nbhkdz.com冰点文库

【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形章末综合检测 新人教A版必修4


【优化方案】 2016 高中数学 第二章 三角恒等变形章末综合检测 新 人教 A 版必修 4
(时间:100 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) π ?? π π? ? π 1.?cos -sin ??cos +sin ?等于( ) 12?? 12 12? ?

12 A.- C. 1 2 3 2 1 B.- 2 D. 3 2

π ?? π π? π ? π ? π? 2π 2π 解析:选 D.?cos -sin ??cos +sin ?=cos -sin =cos?2× ?=cos = 12?? 12 12? 12 12 6 ? 12 ? 12? 3 . 2 2. 函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小正周期为( ) 3π A.2π B. 2 π C.π D. 2 sin x ? ?cos x=cos x+ 3sin x=2sin?x+π ?,所以 T=2 解析:选 A.f(x)=?1+ 3 ? ? ? cos x? 6? ? ? π. 3.若向量 a=(2cos α ,-1),b=( 2,tan α ),且 a∥b,则 sin α =( 2 2 A. B.- 2 2 π π C. D.- 4 4 )

解析:选 B.因为向量 a=(2cos α ,-1),b=( 2,tan α ),且 a∥b, sin α 2 所以 2cos α ·tan α =- 2,即 2cos α · =- 2,解得 sin α =- . cos α 2 ? π π? 4.当 x∈?- , ?时,函数 f(x)=sin x+ 3cos x 的( ) ? 2 2? A.最大值为 1,最小值为-1 1 B.最大值为 1,最小值为- 2 C.最大值为 2,最小值为-2 D.最大值为 2,最小值为-1 3 ?1 ? ? π? 解析:选 D.f(x)=2? sin x+ cos x?=2sin?x+ ?. 3? ? 2 ?2 ? π π π π 5π 1 ? π? 因为 - ≤ x ≤ , 所以- ≤ x + ≤ ,所以 - ≤ sin ?x+ ? ≤ 1 ,所以- 3? 2 2 6 3 6 2 ? 1≤f(x)≤2. 5.sin 163°sin 223°+sin 253°sin 313°等于( )

1

1 A.- 2 C.-

1 B. 2

3 3 D. 2 2 解析:选 B.sin 163°sin 223°+sin 253°sin 313°=sin(180°-17°)sin(180° +43°)+sin(270°-17°)sin(270°+43°) 1 =sin 17°(-sin 43°)+(-cos 17°)·(-cos 43°)=cos 60°= . 2 1+sin 4α -cos 4α 6.化简 的结果是( ) 1+sin 4α +cos 4α 1 A. B.tan 2α tan 2α 1 C. D.tan α tan α 2 1+sin 4α -cos 4α 2sin 2α cos 2α +2sin 2α 解 析 : 选 B. = = 2 1+sin 4α +cos 4α 2sin 2α cos 2α +2cos 2α 2sin 2α (cos 2α +sin 2α ) =tan 2α . 2cos 2α (sin 2α +cos 2α ) 7.设 a=sin 17°cos 45°+cos 17°sin 45°, b=2cos 13°-1,c=
2

3 ,则有( 2

)

A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 解析:选 A.a=sin 17°cos 45°+cos 17°sin 45°=sin(17°+45°)=sin 62°, 3 b=2cos213°-1=cos 26°=sin 64°,c= =sin 60°,在区间(0°,90°)上, 2 函数 y=sin x 是增函数,所以 sin 60°<sin 62°<sin 64°,即 c<a<b. 8.已知 tan 2θ =-2 2,π <2θ <2π ,则 tan θ 的值为( ) 2 A. 2 B.- 2 C.2 D. 2或- 2 2

3π 3π 解析:选 B.因为 tan 2θ =-2 2且π <2θ <2π ,所以 <2θ <2π ,得 <θ <π . 2 4 2tan θ 2 由 tan 2θ =-2 2得 =-2 2, 整理得 2tan θ -tan θ - 2=0, 解得 tan 2 1-tan θ θ = 2(舍去)或 tan θ =- 2 . 2

(

π? 1 β ? π π 3 ? ?π β ? ? 9.若 0<α < ,- <β <0,cos?α + ?= ,cos? - ?= ,则 cos?α + ?等于 4? 3 2? 2 2 ? ?4 2? 3 ? ) 3 3 A. B.- 3 3 6 9 π π π 3π 解析:选 C.因为 0<α < ,所以 <α + < , 2 4 4 4 C. D.- π? ? 得 sin?α + ?= 4? ? π? 2 2 2? 1-cos ?α + ?= ; 4? 3 ?
2

5 3 9

π π π β π 因为- <β <0,所以 < - < , 2 4 4 2 2 β ? 6 ?π -β ?= 2?π 1-cos ? - ?= . ? ?4 2? ?4 2? 3 β ? π ? ?π β ?? ? ?? 则 cos?α + ?=cos??α + ?-? - ?? 2 4 ? ? 4 2 ?? ? ? ?? π ? ?π β ? π ? ?π β ? 1 3 2 2 6 5 3 ? ? =cos?α + ?cos? - ?+sin?α + ?sin? - ?= × + × = . 4? ?4 2? 4? ?4 2? 3 3 3 3 9 ? ? 得 sin? 10.设△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 m=( 3sin A,sin B),n=(cos B, 3cos A),若 m·n=1+cos(A+B),则 C 的值为( ) π 6 2π C. 3 A. π B. 3 5π D. 6

解析:选 C.由 m=( 3sin A,sin B),n=(cos B, 3cos A), 得 m·n= 3sin Acos B+sin B· 3cos A= 3sin(A+B)= 3sin(π -C)= 3sin C, 而 cos(A+B)=cos(π -C)=-cos C, 则由 m·n=1+cos(A+B)得 3sin C=1-cos C, 3 1 1 ? π? 1 即 sin C+ cos C= ? sin?C+ ?= , 6? 2 2 2 2 ? π π 7π π 5π 2π 而 C 为△ABC 的一个内角,所以 <C+ < ,得 C+ = ,解得 C= . 6 6 6 6 6 3 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上) 3tan 15°+1 11. 的值是________. 3-tan 15° 3tan 15°+1 解析: = 3-tan 15° tan 15°+tan 30° = 1-tan 30°tan 15° 3 1- tan 15° 3 =tan(15°+30°)=tan 45°=1. 答案:1 1 π 3π 12.已知 sin θ +cos θ = ,且 <θ < ,则 cos 2θ 的值是________. 5 2 4 1 ? ?sin θ +cos θ = , 5 消去 cos θ 得 sin2θ -1sin θ -12=0,因为π <θ 解析:由? 5 25 2 ? ?sin2θ +cos2θ =1, 3π ,所以 sin θ >0, 4 4 7 2 所以 sin θ = ,所以 cos 2θ =1-2sin θ =- . 5 25 7 答案:- 25 ?π ? 13.已知 α 为锐角,且 2tan(π -α )-3cos? +β ?+5=0,tan(π +α )+6sin(π ?2 ? +β )=1,则 sin α =____________. 解 析 : 根 据 诱 导 公 式 , 将 已 知 条 件 的 两 个 式 子 化 简 , 联 立 得 < tan 15°+ 3 3

3

? ?-2tan α +3sin β +5=0, ? ? 2 2 ? 解得? 1 由 tan α =3 和 sin α + cos α =1 得 ? tan α - 6sin β = 1 , sin β = , ? ?
tan α =3, 3

?

? sin α ? ?sin α = 10 , ? =3, 3 10 cos α 结合 α 为锐角解得? ,所以 sin α = . ? 10 2 2 10 ? ?cos α +sin α =1, ? ?cos α =
3 10 10 3 10 答案: 10 14.已知角 α ,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α ,β ∈(0,π ), 5 3 角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是- ,角 α +β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 , 13 5 则 cos α =________. 5 3 解析:由题意,知 cos β =- ,sin(α +β )= , 13 5 12 4 又因为 α ,β ∈(0,π ),所以 sin β = ,cos(α +β )=- . 13 5 所以 cos α = cos[(α + β ) - β ] = cos(α + β )cos β + sin(α + β )·sin β = ?-4?×?- 5 ?+12×3=20+36=56. ? 5? ? 13? 13 5 65 65 65 ? ? ? ? 56 答案: 65 6 3 2α +β ,cos α +cos β = ,则 cos =________. 3 3 2 2 1 2 2 解析: (sin α -sin β ) = ,(cos α +cos β ) = ,两式展开相加得 3 3 1 2-2sin α sin β +2cos α cos β =1? 1+cos(α +β )= 2 1 1 2α +β ? cos(α +β )=- ? cos = . 2 2 4 1 答案: 4 三、解答题(本大题共 5 小题,共 55 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 10 分)已知 f(α )= 2 sin (π -α )·cos(2π -α )·tan(-π +α ) . sin(-π +α )·tan(-α +3π ) (1)化简 f(α ); 1 π π (2)若 f(α )= ,且 <α < ,求 cos α -sin α 的值; 8 4 2 31π (3)若 α =- ,求 f(α )的值. 3 2 sin α ·cos α ·tan α 解:(1)f(α )= =sin α ·cos α . (-sin α )(-tan α ) 1 2 2 (2)由 f(α )=sin α cos α = .可知(cos α -sin α ) =cos α -2sin α cos α + 8 2 sin α 1 3 =1-2sin α cos α =1-2× = . 8 4 15.已知 sin α -sin β =
4

π π 又因为 <α < ,所以 cos α <sin α ,即 cos α -sin α <0. 4 2 所以 cos α -sin α =- 3 . 2

31π 5π (3)因为 α =- =-6×2π + , 3 3 ? 31π ?=cos?-31π ?·sin?-31π ? 所以 f?- ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? 5π ? 5π ? ? ? =cos?-6×2π + ?·sin?-6×2π + ? 3 3 ? ? ? ? π? π? 5π 5π ? ? =cos ·sin =cos?2π - ?·sin?2π - ? 3 3? 3 3 ? ? ? π? 1 ? π ? 3 3? =cos ·?-sin ?= ·?- ?=- . 3? 2 ? 2 ? 3 ? 4 17. (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 以 Ox 轴的非负半轴为始边作两个锐 2 2 5 角α , β , 它们的终边分别与单位圆相交于 A, B 两点, 已知 A, B 的横坐标分别为 , . 10 5 (1)求 tan(α +β )的值; (2)求 α +2β 的值. 2 2 5 解:由条件知 cos α = ,cos β = ,且 α ,β 为锐角, 10 5 7 2 5 1 所以 sin α = ,sin β = ,因此 tan α =7,tan β = . 10 5 2 tan α +tan β (1)tan(α +β )= =-3. 1-tan α tan β 2tan β 4 tan α +tan 2β (2)tan 2β = = ,所以 tan(α +2β )= =-1, 2 1-tan β 3 1-tan α tan 2β 3π 3π 因为 α ,β 为锐角,所以 0<α +2β < ,所以 α +2β = . 2 4 18.(本小题满分 10 分)已知向量 a=(sin θ ,-2)与 b=(1,cos θ )互相垂直,其中 ? π? θ ∈?0, ?. 2? ? (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; π (2)若 5cos(θ -φ )=3 5cos φ ,0<φ < ,求 cos φ 的值. 2 解:(1)因为 a⊥b,所以 a·b=sin θ -2cos θ =0, 2 2 即 sin θ =2cos θ .又因为 sin θ +cos θ =1, 1 4 2 2 2 2 所以 4cos θ +cos θ =1,即 cos θ = ,所以 sin θ = . 5 5 2 5 5 ? π? 又 θ ∈?0, ?,所以 sin θ = ,cos θ = . 2 5 5 ? ? (2)因为 5cos(θ -φ )=5(cos θ cos φ +sin θ sin φ ) = 5cos φ +2 5sin φ =3 5cos φ ,所以 cos φ =sin φ . 1 2 2 2 2 所以 cos φ =sin φ =1-cos φ ,即 cos φ = . 2 π 2 又因为 0<φ < ,所以 cos φ = . 2 2 19.(本小题满分 12 分)已知向量 m=(-1,cos ω x+ 3sin ω x)(其中 ω >0),n=
5

3 (f(x),cos ω x),m⊥n,且函数 f(x)的图像任意两相邻对称轴间距为 π . 2 (1)求 ω 的值; (2)探讨函数 f(x)在(-π ,π )上的单调性. 解: (1) 由题意, 得 m·n = 0 ,所 以 f(x) = cos ω x · (cos ω x + 3 sin ω x) = π? 1 cos 2ω x+1 3sin 2ω x ? + =sin?2ω x+ ?+ . 6? 2 2 2 ? 1 根据题意知,函数 f(x)的最小正周期为 3π ,又 ω >0,所以 ω = . 3 2 π ? ? 1 (2)由(1)知 f(x)=sin? x+ ?+ , 6? 2 ?3 π 2 π 5π 因为 x∈(-π ,π ),所以- < x+ < , 2 3 6 6 π 2 π π π 当- < x+ < ,即-π <x< 时,函数 f(x)是递增的; 2 3 6 2 2 π 2 π 5π π 当 ≤ x+ < ,即 ≤x<π 时,函数 f(x)是递减的. 2 3 6 6 2 π? ? ?π ? 综上可知,函数 f(x)在?-π , ?上是递增的,在? ,π ?上是递减的. 2 2 ? ? ? ? π? ? 20.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=sin xcos?x+ ? 3? ? + 3 . 4

? π π? (1)当 x∈?- , ?时,求函数 f(x)的值域; ? 3 6? π (2)将函数 y=f(x)的图像向右平移 个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标变为 3 1 原来的 倍,纵坐标保持不变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 g(x)的表达式及对称轴方 2 程. 3 ? π? 解:(1)f(x)=sin xcos?x+ ?+ 3? 4 ? π π? 3 ? =sin x?cos xcos -sin xsin ?+ 3 3 ? ? 4
1 3 3 1 3 1-cos 2x 3 2 = sin xcos x- sin x+ = sin 2x- × + 2 2 4 4 2 2 4 π? 1 3 1 ? = sin 2x+ cos 2x= sin?2x+ ?. 3? 4 4 2 ? π π π π 2π 由- ≤x≤ ,得- ≤2x+ ≤ , 3 6 3 3 3 π? π? 1 3 3 1 ? 3 1? ? ? 所以- ≤sin?2x+ ?≤1,- ≤ sin?2x+ ?≤ ,所以 f(x)∈?- , ?. 3? 3? 2 2 4 2 ? ? 4 2? ? π? 1 ? π (2)由(1)知 f(x)= sin?2x+ ?,将函数 y=f(x)的图像向右平移 个单位后,得到 y 3? 2 ? 3 1 ? ? π? π? = sin?2?x- ?+ ? 3? 3? 2 ? ? π? 1 ? 1 = sin?2x- ?的图像,再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标保持 3? 2 ? 2
6

π? π? 1 ? 1 ? π π 不变,得到函数 y= sin?4x- ?的图像,所以 g(x)= sin?4x- ?,当 4x- =kπ + 3? 3? 2 ? 2 ? 3 2 kπ 5 π kπ 5π (k∈Z)时,g(x)取最值,所以 x= + (k∈Z),所以函数的对称轴方程是 x= + 4 24 4 24 (k∈Z).

7


【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形章末综合检测 新人教A版必修4

【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形章末综合检测 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。【优化方案】 2016 高中数学 第二章 三角恒等变形章末综合...

【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形章末优化总结 新人教A版必修4

【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形章末优化总结 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。章末优化总结 , ) 三角函数式的求值 三角函数求值主要有...

【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形 1同角三角函数的基本关系 训练案知能提升 新人教A版必修4

【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形 1同角三角函数的基本关系 训练案知能提升 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。【优化方案】2016 高中数学 ...

【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数章末综合检测 新人教A版必修4

【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数章末综合检测 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。【优化方案】 2016 高中数学 第一章 三角函数章末综合检测 新...

【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形 2.3两角和与差的正切函数训练案知能提升 新人教A版必修4

【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形 2.3两角和与差的正切函数训练案知能提升 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。【优化方案】2016 高中数学 ...

【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形 1同角三角函数的基本关系 新人教A版必修4

【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形 1同角三角函数的基本关系 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。§1 同角三角函数的基本关系 , ) 1.问题...

【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数章末优化总结 新人教A版必修4

【优化方案】2016高中数学 第一章 三角函数章末优化总结 新人教A版必修4_数学...求三角函数的周期一般 要先通过三角恒等变形将三角函数化为 y=Asin(ω x+φ ...

【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形 2.3两角和与差的正切函数 新人教A版必修4

【优化方案】2016高中数学 第三章 三角恒等变形 2.3两角和与差的正切函数 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。2 .3 两角和与差的正切函数 , ) 1....

【优化方案】2016年高中数学 第三章 概率 章末优化总结学案 新人教A版必修3

【优化方案】2016高中数学 第三章 概率 章末优化总结学案 新人教A版必修3_数学_高中教育_教育专区。章末优化总结 互斥事件、对立事件的概率及应用 互斥事件和...