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【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮复习课件:1-2-2第2讲 解三角形问题


第2讲 解三角形问题

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高考定位 正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必 考内容,主要考查:(1)边和角的计算;(2)三角形形状的判断; (3)面积的计算;(4)有关的范围问题.

由于此内容应用性较强,

与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点,不
可轻视.

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[真题感悟] 1 1.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是2,AB=1, BC= 2,则 AC= A.5 C.2 B. 5 D.1 ( ).

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解析 2 2,

1 1 1 ∵S△ABC=2AB· BC sin B=2× 2×1×sin B=2,∴sin B=

π 3π ∵B∈(0,π),∴B=4或 4 .

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π 当 B=4时,由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B=2 2 +1-2 2×1× 2 =1, ∴AC=1,∴△ABC 为等腰直角三角形,不符合题意,舍去. 3π 当 B= 4 时, 由余弦定理, 得 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B=5, ∴AC= 5,此时△ABC 为钝角三角形,符合题意.故选 B.

答案 B

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2.(2014· 江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a, π b,c.若 c =(a-b) +6,C=3,则△ABC 的面积是 (
2 2

).

A.3 3 3 C. 2

9 3 B. 2 D.3 3

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解析

由 c2=(a-b)2+6 得 c2=a2+b2-2ab+6.

由余弦定理得 c2=a2+b2-ab,∴ab=6, 1 1 3 3 3 ∴S=2absin C=2×6× 2 = 2 ,故选 C.

答案 C

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3.(2014· 广东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a, a b,c.已知 bcos C+ccos B=2b,则b=________.

解析

a2+b2-c2 由余弦定理,得 b· cos C + c· cos B = b· 2ab +

a2+c2-b2 a c· 2ac =a=2b,即b=2.

答案 2

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4.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC三个内角
A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C, 则△ABC面积的最大值为________. 解析 ∵a=2,∴(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C. 由正弦定理有(a+b)(a-b)=(c-b)c 即有b2+c2-a2=bc.

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b2+c2-a2 bc 1 由余弦定理得 cos A= 2bc =2bc=2, ∴A=60° . ∵在△ ABC 中, b2 + c2 - 4 = bc ,∴ 4 = b2 + c2 - bc≥2bc - bc = bc(当且仅当 b=c 时等号成立). 1 1 ∴S△ABC=2bcsin A≤2×4×sin 60° = 3.
答案 3

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[考点整合] 1.三角形面积公式 1 1 1 1 (1)S=2aha(ha 为 BC 边上的高);(2)S=2absin C=2bcsin A=2 abc acsin B;(3)S= 4R (R 为△ABC 外接圆的半径);(4)S=2R2sin Asin Bsin C(R 为 △ ABC 外 接 圆 的 半 径 ) ; (5)S =
? ? 1 1 ? ? p?p-a??p-b??p-c? p=2?a+b+c? ; (6)S = 2 (a + b + c)r = ? ?

1 pr(p=2(a+b+c),r 为△ABC 内切圆的半径).
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2.四边形面积公式 1 S=2l1l2sin θ(l1,l2 为对角线长,θ 为对角线夹角). 3.正弦定理及其变形 a+b+c a b c sin A=sin B=sin C=sin A+sin B+sin C=2R(2R 为△ABC 外 接圆的半径). 4.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+b2- 2abcos C.
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5.常用边角互化方法 b2+c2-a2 a b c sin A=2R;sin B=2R;sin C=2R;cos A= 2bc ; a2+c2-b2 a2+b2-c2 cos B= 2ac ;cos C= 2ab .

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热点一

正、余弦定理的基本应用

【例 1】 (2014· 北京西城区一模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对 的边分别为 a,b,c,已知 b2+c2=a2+bc. (1)求 A 的大小; 6 (2)如果 cos B= 3 ,b=2,求△ABC 的面积.

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(1)因为 b2+c2=a2+bc,

b2+c2-a2 1 所以 cos A= 2bc =2, π 又因为 A∈(0,π),所以 A=3. 6 (2)因为 cos B= 3 ,B∈(0,π), 3 所以 sin B= 1-cos B= 3 .
2

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a b 由正弦定理sin A=sin B, bsin A 得 a= sin B =3. 又因为 b2+c2=a2+bc, 所以 c2-2c-5=0,解得 c=1± 6, 又因为 c>0,所以 c= 6+1. 3 2+ 3 1 故△ABC 的面积 S=2bcsin A= . 2

规律方法 三角形问题的求解一般是从两个角度,即从“角” 或从“边”进行转化,实现“边”或“角”的统一,问题便可 突破.
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【训练 1】 (2014· 浙江卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边 分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 3,cos2A-cos2B= 3sin Acos A- 3sin Bcos B. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sin A=5,求△ABC 的面积.

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(1)由题意得

1+cos 2A 1+cos 2B 3 3 - = 2 sin 2A- 2 sin 2B, 2 2 3 1 3 1 即 2 sin 2A-2cos 2A= 2 sin 2B-2cos 2B,
? ? π? π? sin?2A-6?=sin?2B-6?. ? ? ? ?

由 a≠b,得 A≠B,又 A+B∈(0,π), π π 得 2A-6+2B-6=π, 2π 即 A+B= 3 , π 所以 C=3.
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4 8 a c (2)由 c= 3,sin A=5,sin A=sin C,得 a=5. 3 由 a<c,得 A<C,从而 cos A=5, 故 sin B=sin(A+C) 4+3 3 =sin Acos C+cos Asin C= 10 , 8 3+18 1 所以,△ABC 的面积为 S=2acsin B= 25 .

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(1)由 m· n=0,得 2cos2 x+2 3sin xcos x-y=0,

即 y=2cos2 x+2 3sin xcos x=cos 2x+ 3sin 2x+1
? π? =2sin?2x+6?+1, ? ?

所以

? π? f(x)=2sin?2x+6?+1,其最小正周期为 ? ?

π.

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热点二

正、余弦定理与其它知识的交汇问题 正、余弦定理与三角函数、平面向量结合命题

[微题型 1]

【例 2-1】 (2014· 烟台一模)已知 m=(2cos x+2 3sin x,1),n= (cos x,-y),且满足 m· n=0. (1)将 y 表示为 x 的函数 f(x),并求 f(x)的最小正周期; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边 长, f(x)(x∈R)的最大值是
?A? f? 2 ?, 且 ? ?

a=2, 求 b+c 的取值范围.

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(2)由题意得

?A? f? 2 ?=3, ? ?

π π 所以 A+6=2kπ+2(k∈Z), π 因为 0<A<π,所以 A=3. 4 4 由正弦定理,得 b=3 3sin B,c=3 3sin C,

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4 3 4 3 则 b+c= 3 sin B+ 3 sin C
? ? π? 4 3 4 3 ?2π = 3 sin B+ 3 sin? 3 -B?=4sin?B+6?, ? ? ? ?

又因为

? 2π? B∈?0, 3 ?,所以 ? ?

? ? π? ?1 sin?B+6?∈?2,1?, ? ? ? ?

所以 b+c∈(2,4],所以 b+c 的取值范围是(2,4].

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规律方法 关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定 理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法 和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函

数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.

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[微题型 2]

正、余弦定理与三角求值的结合命题

【例 2-2】 (2014· 天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的 6 边分别为 a,b,c.已知 a-c= 6 b,sin B= 6sin C. (1)求 cos A 的值; π (2)求 cos(2A-6)的值.

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b c (1)在△ABC 中,由sin B=sin C,

及 sin B= 6sin C,可得 b= 6c. 6 又由 a-c= 6 b,有 a=2c. b2+c2-a2 6c2+c2-4c2 6 所以,cos A= 2bc = =4. 2 6c2

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6 10 (2)在△ABC 中,由 cos A= 4 ,可得 sin A= 4 . 1 于是,cos 2A=2cos A-1=-4,
2

15 π sin 2A=2sin Acos A= 4 .所以,cos(2A-6)= 15- 3 π π cos 2Acos 6+sin 2Asin 6= . 8

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探究提高

解决与三角形有关的问题,优先考虑应用正余弦定

理;解决与三角恒等变换有关的问题,优先考虑角与角之间的关 π π 系(如本题中已知角 A,要求 2A-6,则由 A→2A→2A-6),把角 与角之间的关系理顺,题目的求解就有了方向.

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【训练 2】 (2014· 扬州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C,的对边 分别为 a,b,c,且 a≥b,sin A+ 3cos A=2sin B. (1)求角 C 的大小; a+b (2)求 c 的最大值.

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(1)由 sin A+ 3cos A=2sin B 得 B.

? π? 2sin?A+3?=2sin ? ?

B,即

? π? sin?A+3?=sin ? ?

因为 0<A,B<π,又 a≥b 进而 A≥B, π 2π π 所以 A+3=π-B,故 A+B= 3 ,∴C=3.

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(2)由正弦定理及(1)得
? a+b sin A+sin B 2 ? π?? ?sin A+sin ?A+ ?? = = 3?? c sin C ? 3?

= 3sin A+cos A=2sin

? π? ?A+ ?, 6? ?

a+b π 当 A=3时, c 取最大值 2.

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1.正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据,注意定理的 a 灵活变形,如 a=2Rsin A,sin A=2R(其中 2R 为三角形外接 圆的直径),a2+b2-c2=2abcos C 等,灵活根据条件求解三 角形中的边与角.

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2.三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用,如利 用“三角形的内角和等于 π”和诱导公式可得到 sin(A+B)= A+B C sin C,sin 2 =cos 2 等,利用“大边对大角”可以解决解 三角形中的增解问题,如:在斜三角形中,用正弦定理求角 时,若已知小角求大角,则有两解;若已知大角求小角,则 只有一解,注意确定解的个数.

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