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2013届高三数学一轮复习课时作业 (3)充要条件和四种命题 文 新人教B版


课时作业(三)

[第 3 讲

充要条件和四种命题]

[时间:35 分钟 分值:80 分] 基础热身 1.下列说法中正确的是( ) A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价 2 2 2 2 C.“a +b =0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为

0,则 a +b ≠0” D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 2 2 2.“a=1”是“函数 y=cos ax-sin ax 的最小正周期为 π ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 → → → → → → 3. 在△ABC 中,“AB·AC=BA·BC”是“|AC|=|BC|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ? ? ? ? 1 ? x 4.已知:A=?x∈R? <2 <8 ?,B={x|-1<x<m+1},若 x∈B 成立的一个充分不必要 ?2 ? ? ? ? 条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是________. 能力提升 5.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是( ) A.若 a?M,则 b?M B.若 b?M,则 a∈M C.若 a?M,则 b∈M D.若 b∈M,则 a?M 2 6.命题“? x0∈R,使 x0+ax0-4a<0 为假命题”是命题“-16≤a≤0”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 * 7.已知各项均不为零的数列{an},定义向量 cn=(an,an+1),bn=(n,n+1),n∈N .下 列命题中真命题是( ) * A.若? n∈N 总有 cn∥bn 成立,则数列{an}是等差数列 * B.若? n∈N 总有 cn∥bn 成立,则数列{an}是等比数列 * C.若? n∈N 总有 cn⊥bn 成立,则数列{an}是等差数列 * D.若? n∈N 总有 cn⊥bn 成立,则数列{an}是等比数列 2 2 8.设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.“x= 2”是“向量 a=(x+2,1)与向量 b=(2,2-x)共线”的____________条件. a b 10.命题“若 a>b,则 2 >2 -1”的否命题为“________________________”;命题: 2 “若 m>0,则 x +x-m=0 有实根”的否定是“________________________”. 2 11.若命题“对? x∈R,ax -2ax-3>0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是 ________. 2 12.(13 分)求证:关于 x 的方程 ax +bx+c=0 有一个正根和一个负根的充要条件是 ac<0. 难点突破
? ? x-2 ? <0? 13.(12 分) 已知全集 U=R,非空集合 A=?x? ? ?x-3a-1 ? ? ?x-a -2 ? <0? ,B=?x? ? ? x-a ?
2

.

1 (1)当 a= 时,求(?UB)∩A; 2 (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

1

课时作业(三) 【基础热身】 1.D [解析] 否命题和逆命题互为逆否命题,有着一致的真假性. 2 2 2.A [解析] 函数 y=cos ax-sin ax=cos2ax 的最小正周期为 π ?a=1 或 a=-1, 2 2 所以“a=1”是“函数 y=cos ax-sin ax 的最小正周期为 π ”的充分不必要条件. 故选 A. 3. C [解析] ∵-π <A-B<π , ∴bccosA=accosB?sinBcosA=sinAcosB?sin(A-B) → → → → → → =0?A=B?a=b,于是“AB·AC=BA·BC”是“|AC|=|BC|”的充要条件. 4. m>2 [解析] A={x|-1<x<3}, 由题意 x∈A? x∈B, 但 x∈B/? x∈A, ∴(-1,3)?(- 1,m+1),∴m>2. 【能力提升】 5.D [解析] 命题“若 a∈M,则 b?M”的逆否命题是“若 b∈M,则 a?M”,又原命题 与逆否命题为等价命题,故选 D. 2 2 6.A [解析] “? x0∈R,使 x0+ax0-4a<0”为假,即“? x∈R,使 x +ax-4a≥0” 为真,从而 Δ ≤0,解得-16≤a≤0.故选 A. an+1 n+1 7.A [解析] 由 cn∥bn 可知 = ,

an n a2 a3 a4 an 2 3 4 n * 故 an= · · ·?· ·a1= · · ·?· ·a1=na1,即? n∈N 如果 cn∥bn a1 a2 a3 an-1 1 2 3 n-1 成立,则数列{an}是等差数列. 2 2 2 2 8. A [解析] 当 x≥2 且 y≥2 时, 一定有 x +y ≥4; 反过来当 x +y ≥4, 不一定有 x≥2 且 y≥2,例如 x=-4,y=0 也可以,故选 A. 9.充分不必要 [解析] 若 a=(x+2,1)与 b=(2,2-x)共线,则有(x+2)(2-x)=2, 解得 x=± 2,所以“x= 2”是“向量 a=(x+2,1)与向量 b=(2,2-x)共线”的充分不
必要条件. a b 10.若 a≤b,则 2 ≤2 -1 2 若 m>0,则 x +x-m=0 无实根 2 11. [-3,0] [解析] 原命题是真命题, 则 ax -2ax-3≤0 恒成立, 当 a=0 时, -3≤0 成立;
? ?a<0, 当 a≠0 时,得? 解得-3≤a<0, 2 ?Δ =4a +12a≤0, ? 故-3≤a≤0. 12.[解答] 证明:充分性: 2 ∵ac<0,∴a≠0 且 b -4ac>0, 2 ∴方程 ax +bx+c=0 有两个不等实根 x1,x2.

c a 2 ∴x1,x2 异号,即关于 x 的方程 ax +bx+c=0 有一个正根和一个负根.
∵ac<0,∴a,c 异号,∴x1x2= <0, 必要性: 2 若关于 x 的方程 ax +bx+c=0 有一个正根 x1 和一个负根 x2,则 x1x2<0. ∵x1x2= ,∴ac<0,即 a、c 异号. 综上所述,关于 x 的方程 ax +bx+c=0 有一个正根和一个负根的充要条件是 ac<0. 【难点突破】 ? ? ? ? ? ? ?1 ? 5 ? 9 ? 1 ? , B = ?x? <x< ? ,所以 ( ? UB)∩A = 13 . [ 解答 ] (1) 当 a = 时, A = ?x?2<x< 2 ? 4 ? 2 ? ? ? ? ?2 ? ? ?
? ? ?9 5 ?x? ≤x< 2 ? ? ?4 ? ? ?. ? ?
2

c a

(2)若 q 是 p 的必要条件,即 p? q,可知 A? B. 2 2 因为 a +2>a,所以 B={x|a<x<a +2}.
2

1 当 3a+1>2,即 a> 时,A={x|2<x<3a+1}, 3 由?
?a≤2, ? ?a +2≥3a+1, ?
2

3- 5 3+ 5 1 3- 5 解得 a≤ 或 a≥ ,所以 <a≤ . 2 2 3 2

1 当 3a+1=2,即 a= 时,A=?,符合题意; 3 1 当 3a+1<2,即 a< 时,A={x|3a+1<x<2}, 3 由?
?a≤3a+1, ? ?a +2≥2, ?
2

1 1 1 解得 a≥- ,所以- ≤a< . 2 2 3

? 1 3- 5? 综上,a∈?- , ?. 2 ? ? 2

3


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