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(核对完)山东省潍坊市2009届高三一模考试(数学理)


山东省潍坊市 2009 届高三一模考试 理科数学
试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡 上。 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂

黑。(特别强调: 为方便本次阅卷,每位考生在认真填涂“数学”答题卡的前提下,再将Ⅰ卷选择题答案 重涂在另一答题卡上。)如需改动,用橡皮擦干净后,再改涂其它答案标号。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1) sin 45 ? cos15 ? cos 225 ? sin15 的值为
0 0 0 0

(A) ?

3 2

(B)

?

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

(2) 集合 A ? ?x || x |? 4, x ? R? , B ? ?x | x ? a?, 则“A ? B”是“a ? 5”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件
2 2

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(3)若 PQ 是圆 x ? y ? 9 的弦,PQ 的中点是(1,2)则直线 PQ 的方程是 (A) x ? 2 y ? 3 ? 0 (C) 2 x ? y ? 4 ? 0 (B) x ? 2 y ? 5 ? 0 (D) 2 x ? y ? 0

x (4)已知函数 y ? f ( x) 与 y ? e 互为反函数,函数 y ? g ( x) 的图像与 y ? f ( x) 图像关

于 x 轴对称,若 g (a) ? 1 ,则实数 a 值为 (A) ?e (B) ?

1 e

(C)

1 e

(D) e

(5) 抛物线 y 2 ? ?12 x 的准线与双曲线等 于 (A) 3 3 (B) 2 3

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形面积等 9 3

(C)2

(D)

3

(6)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 体积等于 (A) 4 (C) 8 (B) 6 (D)12

(7)张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见, 首尾一定要排两位爸爸,另外,两位小孩一定要排在一起,则这 6 人的入园顺序排法种 数共有
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(A) 12

(B)24

(C)36

(D)48

学科网

(8)将函数 y ? cos( x ? 向左平移

?
3

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再

? 个单位,所得函数图象的一条对称轴为 6 ? ? ? (A) x ? (B) x ? (c) x ? 9 8 2

(D)

x ??

(9)已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是 (A)若 a ? ? , a ? ? , 则 ???? (c)若 m??n , m ??? ,则 n ??? (B)若 m??n ,m ? n , n ? β,则 ???? (D)若 n ? ? , n ? ? ,则 ????

(10)某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投人生产,已 知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f (n) ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 吨,但如果年产 2

量超过 150 吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线 拟定最长的生产期限是 (A)5 年 (11)设函数 f ( x) ? ? (B)6 年 (C)7 年 (D)8 年

??2????????????????( x ? 0)
2 ? x ? bx ? c????( x ? 0)

2) ? 0, 则关于 x 的不等 ,若 f (?4) ? f (0), f( ?

式 f ? x ? )≤1 的解集为

(A) ? ??, ?3???1, ??? ) (C) ? ?3, ?1?

(B) ? ?3, ?1? (D) ? ?3, ?? ?

? 0, ???

(12)将长度为 1 米的铁丝随机剪成三段,则这三段能拼成三角形(三段的端点相接) 的概率等于 (A)

1 8

(B)

1 4

(C)

1 3

(D)

1 2

第Ⅱ 卷
注意事项:

(非选择题共 90 分)

1.第Ⅱ 卷包括填空题和解答题共两个大题. 2.第Ⅱ 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上. 二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 4 分.共 16 分. (13)对任意非零实数 a、b,若 a ? b 的运算原理如图所 示,则 lgl000 ? ( )

1 2

?2

=___________.
4 2 ,且 a4 ? ? (1 ? 2 x)dx , 1 3

(14)若等比数列 ?an ? 的首项为 则公比等于__________. (15) 若椭圆

x2 y 2 3 ? ? 1 的离心率等于 , 则 m ? ______. 4 m 2

(16)已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,对于 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立, 当 x1 , x2 ?[0,3] ,且 x1 ? x2 时,都有 ① f (3) ? 0 ; ② 直线 x ? ?6 是函数 y ? f ( x) 的图象的一条对称轴; ③ 函数 y ? f ( x) 在 [?9, ?6] 上为增函数; ④ 函数 y ? f ( x) 在 [?9,9] 上有四个零点. 其中所有正确 命题的序号为___________. (把所有正确 命题的序号都 填上) .. .. .

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 给出下列命题: x1 ? x2

三、解答题:本大题共 6 小题。共 74 分.解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) △ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,向量 m=(2sinB,2 ? cos2B) ,

? B n ? (2sin 2 ( ? ), ?1) , m ? n , 4 2
(I)求角 B 的大小; (Ⅱ )若 a ? 3 ,b=1,求 c 的值.

(18) (本小题满分 12 分) 正方体.ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 l,点 F 为 A1D 的中点. (I)证明: A 平面 AFC; 1B ∥ (Ⅱ )求二面角 B ? AF ? C 的大小.

(19) (本小题满分 12 分) 某中学组建了 A、B、C、D、E 五个不同的社团组织.为培养学生的兴趣爱好,要求每个 学生必须参加,且只能参加一个社团.假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选 择是等可能的. (I)求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法种数; (Ⅱ )求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的概率; (Ⅲ )设随机变量 ? 为甲、乙、丙这三个学生参加 A 社团的人数,求 ? 的分布列与 数学期望.

(20) (本小题满分 12 分) 定义在 ??1,1? 上的偶函数 f ? x ? ,已知当 x ?? ?1,0? 时, f ( x) ? (I)写出 f ? x ? 在 ?0,1? 上的解析式; (1I)求 f ? x ? 在 ?0,1? 上的最大值;

1 a ? (a ? R) . 4x 2x

(Ⅲ )若 f ? x ? 是 ?0,1? 上的增函数,求实数 a 的取值范围.

(21) (本小题满分 12 分) 已知双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 2 的左、右两个焦点为 F 1 , F2 ,动点 P 满足|P F 1 |+| P F2 |=4. (I)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (1I)设过 F2 且不垂直于坐标轴的动直线 l 交轨迹 E 于 A、B 两点,问:线段 O F2 上是否存在一点 D,使得以 DA、DB 为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明.

(22) (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x2 ? 2(?1)k ln x(k ? N ? ), f ?( x) 表示 f ( x ) 的导函数。 (I)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间;
2 2 (Ⅱ )当 k 为偶数时,数列{ an }满足 a1 ? 1, an f ?(an ) ? an ?1 ? 3 .证明:数列{ an }中

不存在成等差数列的三项; (Ⅲ )当 k 为奇数时,证明:对任意正整数 n 都有 [ f ?( x)] ? 2
n n?1

f ?( xn ) ? 2n (2n ? 2) 成

立.

2009 年高考模拟考试 理科数学参考答案及评分标准
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算-每小题 5 分,共 60 分 CBBCA ABCDC CB

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 4 分,共 16 分 (13)1 (14)3 (15)1 或 16 (16)① ② ④

三、 ,解答题:?本大题共 6 小题。共 74 分. (17) (本小题满分 12 分) 解: (I)

m ? n ? m ? n ? 0,? 4sin B ? sin 2 ( ? ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 ,………2 分 4 2

?

?

2sin B[1 ? cos( ? B)] ? cos 2 B ? 2 ? 0,????? 2sin B ? 2sin 2 B ? 1 ? 2sin 2 B ? 2 ? 0 2 1 ? sin B ? …………………………………………………………………………………5 分 2 ? 5 0 ? B ? ? ,? B ? 或 ? …………7 分 6 6
(Ⅱ )

?

a ? 3 ? b,? 此时B ?
2 2

?

6
2

………………8 分

方法一:由余弦定理得: b ? a ? c ? 2ac cos B ,

??c2 ? 3c ? 2 ? 0,????????????c ? 2或c ? 1
方法二:由正弦定理得:

………………………………12 分

b a ? , sin B sin A

?

1 3 3 ? 2 ? ,???? sin A ? ,??? 0 ? A ? ? ,???? A ? 或 ?, ……………………9 分 1 sin A 2 3 3 2
若A?

,??????? 边c ? 2; 3 6 2 2 2 ? ? 若A ? ?,则角C=? ? ? ? ? , ? 边c ? b,? c ? 1 3 3 6 6 , 所以角C=

?

,因为B ?

?

?

综上c ? 2或c ? 1 ………………………………………………………………12 分

(18) (本小题满分 12 分) 解:以顶点 A 为原点建立如图所示空间直角坐标系 A ? xyz ,则

1 1 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C (1,1, 0), A1 (0, 0,1), F (0, , ), B1 (1, 0,1) 2 2
(I)设 n ? ( x, y,1), 是平面AFC的一个法向量。

………………2 分

? 1 1? AF ? ? 0,, ? ,AC ? ?11 , , 0 ? ,A1B ? ?1, 0, ? 1? . ? 2 2?
∵ ?

? ?n ? AF ? 0 ? ?n ? AC ? 0

∴?

? y ?1 ? 0 ?x ? y ? 0

∴ ?

? y ? ?1 ?x ? 1

∴n ? (1, ?1,1) ……………………………………5 分

A1B ? n ? 1? 0 ?1,?????? A1B⊥n,又A1B ? AFC, ???? A1B // 平面AFC
(Ⅱ )设 m ? ( x, y,1)是平面BAF的一个法向量。 . ∵ ?

……………7 分

?m ? AB ? 0 ? ? ?m ? AF ? 0

∴ ?

?x ? 0 ? y ? ?1

∴m ? (0, ?1,1),

……………9 分

cos ? m, n ??

m?n 1?1 6 , ? ? | m|?| n | 3 2? 3

又 m 与 n 所成角的大小与二面角 B ? AF ? C 的大小相等, ∴ 二面角 B ? AF ? C 的大小为 arcos

6 3

…………………………………12 分

(19)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ )甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方法数是 5 种, 故有 5× 5× 5=125(种) ……………………………………………………3 分 (Ⅱ )三名学生选择三个不同社团的概率是:
3 A5 12 ? …………………5 分 3 5 25

∴ 三名学生中至少有两人选择同一个不同社团的概率是: 1 ? (Ⅲ )由题意 ? ? 0,1, 2,3.

12 13 ? . ……6 分 25 25

P(? ? 0) ?

1 C3 ? 42 48 43 64 ? ; P ( ? ? 1) ? ? ; 53 125 53 125 3 C32 ? 4 12 C3 1 ? ; P ( ? ? 3) ? ? , 3 3 5 125 5 125

P(? ? 2) ?

∴? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

64 125

48 125

12 125

1 125

……………………………………………………………………………………10 分 ∴ 数学期望 E? ? 0 ?

64 48 12 1 1 ? 1? ? 2? ? 3? ? 125 125 125 125 5

……………………12 分

(20)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ )设 x ? [0,1], 则 ? x ? [ ?1, 0], f ( x) ?

1 a ? ? x ? 4x ? a ? 2x ?x 4 2

? f ( x) ? a ? 2x ? 4x , x ?[0,1] ……………………………………………………3 分
(Ⅱ )

f ( x) ? a ? 2x ? 4x , x ?[0,1].
a a2 ? g (t ) ? a ? t ? t 2 ? ?(t ? ) 2 ? ………………………5 分 2 4

令 t ? 2 , t ?[1, 2],
x

a 当 ? 1, 即a ? 2, g (t ) max ? g (1) ? a ? 1. 2

当1 ?

a a a2 ? 2,即2 ? a ? 4时,g (t )max ? g ( ) ? . 2 2 4

a 当 ? 2, 即a ? 4时,g (t ) max ? g (2) ? 2a ? 4. 2

综上:当a ? 2时,f ( x)最大值为a ?1,
当2 ? a ? 4时, . f ( x)最大值为

a2 , 4
…………………………………………8 分

当a ? 4时,f ( x)最大值为2a ? 4.

(Ⅲ )因为函数 f ( x ) 在[0,1]上是增函数,

所以 f ' ( x) ? a ln 2 ? 2x ? ln 4 ? 4x ? 2x ln 2(a ? 2 ? 2x ) ? 0,

…………10 分

? a ? 2 ? 2x ? 0恒成立,a ? 2 ? 2x 恒成立.

2x ?[1, 2],????????? a ? 4

……………………12 分

(21)(本小题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1, 则 | F1F2 |? 2 3. 解:(Ⅰ )双曲线的方程可化为 2
,3 ? |PF | 4? |F | 2 1 |? |PF 2 ? 1 F 2 ?

………………1 分

∴P 点的轨迹 E 是以 F1、F2 为焦点,长轴为 4 的椭圆,………………………2 分

设 E 的方程为

x 2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0). a 2 b2

由2a ? 4, 2c ? 2 3得a ? 2, c ? 3,?b2 ? 1
故所求方程为 x2 ? y 2 ? 1. 4
…………………………………………………4 分 ………………………………………………4 分

(Ⅱ )存在满足条件的 D.

设满足条件的点 D(m, 0), 则 0 ? m ? 3 。 设 l 的方程为 y ? k ( x ? 3),(k ? 0) , 代人椭圆方程,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8 3k 2 x ?12k 2 ? 4 ? 0

设A (x1 , y1 ) ,B (x2 , y2 ) , 则x1 ? x2 ?

8 3k 2 1 ? 4k 2
…………………………………………6 分

? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2 3) ?

?2 3k 1 ? 4k 2

∵ 以 DA、DB 为邻边的平行四边形为菱形, ∴( DA ? DB)⊥AB.

DA ? DB ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 ? x2 ? 2m, y1 ? y2 )

8 3k 2 ?2 3k ?( ? 2m, ), AB的方向向量为(1, k ), 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

( DA ? DB) ? AB ? 0 ,……………………………………………………………8 分
∵k ? 0
2

∴ m?

3 3 ? 3, 4

∴ 0 ? m ? 3.

∴ 存在满足条件的点 D。

……………………………………………………12 分

(22)(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ )函数的定义域为(0,+∞), 又 f ?( x) ? 2 x ? 2(?1)
k

1 2[ x 2 ? (?1) k ] ? x x 2( x 2 ? 1) , x

…………1 分

10 当 k 为奇数时, f ?( x) ?

x ? (0, ??),? f ?( x) ? 0在(0, ??)恒成立 。
即 f ?( x ) 的单调递增区间为 (0, ??). …………2 分

20 当 k 为偶函数时, f ?( x) ?

2( x 2 ? 1) 2( x ? 1)( x ? 1) ? , x x

又x ? (0, ??),? x ? 0, x ? 1 ? 0,
? x ? 1 ,即 f ( x) 的单调递增区间为 (1, ??) ,…3 分 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ? 0,????
综上所述:当 k 为奇数时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) , 当 k 为偶数时, f ( x ) 的单调递增区间为 (1, ??). (Ⅱ )当 k 为偶数时,由(Ⅰ )知 f ?( x) ?
2 2(an ? 1) . an

…………4 分

2( x 2 ? 1) , x

所以 f ?(an ) ?

根据题设条件有 2(an ?1) ? an?1 ? 3,????? ?an?1 ? 2an ?1,????an?1 ?1 ? 2(an ?1),
2 2 2 2 2 2 2 ∴ { an ?1 }是以 2 为公比的等比数列。

…………6 分

2 2 ∴an ?1 ? (a12 ?1) ? 2n?1 ? 2n ,????????an ? 2n ?1.

………………………………7 分

2 2 2 假设数列{ an }中存在三项 ar , as , at2 成等差数列 2 2 不妨设 r<s<t,则 2 as = ar + at2

即 2(2s ?1) ? 2r ?1 ? 2t ?1, 2s ?1 ? 2r ? 2t ,?2s ?r ?1 ? 1 ? 2t ?r 又 s ? r ? 1 ? 0, t ? r ? 0,????? ? 2s ?r ?1为偶数, 1 ? 2t ?r 为奇数,假设不成立,

因此,数列{a 2 中不存在成等差数列的三项。 n}
(Ⅲ )当 k 为奇数时 f ? ? 2( x ? ),

………9 分

1 x 1 1 n 即证: 2n ( x ? ) n ? 2n ?1 ? 2( x n ? n ) ? 2( 2n ? 2) , x x 1 1 即证: ( x ? ) n ? ( x n ? n ) ? 2n ? 2 x x

………10 分

方法一:由二项式定理,即证:
1 n ?2 2 n ?4 3 n?6 n?1 2?n Cn x ? Cn x ? Cn x ???? ? Cn x ? 2n ? 2, 1 n ?2 2 n ?4 3 n?6 n?1 2?n 设 Sn ? Cn x ? Cn x ? Cn x ???? ? Cn x , n?1 2?n n?2 4?n n?3 6?n 1 2?n 又 Sn ? Cn x ? Cn x ? Cn x ???? ? Cn x , 1 2 n?1 两式相加得: 2Sn ? Cn ( xn?2 ? x2?n ) ? Cn ( xn?4 ? x4?n ) ???? ? Cn ( x2?n ? xn?2 ), …12 分
1 2 n ?1 ? 2 ? Cn ? Cn ? ??? ? Cn ? ? 2 ? 2n ? 2 ?

∴ Sn ? 2n ? 2,即原不等式成立。 方法二:(数学归纳法) 当 n=1 是,左边=0,右边=0,显然不等式成立 设 n=k+1 时: ( x ? )

………14 分

………10 分

1 k ?1 1 1 1 1 ? ( x k ?1 ? k ?1 ) ? ( x ? ) k ( x ? ) ? ( x k ?1 ? k ?1 ) x x x x x 1 1 1 ? [(2k ? 2) ? x k ? k ]( x ? ) ? ( x k ?1 ? k ?1 ) x x x 1 1 1 1 ? (2k ? 2)( x ? ) ? x k ?1 ? k ?1 ? k ?1 ? x k ?1 ? k ?1 x x x x 1 1 ? (2k ? 2)( x ? ) ? x k ?1 ? k ?1 , x x
k

又 K ? 1, 2 ? 2 ? 0,

1 1 ? (2k ? 2)( x ? ) ? x k ?1 ? k ?1 ? (2k ? 2) ? 2 ? 2 ? 2 K ?1 ? 2, x x

? n=k+1 时结论成立。
综上,对一切正整数 n 结论成立。 ………………………………………14 分


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