) a2 b

b 2 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 b 2 ?1 ?? 2 ?? 2 ? , ?1? ? ? 2? 得: 2 ? ? 2 ,? x1 ? x2 a ? y1 ? y2 ? a 1 a b 2

?1 ? k AB ?

y1 ? y2 2b2 (3) ? 2 ,? a 2 ? 2b2 , x1 ? x2 a



a2 2 2 2 ? 1 ,? a 2 ? c , (4)而 a ? b ? c , (5) c
2

x2 y 2 1 2 1 ? ? 1. 由(3)(4)(5)可得 a ? , b ? , 所求椭圆方程为 , , 1 1 2 4 2 4

4.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例 6、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,试确定的 m 取值范围,使得对于直线 y ? 4 x ? m ,椭圆上总 4 3

有不同的两点关于该直线对称。 解:设 P ( x1 , y1 ) ,P2 ( x2 , y2 ) 为椭圆上关于直线 y ? 4 x ? m 的对称两点,P( x, y) 为弦 P P2 1 1 的中点,则 3x1 ? 4 y1 ? 12 , 3x2 ? 4 y2 ? 12
2 2 2 2

两式相减得, 3( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0
2 2 2 2

即 3( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

? x1 ? x2 ? 2 x , y1 ? y2 ? 2 y , ? y ? 3x

y1 ? y 2 1 ?? x1 ? x2 4

这就是弦 P P2 中点 P 轨迹方程。 1

它与直线 y ? 4 x ? m 的交点必须在椭圆内

联立 ?

? y ? 3x ? x ? ?m ,得 ? ? y ? 4x ? m ? y ? ?3m
2

则必须满足 y ? 3 ?
2

3 2 x , 4

即 (3m) ? 3 ? 5. 求直线的斜率

3 2 2 13 2 13 m ,解得 ? ?m? 4 13 13

例5已知椭圆

x2 y2 ? 9? ? ? 1 上 不 同 的 三 点 A ? x1 , y1 ? , B ? 4, ? , C ? x2 , y2 ? 与 焦 点 25 9 ? 5?

(2)若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴 F ? 4,0? 的距离成等差数列.(1)求证: x1 ? x2 ? 8 ; 的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k . (1)证 略. (2)解 ? x1 ? x2 ? 8 ,? 设线段 AC 的中点为 D ? 4, y0 ? .

x12 y12 x2 2 y2 2 ? ? 1, ? ? 1, 又 A、C 在椭圆上,? (1) (2) 25 9 25 9

?1? ? ? 2? 得:

x12 ? x2 2 y 2 ? y2 2 ?? 1 , 25 9

?

9 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 9 8 36 ?? ?? ? ?? . x1 ? x2 25 ? y1 ? y2 ? 25 2 y0 25 y0

? 直线 DT 的斜率 k DT ?

25 y0 25 y0 ,? 直线 DT 的方程为 y ? y0 ? ? x ? 4? . 36 36

9 ?0 64 5 ? 64 ? 令 y ? 0 ,得 x ? ,即 T ? , 0 ? ,? 直线 BT 的斜率 k ? 5 ? . 64 4 25 ? 25 ? 4? 25
6. 确定参数的范围 例 6 若抛物线 C : y 2 ? x 上存在不同的两点关于直线 l : y ? m ? x ? 3? 对称,求实数

m 的取值范围.
解 当 m ? 0 时,显然满足.

当 m ? 0 时 , 设 抛 物 线 C 上 关 于 直 线 l : y ? m ? x ? 3? 对 称 的 两 点 分 别 为 (1) y22 ? x2 , (2) P ? x1 , y1 ?、Q ? x2 , y2 ? ,且 PQ 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,则 y12 ? x1 ,

?1? ? ? 2? 得: y12 ? y22 ? x1 ? x2 ,? kPQ ?
又 k PQ ? ?

y1 ? y2 1 1 , ? ? x1 ? x2 y1 ? y2 2 y0

1 m ,? y0 ? ? . m 2
5 . 2

? 中点 M ? x0 , y0 ? 在直线 l : y ? m ? x ? 3? 上,? y0 ? m ? x0 ? 3? ,于是 x0 ? ? 中点在抛物线 y 2 ? x 区域内
M ? y02 ? x0 ,即 ? ?

5 ? m? ? ? ,解得 ? 10 ? m ? 10 . 2 ? 2?

2

综上可知,所求实数 m 的取值范围是 ? 10, 10 . 7. 证明定值问题 例 7 已知 AB 是椭圆

?

?

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 不垂直于 x 轴的任意一条弦,P 是 AB 的 a 2 b2

中点, O 为椭圆的中心.求证:直线 AB 和直线 OP 的斜率之积是定值. 证明 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 且 x1 ? x2 ,



x12 y12 x2 y2 ? 2 ? 1, (1) 22 ? 22 ? 1 , (2) a2 b a b x12 ? x2 2 y2 ?y 2 ?? 1 2 2 , a2 b

?1? ? ? 2? 得:

b2 ? x1 ? x2 ? b2 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 y1 ? y2 ,? k AB ? . ? ?? 2 ?? 2 x1 ? x2 x1 ? x2 a ? y1 ? y2 ? a ? y1 ? y2 ?
又 kOP ?

y1 ? y2 b2 b2 1 ,? k AB ? ? 2 ? ,? k AB ? kOP ? ? 2 (定值). a x1 ? x2 a kOP

8. 其它。看上去不是中点弦问题,但与之有关,也可应用。 例 9,过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一定点 P( x0 , y0 ) y0 ?0) ( ,作两条直线分别交抛物 线于 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) . (1)求该抛物线上纵坐标为

p 的点到其焦点 F 的距离; 2

(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1 ? y 2 的值,并证明直线 AB 的斜 y0 率是非零常数. 解(1)略(2):设 A(y1 ,y1),B(y2 ,y2),则 kAB=
2 2

y 2 ? y1 y 2 ? y1
2 2

?

1 y 2 ? y1

∵kPA=

y1 ? y0 y ?y 1 1 ? , k PB ? 22 02 ? 2 2 y1 ? y0 y 2 ? y0 y 1 ? y0 y 2 ? y0

由题意,kAB=-kAC, ∴

1 1 ?? , 则y1 ? y 2 ? ?2 y 0 y1 ? y 0 y 2 ? y0

则:kAB= ?

1 为定值。 2 y0

例 10、 抛物线方程y 2 ? p( x ? 1) ( p ? 0) ,直线x ? y ? t与x轴的交点在抛物线准线的右边。 (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A、B,且 OA⊥OB,求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。 p (1)证明:抛物线的准线为 1:x ? ?1 ? 4 由直线 x+y=t 与 x 轴的交点(t,0)在准线右边,得 t ? ?1 ?

p ,而4t ? p ? 4 ? 0 4

?x ? y ? t 由? 2 消去y得 x 2 ? (2t ? p) x ? ( t 2 ? p) ? 0 y ? p( x ? 1) ?
?? ? (2t ? p) 2 ? 4( t 2 ? p) ? p(4 t ? p ? 4) ? 0

故直线与抛物线总有两个交点。 (2)解:设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2)
? x1 ? x 2 ? 2t ? p,x1 x 2 ? t 2 ? p

Q OA ? OB ? kOA ? kOB ? ?1
则 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 又 y1 y 2 ? ( t ? x1 )( t ? x 2 )

? x1 x 2 ? y1 y 2 ? t 2 ? ( t ? 2) p ? 0
? p ? f (t) ? t2 t?2
( ?2 ,0) ? (0, ? ?)

又p ? 0,4t ? p ? 4 ? 0得函数f ( t ) 的定义域是

【同步练习】 1、已知:F1,F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 作直线交双曲线左支于点 a2 b2
) C、4a+2m D、4a-m

A、B,若 AB ? m ,△ABF2 的周长为( A、4a B、4a+m

2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是 ( ) A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x

3、已知△ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列,且 AB ? AC ,点 B、C 的坐标分别为(-1,0),(1,0),则顶点 A 的轨迹方程是( )

x2 y2 ? ?1 A、 4 3
C、

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) B、 4 3
D、

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) 4 3

x2 y2 ? ? 1( x ? 0且y ? 0) 4 3

4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1,0),其长轴长为 4,则椭圆中心的轨迹方程是 ( )

9 ( x ? ?1) 4 1 2 9 2 C、 x ? ( y ? ) ? ( x ? ?1) 2 4
A、 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

1 2 9 ) ? y 2 ? ( x ? ?1) 2 4 1 2 9 2 D、 x ? ( y ? ) ? ( x ? ?1) 2 4
B、 ( x ?

5、已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 的横坐标为 4,则点 M 到左焦点的距离是 9 16

6、抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p(-2,0),则弦 AB 中点的轨迹方程是

8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个,则 k=

x2 y2 ? ? 1 上的动点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,求 sin∠F1PF2 的 10、设点 P 是椭圆 25 9
最大值。

11、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距 离依次成等差数列, 若直线 l 与此椭圆相交于 A、 两点, AB 中点 M 为(-2, AB ? 4 3 , B 且 1), 求直线 l 的方程和椭圆方程。

x2 y2 12、已知直线 l 和双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 及其渐近线的交点从左到右依次为 a b
A、B、C、D。求证: AB ? CD 。

参考答案 1、C

AF2 ? AF1 ? 2a, BF2 ? BF1 ? 2a ,
∴ AF2 ? BF2 ? AB ? 4a, AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ? 2m, 选 C 2、C y2=16x,选 C 3、D ∵ AB ? AC ? 2? 2 ,且 AB ? AC 点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离,P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右,则方程为

∵点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、B、C 三点不共线,即 y≠0,故选 D。 4、A 设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距离和为 4

2 2 2 2 得 1 ? (2 x ? 1) ? ( 2 y ) ? 4 ,∴ ( x ? ) ? y ?

1 2

9 4

2 2 ①又 c<a,∴ ( x ? 1) ? y ? 2

∴(x-1)2+y2<4 ②,由①,②得 x≠-1,选 A

29 9 9 29 左准线为 x=- ,M 到左准线距离为 d ? 4 ? (? ) ? 则 M 到左焦点的距 3 5 5 5 5 29 29 ? 离为 ed ? ? 3 5 3 1 1 6、 x ? ( y ? ) 设弦为 AB,A(x1,y1),B(x2,y2)AB 中点为(x,y),则 y1=2x12, 2 2
5、 y2=2x22,y1-y2=2(x12-x22)



y1 ? y 2 ? 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2
1 1 (y> ) 2 2

∴2=2?2x, x ?

1 2

将x ?

1 1 代入 y=2x2 得 y ? ,轨迹 2 2

方程是 x ?

7、y2=x+2(x>2)

设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 M(x,y),则

2 2 y12 ? 2 x1 , y 2 ? 2 x2 , y12 ? y 2 ? 2( x1 ? x2 ),

y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 2 x1 ? x2

∵ k AB ? k MP ?

y?0 y ? 2 y ? 2 ,即 y2=x+2 ,∴ x?2 x?2

又弦中点在已知抛物线内 P,即 y2<2x,即 x+2<2x,∴x>2 8、4

a 2 ? b 2 ? 4, c 2 ? 8, c ? 2 2 ,令 x ? 2 2 代入方程得 8-y2=4 ∴ y2=4 , y=

±2,弦长为 4 9、 ? ①?

2或 ? 1

y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0

∴(1-k2)x2-2kx-2=0

?1 ? k 2 ? 0 得 4k2+8(1-k2)=0,k= ? 2 ?? ? 0

②1-k2=0 得 k=±1

10、解:a2=25,b2=9,c2=16 设 F1、F2 为左、右焦点,则 F1(-4,0)F2(4,0) ① 设 PF ? r1 , PF2 ? r2 , ?F1 PF2 ? ? 1 ② 则 ?r1 ? r2 ? 2? ?
2 2 2 ?r1 ? r2 ? 2r1r2 cos? ? (2c)

y P F1 F2 x

①2-②得 2r1r2(1+cosθ )=4b2 ∴1+cosθ =

4b 2 2b 2 ? 2r1r2 r1r2

∵r1+r2 ? 2 r1r2 ,

∴r1r2 的最大值为 a2

∴1+cosθ 的最小值为 cosθ ? ?

18 2b 2 ,即 1+cosθ ? 2 25 a

7 7 ? , 0 ? ? ? ? ? arccos 则当 ? ? 时,sinθ 取值得最大值 1, 25 25 2

即 sin∠F1PF2 的最大值为 1。

x2 y2 11、设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
列,

a2 ? c 成等差数 由题意:C、2C、 c

∴ 4c ? c ?

a2 ? c即a 2 ? 2c 2 , c

∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2

椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2) 2b 2 b



x12 y2 ? 1 ?1 2b 2 b 2



2 x2 y2 ? 2 ? 1② 2b 2 b 2 2 2 x12 ? x 2 y12 ? y 2 ? ?0 ①-②得 2b 2 b2



xm y ? m ?k ? 0 2 2b b2



?2 ? k ? 0 ∴k=1 2

直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3, 代入椭圆方程即 x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0 ∴3x2+12x+18-2b2=0,

AB ? x1 ? x 2 1 ? 1 ?

1 12 2 ? 12(18 ? 2b 2 ) 2 ? 4 3 3

解得 b2=12, ∴椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l 方程为 x-y+3=0 24 12

12、证明:设 A(x1,y1),D(x2,y2),AD 中点为 M(x0,y0)直线 l 的斜率为 k,则
? x12 y12 ① ? 2 ? 2 ?1 ?a b ? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ② ?a2 b2 ?

①-②得

2 x0 2 y 0 ? 2 ?k ? 0 ③ a2 b



? ? ? ? ? ? B( x1 , y1 ),C( x2 , y2 ), BC中点为M ?( x0 , y0 ) ,
? x1 2 y 1 2 1 1 ④ 则 ? a2 ? b2 ? 0 ? ? 12 2 y1 ? x2 ? 22 ? 0 ⑤ ? a2 b ?

④-⑤得

1 ? 2 x1 2 y 0 ? 2 ?k ? 0 ⑥ a2 b

由③、⑥知 M、 M ? 均在直线 l ? :

2x 2 y ? ? k ? 0 上,而 M、 M ? 又在直线 l 上 , a2 b2
若 l 与 x 轴垂直, 则由对称性知命题

若 l 过原点,则 B、C 重合于原点,命题成立 成立 若 l 不过原点且与 x 轴不垂直,则 M 与 M ? 重合

∴ AB ? CD

四、弦长公式法

若直线 l : y ? kx ? b 与圆锥曲线相交与 A 、 B 两点, A(x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 弦长 AB ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

? ( x1 ? x2 ) 2 ? [kx1 ? b ? (kx 2 ? b)] 2

? 1 ? k 2 x1 ? x2
? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 同理:
|AB|= 1 ?

1 | y2 ? y1 | ( y2 ? y1 ) 2 ? 4 y2 y1 2 k

特殊的,在如果直线 AB 经过抛物线的焦点,则|AB|=? 一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是:把直线方程 y ? kx ? b 代入圆锥曲线 方程中,得到型如 ax ? bx ? c ? 0 的方程,方程的两根设为 x A , x B ,判别式为△,则
2

△ ,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过 | AB| ? 1 ? k 2 ?| x A ? x B | ? 1 ? k 2? |a|
程。 例 求直线 x ? y ? 1 ? 0 被椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 16 所截得的线段 AB 的长。

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时, 由于圆锥曲线的定义都涉及焦点, 结合图形运用圆锥曲线 的定义,可回避复杂运算。

例题 1:已知直线 y ? x ? 1 与双曲线 C : x 2 ?
解:设 A(x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

y2 ? 1 交于 A、B 两点,求 AB 的弦长 4

?y ? x ?1 2 2 2 ? 由 ? 2 y2 得 4 x ? ( x ? 1) ? 4 ? 0 得 3x ? 2 x ? 5 ? 0 ?1 ?x ? 4 ? 2 ? ? x1 ? x 2 ? 3 ? 则有 ? 得, ?x x ? ? 5 ? 1 2 3 ?

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2
练习 1:已知椭圆方程为
弦长

4 20 8 ? ? 2 9 3 3

1 x2 ? y 2 ? 1 与直线方程 l : y ? x ? 相交于 A、B 两点,求 AB 的 2 2

练习 2:设抛物线 y 2 ? 4 x 截直线 y ? 2 x ? m 所得的弦长 AB 长为 3 5 ,求 m 的值

分析:联立直线与抛物线的方程,化简,根据根与系数的关系,求弦长 解:设 A(x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

1 ? ?y ? x ? 2 ? 2 联立方程 ? 2 得 6x ? 4x ? 3 ? 0 ?x ? y2 ? 1 ?2 ? 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 3 ? 则? ?x x ? ? 1 ? 1 2 2 ?

2 1 2 11 ? AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 (? ) 2 ? 4 ? (? ) ? 3 2 3 解: 设 A(x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )
联立方程: ?

? y 2 ? 4x 得 4x 2 ? (4m ? 4) x ? m 2 ? 0 ? y ? 2x ? m

? x1 ? x 2 ? 1 ? m ? 则? m2 x1 x 2 ? ? 4 ?
? AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (1 ? m) 2 ? m 2 ? 3 5
? m ? ?4 例题 2:已知抛物线 y ? ? x ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称相异的两点 A、B,求弦长
2

AB
分析: B 两点关于直线 x ? y ? 0 对称, A、 则直线 AB 的斜率与已知直线斜率的积为 ? 1 且 AB 的中点在已知直线上 解:? A、B 关于 l : x ? y ? 0 对称 ? kl ? k AB ? ?1 ? kl ? ?1

? k AB ? 1 设直线 AB 的方程为 y ? x ? b , A(x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ?y ? x ? b 2 联立方程 ? 化简得 x ? x ? b ? 3 ? 0 2 ? y ? ?x ? 3 1 1 ? AB 中点 M ( ? ,? ? b) 在直线 x ? y ? 0 上 ? x1 ? x2 ? ?1 2 2 2 ?b ? 1 ?x ? x ?2 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ?1 则 ? ? x1 x 2 ? ?2
? AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 (?1) 2 ? 8 ? 3 2

小结:在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法,在求解 过程中一般采取步骤为:设点 ?联立方程 ?消元 ?韦达定理 ?弦长公式

作业:
(1) 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,作倾斜角为 ? 的直线交抛物线于 A,B 两点,且

AB ?

16 求 ? 的值 3 ,

x2 ? y 2 ? 1 及点 B(0,?2) ,过左焦点 F1 与 B 的直线交椭圆于 (2) 已知椭圆方程 2 C 、 D 两点, F2 为椭圆的右焦点,求 ?CDF2 的面积。
【典型例题】 五、数形结合法 例 1: 已知 P(a,b)是直线 x+2y-1=0 上任一点, S= a 2 ? b 2 ? 4a ? 6b ? 13 的最小值。 求 分析:由此根式结构联想到距离公式,
2 2 解:S= (a ? 2) ? (b ? 3) 设 Q(-2,3),

则 S=|PQ|,它的最小值即 Q 到此直线的距离 ∴Smin

| ?2 ? 2 ? 3 ? 1 | 5

?

3 5 5

点评:此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题(注:可令根式内为 t 消元 后,它是一个一元二次函数) 例 2:已知点 P(x,y)是圆 x +y -6x-4y+12=0 上一动点,求 解:设 O(0,0) ,则
2 2

y 的最值。 x

y y 表示直线 OP 的斜率,由图可知,当直线 OP 与圆相切时, 取 x x

得最值,设最值为 k,则切线:y=kx,即 kx-y=0 圆(x-3) +(y-2) =1,由圆心(3,2)到直线 kx-y=0 的距离为 1 得
2 2

| 3k ? 2 | k 2 ?1

? 1,

∴k ?

3? 3 4

∴?

3? 3 ? y ? 3? 3 ? y? ,? ? ? ? ? 4 4 ? x ? min ? x ? max
例 3:直线 l:ax+y+2=0 平分双曲线

x2 y2 ? ? 1 的斜率为 1 的弦,求 a 的取值范围. 16 9

分析:由题意,直线 l 恒过定点 P(0,-2),平分弦即过弦中点,可先求出弦中点的轨迹, 再求轨迹上的点 M 与点 P 的连线的斜率即-a 的范围。



解:设 A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点,且 AB 的斜率为 1,AB 的中点为 M(x0,y0)

? x12 ? ? ? 16 则: ? 2 ? x2 ? ? 16 ?
①-②得

y12 ?1 9 2 y2 ?1 9

x y x 21 ? x 2 2 y 21 ? y 2 2 ? ? 0,即 0 ? 0 ? 1 ? 0 16 9 16 9

即 M(X0,y0)在直线 9x-16y=0 上。 由 9x-16y=0 得 C?? ?

? ?

16 7

,?

9 ? ? 16 9 ? ? ,D ? , ? ? ? ? 7? ? 7 7?

x2 y2 ? ?1 16 9
∴点 M 的轨迹方程为 9x-16y=0(x<-

16 7 16 7 或 x> ) 7 7
9

?2?
kPD=

9

7 9?2 7 7 9?2 7 ? , k PD ? ? 16 16 16 16 0? 0? 7 7
?9?2 7 9 ? ? 9 9?2 7 ? ? ? ? ? 16 , 16 ? ? ? 16 , 16 ? 时,l 过斜率为 1 的弦 AB ? ? ? ?

?2?

由图知,当动直线 l 的斜率 k∈ ? 的中点 M,而 k=-a ∴a 的取值范围为: ? ?

? 9?2 7 9 ? ? 9 2 7 ?9? ? ,? ? ? ? ? , ? 16 16 ? ? 16 16 ? ? ? ? ?

点评:此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的,由图得知,弦 AB 中点轨迹 并不是一条直线 (9x-16y=0) 而是这条直线上的两条射线 , (无端点) 再利用图形中的特殊点 。 (射 线的端点 C、D)的属性(斜率)说明所求变量 a 的取值范围。

六、参数法 例 4(k 参数) :过 y =x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB、AC 交抛物线于 B、 C 两点。求证:直线 BC 的斜率是定值。 分析: (1)点 A 为定点,点 B、C 为动点,因直线 AB、AC 的倾斜角互补,所以 kAB 与 kAC
2

相反,故可用“k 参数”法,设 AB 的斜率为 k,写出直线 AB 的方程,将 AB 的方程与抛物线 方程联立,因 A 为已知交点,则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点 B 坐标,同理可得 点 C 坐标,再求 BC 斜率。 (2) 因点 B、 在抛物线上移动, C 也可用 “点参数” 设 B 1,y1) 法, (x ,C(x2,y2),因 x1=y1 ,x2=y2 , 即可设 B(y1 ,y1),C(y2 ,y2)。再考虑 kAB=-kAC 得参数 y1,y2 的关系。 解法 1:设 AB 的斜率为 k,则 AC 的斜率为-k AB:y-2=k(x-4),与 y =x 联立得: y-2=k(y -4),即 ky -y-4k+2=0 ∵y=2 是此方程的一解, ∴2yB=
2 2 2 2 2 2 2

? 4k ? 2 1 ? 2k , yB ? k k

xB=yB =

2

1 ? 4k ? 4k 2 , k2

∴B ? ?

? 1 ? 4k ? 4 k 2 1 ? 2k ? ? , k ? k2 ? ? ? 1 ? 4 k ? 4k 2 1 ? 2 k ? ? , ?k ? k2 ? ?

∵kAC=-k,以-k 代替 k 代入 B 点坐标得 C ? ?

1 ? 2k 1 ? 2k ? 1 k k ∴kBC= ? ? 为定值 2 2 4 1 ? 4k ? 4k 1 ? 4k ? 4k ? 2 k k ?
解法 2:设 B(y1 ,y1),C(y2 ,y2),则 kBC=
2 2

y 2 ? y1 y 2 ? y1
2 2

?

1 y 2 ? y1

∵kAB=

y1 ? 2 y ?2 1 1 ? , k AB ? 22 ? 2 y 1 ? 4 y1 ? 2 y2 ? 4 y2 ? 2

由题意,kAB=-kAC, ∴

1 1 ?? , 则y1 ? y 2 ? ?4 y1 ? 2 y2 ? 2

则:kBC= ?

1 为定值。 4

点评:解法 1 运算量较大,但其方法是一种基本方法,因 k 的变化而造成了一系列的变

化,最终求出 BC 的斜率为定值;解法 2 利用点 B,C 在抛物线上设点,形成含两个参数 y1,y2 的问题,用整体思想解题,运算量较小。 例 5(角参数) :在圆 x +y =4 上,有一定点 A(2,0)和两动点 B,C(A,B,C 按逆时
2 2

? 针排列) ,当 B,C 两点保持∠BAC= 时,求△ABC 的重心的轨迹。 3 ? 2? 分析:圆周角∠BAC= 可转化为圆心角∠BOC= ,选用“角参数” , 3 3 2? 2? 令 B(2cosθ ,2sinθ )则 C(2cos(θ + ),2sin(θ + )) 3 3
则重心可用θ 表示出来。 解:连 OB,OC,∵∠BAC=

y

B
0

A x C

? 2? ,∴∠BOC= 3 3 4? 2? 2? 设 B(2cosθ ,2sinθ )(0<θ < ),则 C(2cos(θ + ),2sin(θ + )) 3 3 3
设重心 G(x,y) ,则: x= [2 ? 2 cos ? ? 2 cos(? ?

1 2? )] 3 3 1 2? )] y= [0 ? 2 sin ? ? 2 sin(? ? 3 3 2 ? 3 ? x ? 1 ? cos(? ? ) 即: x= [1 ? cos(? ? )] 3 3 2 3 2 ? 3 ? y ? sin(? ? ) y= sin(? ? ) 3 3 2 3 ? ? 5? ) θ + ?( , 3 3 3 3 3 2 1 2 ∴ ( x ? 1) ? ( y ) ? 1 。 (x< ) 2 2 2 2 2 4 1 2 即 (x ? ) ? y ? (x ? ) 3 9 2 ? ? 5? 点评:要注意参数θ 的范围,θ + ∈( , )它是一个旋转角,因此最终的轨迹是一 3 3 3
段圆弧,而不是一个圆。 七、代入法中的顺序 例 6(参数法,代入法中的顺序) 、求直线 3x-4y+10=0 与椭圆 点时 a 的取值范围 分析:将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解,用判别式△≥0 可求得 a 的 取值范围。也可考虑另一代入顺序,从椭圆方程出发设公共点 P(用参数形式) ,代入直线

x2 ? y 2 ? 1 (a>0)有公共 2 a

方程,转化为三角问题:asinx+bcosx=c 何时有解。 解法一: 由直线方程 3x-4y+10=0 得 y ?

3 5 1 3 5 x ? 代入椭圆方程得 2 x 2 ? ( x ? ) 2 ? 1 ∴ 4 2 4 2 a

(

1 9 15 21 ? )x 2 ? x ? ?0 2 16 4 4 a
△≥0,得 (

15 2 21 1 9 28 2 7 ) ? 4 ? ? ( 2 ? ) ? 0 解得 a 2 ? ,又 a>0,∴ a ? 4 4 a 16 3 3

解法二:设有公共点为 P,因公共点 P 在椭圆上,利用椭圆方程设 P(acos ? ,sin ? ) 再代入直线方程得 3acos ? -4sin ? +10=0 4sin ? -3acos ? =10。
4 9a ? 16
2

sin ? ?

3a 9a ? 16
2

cos? ?

10 9a 2 ? 16

令 sinα =

3a 9a ? 16
2

,cosα =

4 9a ? 16
2



则 sin( ? -α )=

10 9a 2 ? 16
2



由 sin(? ? ? ) ? 1 即 sin ( ? -α )≤1 得

100 28 ? 1 ∴9a2≥84,a2≥ (a>0) 2 3 9a ? 16

2 21 ∴a≥ 3
点评:解法 1,2 给出了两种不同的条件代入顺序,其解法 1 的思路清晰,是常用方法, 但运算量较大,对运算能力提出较高的要求,解法 2 先考虑椭圆,设公共点再代入直线,技
2 2 巧性强,但运算较易,考虑一般关系: “设直线 l:Ax+By+C=0 与椭圆 x ? y ? 1 有公共点, 2 2 a b

求应满足的条件”此时,若用解法一则难于运算,而用解法二,设有公共点 P,利用椭圆, 设 P(acos ? ,bsin ? )代入直线方程得 Aacos ? +Bbsin ? =-C。 ∴

?C ? 1 时上式有解。 ∴C2≤A2a2+B2b2 2 2 A a ?B b
2 2

因此,从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。 八、充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。 典型例题 求经过两已知圆 C1 :x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 和 C2 :x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 的
2 2 2 2

交点,且圆心在直线 l : 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上的圆的方程。 解:设所求圆的方程为:

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? ? ( x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4) ? 0
即 (1 ? ? ) x 2 ? (1 ? ? ) y 2 ? 4 x ? 2(1 ? ? ) y ? 4? ? 0 ,

2 ? ?1 , ) 1? ? ? ?1 2 ? ?1 1 ? 4? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? ,代入所设圆的方程得 又 C 在直线 l 上,? 2 ? 1? ? ? ?1 3
其圆心为 C(

x 2 ? y 2 ? 3x ? y ? 1 ? 0 为所求。
评注:此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算。

【同步练习】 1、若实数 x、y 满足 x +y -2x+4y=0,则 x-2y 的最大值是( A、5 B、10 C、9 D、5+2 5
2 2



2、若关于 x 的方程 1 ? x 2 ? k ( x ? 2) 有两个不等实根,则实数 k 的取值范围是 ( A、 (? )

3 3 , ) B、 (? 3, 3) C、 ? ? ? ? 3 3 ?
2 2

3 1? ?1 3 ? 3 ? D、 ? ?? ? ,0 ? ? 3 ,? 2 ? ? ? 2 , 3 ? 3 ? ? ? ? ?

3、方程 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? x ? y ? 3 ? 0 表示的图形是( A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、以上都不对



4、已知 P、Q 分别在射线 y=x(x>0)和 y=-x(x>0)上,且△POQ 的面积为 1, 为原点) (0 , 则线段 PQ 中点 M 的轨迹为( A、双曲线 x -y =1 C、半圆 x +y =1(x<0)
2 2 2 2

) B、双曲线 x -y =1 的右支 D、一段圆弧 x +y =1(x>
2 2 2 2 2

2 ) 2

5、一个等边三角形有两个顶点在抛物线 y =20x 上,第三个顶点在原点,则这个三角形 的面积为 6、设 P(a,b)是圆 x +y =1 上的动点,则动点 Q(a -b ,ab)的轨迹方程是 7、实数 x、y 满足 3x +2y =6x,则 x+y 的最大值为 8、已知直线 l:2x+4y+3=0,P 是 l 上的动点,O 为坐标原点,点 Q 分 OP 为 1:2,则 点 Q 的轨迹方程为
2 2 2 2 2 2

9、 椭圆 的最大值为

x2 y2 ? ? 1 在第一象限上一动点 P, A(4, B(0, O(0, 则 S四边形APBO 若 0), 3), 0), 16 9

10、已知实数 x、y 满足 x+y=4,求证: ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 2

11、△ABC 中,A(3,0) BC ? 2 ,BC 在 y 轴上,且在[-3,3]间滑动,求△ABC 外心的轨 迹方程。

12、设 A、B 是抛物线 y =2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°(O 为原点) 。求证:直线 AB 过定点。 参考答案 1、B x-2y=b , 圆 (x-1) +(y+2) =5 , 由 (1 , 2) 到 x-2y-b=0 的 距 离 等 于
2 2

2

5得

1? 4 ? b 5

? 5 ,∴b=0 或 b=10
或用参数法,令 x ? 1 ? 5 cos? , y ? ?2 ? 5 sin ? 代

则 b 的最大值为 10,选 B。 入得

x ? 2 y ? 5 ? 5 cos? ? 2 5 sin ? ? 5 ? 5(
最大值为 10。选 B 2、C 作图,知当 k ? ? ?

5 2 5 cos? ? sin ? ) ? 5 ? 5 sin(? ? ? ) 5 5

? ? ?

3 ? ,0? 时,直线 y=k(x-2)与半圆有两交点, 3 ?
2 2

选C

3、B

方程即 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ?

2?

x? y ?3 2
PF PH ? 2 ,由双曲线第二定义知

令 F(-3,1) P(x,y), l: x-y+3=0, PH⊥l 于 H 则 选 B。 4、B

用“点参数”法,设 P(x1,x1)(x1>0),Q(x2,-x2)(x2>0)



1 2 x1 ? 2 x 2 ? 1 ,∴ 2

x1x2=1,设 M(x,y), 则 2x=x1+x2,2y=x1-x2,∴(2x) -(2y) =4x1x2 5、1200 3 。
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2 , 2 2 ∴ x1 ? 20x1 ? x2 ? 20x2
2 2

则 x -y =1(x>0)。选 B

2

2

设此三角形为△OAB,设 A(x1,y1),B(x2,y2)由 OA ? OB 得

(x1-x2)(x1+x2+20)=0,∵x1>0,x2>0 ∴x1=x2

2 2 则 y1 ? y 2 ,y1=-y2,∴A、B 关于 x 轴对称,A、B 在 y= ?

3 x上 3

将y?

3 x 代入 y2=20x 得 A(60,20 3 ),∴B(60,-20 3 ) 3 3 (40 3 ) 2 ? 1200 3 4
6、x +4y =1
2 2 2 2

边长为 40 3 面积为

令 a=cosθ ,bsinθ ,则 Q(cos2θ ,

1 sin2θ ),设 Q(x,y) 2
2

则 x +4y =1

7、

10 +1 2

3(x-1) +2y =3, (x-1) +

2

2

2 2 y ?1 3



x-1=cos

?



y=

3 3 sin ? ,则 x+y=cos ? + sin ? +1 2 2
最大值为 1 ?

3 10 ?1 ? ?1 2 2
1 1 x1 0 ? y1 2 ,y ? 2 设 Q(x,y),P(x1,y1),则 x ? 1 1 1? 1? 2 2 0?
∴2?3x+4?3y+3=0 即 2x+4y+1=0

8、2x+4y+1=0

∴x1=3x,y1=3y , ∵2x1+4y1+3=0 9、 6 2

设 P(4cos ? ,3sin ? )(0< ? <

? ) 2

S四边形 APBO ? S ?OAP ? S ?OBP ?
当? =

1 1 ? ? 4 ? 3 sin ? ? ? 3 ? 4 cos ? ? 6(sin ? ? cos ? ) ? 6 2 sn(? ? ) 2 2 4

? 时, S四边形APBO 的最大值为 6 2 4
2

2 2 10、证明:设 P(x,y),A(-2,1)则 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? PA

过 A 作 AH⊥l 交于 H,其中 l:x+y=4

则 AH ?

? 2 ?1? 4 2

?

5 2

∴ PA ? AH ?
2

5 2

,则 PA
2

2

?

25 2

当 P 在 H(

1 7 , )时取等号 2 2

∴ ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?

25 2

11、解:设 C 在 B 的上方,设 B(0,t),

则 C(0,t+2),-3≤t≤1

设外心为 M(x,y),因 BC 的中垂线为 y=t+1 ①

t t 3 3 AB 的中垂线为 y ? ? ( x ? ) ② 3 2 t 2 4 2 由①、②消去 t 得 y ? 6( x ? )( ?2 ? y ? 2) 这就是点 M 的轨迹方程。 3 2p 2p 2p 2p 2 2 2 ) 12、解:设 OA:y=kx,代入 y =2px 得 k x =2px 则 x ? 2 , y ? ∴ A( 2 , k k k k 1 2 同理由 OB:y=- x 可得 B(2pk ,-2pk) k 2p 1 ? 2 pk ?k 1 k k AB ? k ? k ? ? 2p 1 1 1? k 2 ? 2 pk 2 ?k2 ?k 2 2 k k k k ( x ? 2 pk 2 ) ∴ AB : y 2 pk ? 2 1? k
AB 中点为 ( , ) , k AB ? ? 令 x=2p 得 y=0,说明 AB 恒过定点(2p,0)

3 t 2 2

解析几何七种常规题型及方法
常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面
(1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法) :设曲线上两点为 ( x1 , y1 ) ,

( x2 , y2 ) ,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。
典型例题 给定双曲线 x ?
2

y2 ? 1。 A 过 (2, 的直线与双曲线交于两点 P 1) 1 2

及 P2 ,

求线段 P P2 的中点 P 的轨迹方程。 1
2 y12 y2 2 ? 1 , x2 ? ? 1。 分析:设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) 代入方程得 x ? 1 2 2 2 1

两式相减得

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ?

1 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 。 2

又设中点 P(x,y) ,将 x1 ? x 2 ? 2 x , y1 ? y2 ? 2 y 代入,当 x1 ? x2 时得

2x ?

y ? y2 2y ? 1 ? 0。 2 x1 ? x 2 y1 ? y2 y ?1 , ? x1 ? x2 x ? 2

又k ?

代入得 2 x 2 ? y 2 ? 4 x ? y ? 0 。 当弦 P1 P2 斜率不存在时,其中点 P(2,0)的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是 2 x 2 ? y 2 ? 4 x ? y ? 0 说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。

(2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点 F1 、 F2 构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

典型例题

设 P(x,y) 为 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 上 任 一 点 , F1 ( ?c,0) , F2 (c,0) 为 焦 点 , a 2 b2

?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? 。
(1)求证离心率 e ?

sin(? ? ? ) ; sin ? ? sin ?
3

(2)求 | PF1 | ? PF2 | 的最值。
3

分析: (1)设 | PF1 | ? r1 , | PF2 ? r2 ,由正弦定理得

r1 r 2c ? 2 ? 。 sin ? sin ? sin(? ? ? )



r1 ? r2 2c , ? sin ?sin ? ? s i n? ? ? ) (

e?

c s i n? ? ? ) ( ? a sin ?sin ? ?

(2) (a ? ex) 3 ? (a ? ex) 3 ? 2a 3 ? 6ae2 x 2 。
3 当 x ? 0 时,最小值是 2 a ; 3 2 3 当 x ? ? a 时,最大值是 2a ? 6e a 。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判 别式,应特别注意数形结合的办法 典型例题
抛物线方程y 2 ? p( x ? 1) ( p ? 0) ,直线x ? y ? t与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A、B,且 OA⊥OB,求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。 p (1)证明:抛物线的准线为 1:x ? ?1 ? 4 由直线 x+y=t 与 x 轴的交点(t,0)在准线右边,得 t ? ?1 ?
?x ? y ? t 由? 2 消去y得 x 2 ? (2t ? p) x ? ( t 2 ? p) ? 0 ?y ? p( x ? 1)
?? ? (2t ? p) 2 ? 4( t 2 ? p) ? p(4 t ? p ? 4) ? 0

p ,而4t ? p ? 4 ? 0 4

故直线与抛物线总有两个交点。 (2)解:设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2)
? x1 ? x 2 ? 2t ? p,x1 x 2 ? t 2 ? p

Q OA ? OB ? kOA ? kOB ? ?1
则 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 又 y1 y 2 ? ( t ? x1 )( t ? x 2 )

? x1 x 2 ? y1 y 2 ? t 2 ? ( t ? 2) p ? 0
? p ? f (t) ? t2 t?2

又p ? 0,4t ? p ? 4 ? 0得函数f ( t ) 的定义域是

( ?2 ,0) ? (0, ? ?)

(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函 数,三角函数,均值不等式)求最值。 典型例题 已知抛物线 y2=2px(p>0),过 M(a,0)且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、 B,|AB|≤2p (1)求 a 的取值范围; (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大 值。 分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1) ,可以设法得到关于 a 的不等 式,通过解不等式求出 a 的范围,即: “求范围,找不等式” 。或者将 a 表示为另一个变量的 函数,利用求函数的值域求出 a 的范围;对于(2)首先要把△NAB 的面积表示为一个变量 的函数,然后再求它的最大值,即: “最值问题,函数思想” 。 解:(1)直线 L 的方程为:y=x-a,将 y=x-a 代入抛物线方程 y2=2px,得:设直线 L 与抛物线两

?4(a ? p) ? 4a 2 ? 0 ? 交点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? x1 ? x 2 ? 2(a ? p) ,又 y1=x1-a,y2=x2-a, ? 2 ? x1 x 2 ? a

?| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[(x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p( p ? 2a) ?0 ?| AB |? 2 p,8 p( p ? 2a) ? 0, ?0 ? 8 p( p ? 2a) ? 2 p,
解得:

?

p p ?a?? . 2 4

(2)设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q,令其坐标为(x3,y3) ,则由中点坐标公式得:

x3 ?

x1 ? x 2 2

?a? p,

y3 ?

y1 ? y 2 ( x1 ? a) ? ( x 2 ? a) ? ? p. 2 2

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ 为等腰直角三角形,所以|QM|=|QN|= 2 P ,所以

S △ NAB=

1 2 2 | AB | ? | QN |? p? | AB |? p ? 2 p ? 2 p 2 ,即△NAB 面积的最大值为 2 2 2

2 P 2。

(5)求曲线的方程问题 1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 已知直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0)和 点 B(0,8)关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程。 分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。 设出它们的方程,L:y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0) 设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为: A/(

k 2 ?1 2k 16k 8(k 2 ? 1) ,? 2 , ) ,B( 2 ) 。因为 A、B 均在抛物线上,代入,消去 p, k 2 ?1 k ?1 k ?1 k 2 ?1

得:k2-k-1=0.解得:k=

1? 5 2 5 ,p= . 2 5 1? 5 4 5 x,抛物线 C 的方程为 y2= x. 2 5

所以直线 L 的方程为:y=

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点 Q (2, 和圆 C: 2+y2=1, 动 0) x 点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 ? ( ? >0), 求动点 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线。 分析:如图,设 MN 切圆 C 于点 N,则动点 M 组成的 集合是:P={M||MN|= ? |MQ|},由平面几何知识可知: |MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,将 M 点坐标代入,可得: ( ? 2-1)(x2+y2)-4 ? 2x+(1+4 ? 2)=0. 当 ? =1 时它表示一条直线;当 ? ≠1 时,它表示圆。这种方法叫做直接法。 (6) 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线, 求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。 (当然也可以利用韦达定理并结合判别式来 解决) 典型例题 已知椭圆 C 的方程 O Q N M

x2 y2 ? ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 4 3

y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有不同两点关于直线对称。
分析:椭圆上两点 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,代入方程,相减得 3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ?

4( y1 ? y2 ) ( y1 ? y2 ) ? 0 。
又x ?

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 ,y ? 1 ,k ? 1 ? ? ,代入得 y ? 3x 。 2 2 x1 ? x2 4

又由 ?

? y ? 3x 解得交点 ( ?m,?3m) 。 y ? 4x ? m ?
( ?m) 2 ( ?3m) 2 2 13 2 13 ? ? 1 ,得 ? 。 ?m? 4 3 13 13

交点在椭圆内,则有

(7)两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用 k1 ?k 2 ? 运算来处理。 典型例题 已知直线 l 的斜率为 k ,且过点 P( ?2,0) ,抛物线 C: y 2 ? 4( x ? 1) , 直线 l 与

y1 ?y2 ? ?1 来处理或用向量的坐标 x1 ?x2

抛物线 C 有两个不同的交点(如图) 。 (1)求 k 的取值范围; (2)直线 l 的倾斜角 ? 为何值时,A、B 与抛物线 C 的焦点连线互相垂直。 分析: (1)直线 y ? k ( x ? 2) 代入抛物线方程得
y B A P (-2,0) O x

k x ? (4k ? 4) x ? 4k ? 4 ? 0 ,
2 2 2 2

由 ? ? 0 ,得 ?1 ? k ? 1( k ? 0) 。 (2)由上面方程得 x1 x 2 ?

4k 2 ? 4 , k2

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 4 ,焦点为 O(0,0) 。
由 k OA ?k OB

y1 y2 2 k2 , ? ? 2 ? ?1 ,得 k ? ? 2 x1 x2 k ? 1
2 2 或 ? ? ? ? arctan 2 2

? ? arctan


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