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定积分的概念

时间:2013-12-20


第五章 定积分
第一节 第二节 第三节 定积分的概念与性质 微积分基本公式 定积分的换元法和分部积分法

第四节

反常积分

主讲人:李源

第一节

定积分的概念与性质

一、定积分问题举例

二、定积分的定义
三、

定积分的性质

一、定积分问题举例
在初等函数里面,我们只会计算规则图形的面积, 如长方形,圆形等。如何计算不规则图形的面积,是 我们需要解决的问题。
曲边梯形 设函数y=f(x)在区间[a, b] 上非负、连续. 由直线x=a、x=b、 Y=0及曲线y=f (x)所围成的图形 称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边. 如何计算其面积? y

y=f(x) x=a x=b
b x

o

a

解决步骤 : 1) 分割. 用直线 x = 2) 近似. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a = x0 < x1 < x2 < ?< xn- 1 < xn = b
xi

将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;

在第i 个窄曲边梯形上任取 ? i ? [ xi ?1 , xi ] y 作以 [ xi ?1 , xi ] 为底 , f (? i ) 为高的小矩形, 并以此小

梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
D Ai 籇 f (xi ) xi



o a x1

xi- 1

(D xi = xi - xi- 1 )

?i

xi

3) 求和.
A=

?

n

D Ai- 1

i= 1

籇? f (xi ) xi
i= 1

n

4) 取极限. 令

则曲边梯形面积

A = lim ? D Ai
l?0 i= 1

n

y

=

lim?
l ?0

n

f (x i )D x i

i= 1

o a x1

xi ?1 xi

?i

1. 曲边梯形的面积
f (?i) y y=f (x)

元素法
1 化整为零

2 以直代曲 (以常代变) ?S i ? f (? i )?xi
3 积零为整
S ? ? f (? i )?x i
i ?1
.

n

分法越细,越接近精确值

o

a x1 x2

x i ? i x i ?1

xn?1 b

x
.

.

1. 曲边梯形的面积
f (?i) y y=f (x)

元素法
1 化整为零

2 以直代曲 (以常代变) ?S i ? f (? i )?xi
3 积零为整
S ? ? f (? i )?x i
i ?1
.

n

分法越细,越接近精确值

o

a

x i ? i x i ?1

x
.

4 取极限
令分法无限变细

b

.

.

1. 曲边梯形的面积
f (?i) y y=f (x)

元素法
1 化整为零

2 以直代曲 (以常代变) ?S i ? f (? i )?xi

S
x
.

3 积零为整
S ? ? f (? i )?x i
i ?1
.

n

分法越细,越接近精确值

4 取极限
令分法无限变细

o

a

x i ? i x i ?1

b

S = lim ? f (xi )D xi . l ?0
i= 1

n

.

.

2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)>0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1=t0<t1<t2< *** <tn-1<tn=T2, ?ti?ti?ti+1; (2)近似: 物体在时间段[t , t ]内所经过的路程近似为
i?1 i

Si?v(?i)?ti ( ti?1<? i<ti );
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为 (4)取极限: 记??max{?t1, ?t2,???, ?tn}, 物体所经过的路程为
S ? lim ? v (? i ) ?t i ?
? ? 0 i ?1
n

1. 曲边梯形的面积

2.变速直线运动的路程

S = lim ? D xi f (xi )
l ?0 i= 1

n

上述两个问题的共性:

? 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”
? 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题, 将其一般化,就得到定积分的概念.

二、定积分的定义
1. 定积分的定义 设函数f(x)在区间[a, b]上有界. 在区间[a, b]内插入n-1 个分点: a?x0<x1<x2< ??? <xn?1<xn?b; 记?xi=xi-xi?1 (i?1, ???, n),

??max{?x1, ?x2,???,?xn}; 在小区间[xi?1, xi]上任取一点?i
(i?1, 2,???, n), 作和? f (?i )?xi ? 如果当??0时, 上述和式的 极限存在, 且极限值与区间[a, b]的分法和?i的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
i ?1 n

?a f ( x)dx ? 即

b

lim ?a f (x)dx ? ??0 ? f (?i )?xi
b i?1

n

?

此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .

积分上限

[a , b] 称为积分区间

ò
积分下限

b

f ( x)d x =
被 积 函 数 被 积 表 达 式

a

lim ? f (x i ) D x i
l ?0 i= 1

n

积 分 变 量

积 分 和

定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即

ò

b

a

f ( x) d x =

ò

b

f (t ) dt =

a

ò

b

f (u ) d u

a

二、定积分的定义
1.定积分的定义 b

?

f (x)dx? lim? f (?i)?xi ? a
??0 i?1
T2
1

n

根据定积分的定义? 曲边梯形的面积为 A ? ?a f ( x)dx ?

b

变速直线运动的路程为 S ? ?T v(t)dt ?

2.函数的可积性 定理1:如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x) 在区间 [a, b]上可积. 定理2:如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限 个间断点, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积.

3.定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值

y

A1 a

A3

A5

A2
b

A4

b x

ò

a

f ( x)d x = A1 - A2 + A3 - A4 + A5
各部分面积的代数和

例1. 利用定义计算定积分
解 把区间[0, 1]分成n等份, 分点为和小区间长度为
i 1 xi ?xii ?(i?1? 2?? 2?? ?n?1)? ?xi ?x1? (i?1? 2?? 2?? ?n) ? ? (i?1? ? ?? ?? n?1)? ? n (i?1? ? ?? ?? n) i n n n i 取 ? i ? (i ? 1,2?, n) ,作积分和 n nn n nn n nn n n n n 11 11 2 ? 11 22 2 2 xx ? f f(??)i??xii?? ??ii??xiii ?? ((i i)))22?11??1(11? 1 )(2 ? 1 )) ? ?? ff((?ii)) xx i ???? i ? ix ? ? ((ii 22 ??1 ? 1((?? 1)(2 ? 1) ? (? )? ix ? ?? ? ? ? ) ? 1 ? (1? )()(2 ? ) ? 1 ? i ? i ? n nn n n 6 n n n 6 nn i ?i?1 i1 1 i ?i?1 i1 1 i ?i?1 nn nn 66 i1 1 n ? ? ? i ?1 i ?1 i ?1 n 1 因为 ? ? ? 当??0 时? n??? 所以 n

1 )(2 ? 1 1 2 2 dx lim xxxdx ??lim? fff(?ii)?xx? lim 1 (1? 1 )(2 ? 1 )) ?11?? ? dx ? lim ? (??i))? iii? lim 1 ( ? ? ? ? ?0?0?0 n ?? n n 33 ??? ?i0 i1 1 ?00 ? ? n ?? 6 n n 3 ? i ?1 n? ?
11 1 2

nn n

例2 用定积分的几何意义求 ?1(1? x)dx ? 1 ?1?1 ? 1 0 2 2 解 函数 y?1?x在区间[0, 1]上的定积分是以y=1-x为 曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是 一个直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
(1 dx 1 ?1? ? 1 (1??xx)dx?1 ?1?11 ?1 ??? (1?x))dx??1 ?1?1? 1 ??00 0? 22 2 22 2
111

三、定积分的性质
两点规定

(1) 当 a ? b 时 ?
(2) 当 a? b 时?

?a

b

f ( x )dx ? 0 ?

?

b

a

f ( x)dx ? ? b f ( x)dx ?

?

a

性质11 性质

?

b

a

[ f (x) ± (x)]dx ? g

?

b

a

f ( x)dx ±a g ( x)dx ?

?

b

性质22 性质
性质3 性质 3

? ?
b

b

a

kf (x)dx ? k a f (x)dx ?

?

b

f (x)dx ? a

?

f (x)dx ? a

c

?c

b

f (x)dx ?

注:值得注意的是不论a? b? c的相 对位置如何上式总成立?

性质4 性质 4

1dx ? a dx ? b ? a ? ?a ?

b

b

性质5 如果在区间[a? b]上 f (x)?0? 则

推论1 如果在区间[a? b]上 f (x)?g(x)? 则

?

b

a

f ( x)dx ? 0 (a?b)?
b

推论2

|

这是因为?|f(x)|?f(x)?|f(x)|, 所以
? ?a | f (x) | dx ? ?a f ( x)dx ? ?a | f ( x) | dx ?
b b b

?

b

a

f ( x)dx |? a | f (x) | dx (a?b)?

?b
a

b

f (x)dx ? a g(x)dx (a? b)?

?

?



| ?a f ( x)dx |? ?a | f (x) | dx | ?

b

b

性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a? b]上的最大值及 最小值? 则 b m(b ? a) ? a f (x)dx ? M (b ? a) (a? b)? ? 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a? b]上连 续?则在积分区间[a? b]上至少存在一个点? ,使下式成立? f ( x)dx ? f (? )(b ? a) ? ——积分中值公式? ?a 这是因为, 由性质6变形得
b

1 b f ( x)dx ? M m? ? ?a b?a

由介值定理, 至少存在一点??[a, b], 使 1 b f (x)dx f (? ) ? ? 两端乘以b?a即得积分中值公式.
b ? a ?a

注: ? 积分中值定理对
b

? 可把

?a

f ( x ) dx

b?a

? f (? )


?

b a

f ( x ) dx b?a

?

b ? a n ?? ? i ?1 lim

1

n

b?a 1 n ? f (? i ) × lim f ( i) ?n n ?? n ? i ?1

故它是有限个数的平均值概念的推广.

1 dx 的值 例3 估计积分 ò0 3 3 + sin x 1 解 f ( x) ? , ? x ? [0, ?], 3 3 ? sin x
p

0 ? sin x ? 1,
3

1 1 1 ? ? , 3 4 3 ? sin x 3

?0

?

? ?1 1 1 dx ? ? dx ? ? dx, 3 0 3 ? sin x 0 3 4

? ? 1 ? ? ?? dx ? . 3 4 0 3 ? sin x 3

例4 估计积分

ò

sin x ? ? 解 f ( x) ? , x ?[ , ] 4 2 x x cos x ? sin x cos x( x ? tan x ) f ?( x ) ? ? ? 0, 2 2 x x ? ? , f ( x ) 在[ , ]上单调下降
4 2 2 p = f ( ) # f ( x) p 2
p 2 2 f( )= , 4 p

p 2 p 4

sin x dx x

的值

1 2 p \ = 祝 2 p 4

ò

p 2 p 4

sin x 2 2 p 2 dx W = , x p 4 2

内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限 2. 定积分的性质

3. 积分中值定理
连续函数在区间上的平均值公式


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