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鞍山一中2015届高三四模考试数学(理科)试卷及答案

时间:2015-04-28


鞍山一中 2015 届高三四模考试数学(理科)试卷
命题人:周兴奎 校对人:孙方辉


一、选择题(每小题只有一个答案符合题意,每小题 5 分,共 60 分)
2 1、设集合 A= x | x ? 4 , B= ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0? ,则 A∩B=(

?

?



A.R

B.(2,3)

C.(-3,-2)

D.(-3,-2)∪(2,+∞) ) D.

2、已知 i 为虚数单位, (2+i) z =1+2i ,则 z 的共轭复数 z =( A.

4 3 ? i 5 5

B.

3、已知 cos(? ? A.

?

7 9

1 ? ,则 cos( ? 2? ) ? ( 3 3 3 7 1 B. ? C. 9 9 )?

4 3 ? i 5 5

C.

4 ?i 3
) D. ?

4 ?i 3

1 9

4、下列说法正确的是( ) A. 在 ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 的充要条件 B. a ? b ? 0 是 a 与 b 夹角为钝角的充要条件 C. 若直线 a , b ,平面 ? , ? 满足 a ? ? , ? ? ? , b ? ? , b ? ? 则 a ? b 能推出 b ? ? D. 在相关性检验中,当相关性系数 r 满足 | r |? 0.632 时,才能求回归直线方程

?x ? y ? 2 ? 0 ? 5、 设 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ? 0 , 则 3x+2y ?x ? y ? 0 ?
的最大值为( A.-1 B. 4 ) C.

22 3

D. 8

6、若输出的 i=5,则 k 的最小正整数值为( ) A.88 B.89 C.8095 D.8096 7、已知 1,2,3,4,5,6, 六个数字,排成 2 行 3 列,且要求第一行的最大数比第二行的最大数要 大,第一行的最小数要比第二行的最小数也要大, 则所有的排列方法种数有( )
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A. 144 B.480 C.216 D.432 8、一个三棱锥的三视图如图所示,主视图和俯视图为全等的 等腰直角三角形,则该三棱锥的体积为( ) A.

1 12

B.

1 6

C.

1 4

D.

1 3

9、已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , P 为抛物线上一点, 过 P 作 y 轴的垂线,垂足为 M,若 | PF |? 4, 则 ? PFM 的面积为( A. 3 3 B. 4 3 C. 6 D. 8 )

10、已知函数 f ( x ? 1) 为定义在 R 上的偶函数,且当 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上为增函数,若

a ? 20.1 ? 1, b ? 1? 2? 0.1, ,则 f (a ) 与 f (b) 的大小关系为(
A. f ( a ) ? f (b) B. f ( a ) < f (b) C. f ( a ) = f (b)



D. f ( a ) 与 f (b) 的大小不确定
?

11、三棱锥 S-ABC 中,平面 SBC⊥平面 ABC,若 SB=SC,AB=AC=1 且∠BAC= 120 , SA 与底面 ABC 所成角为 60 ,则三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积为( A. 2? B. 3? C. 4? D. 5?
?



12、已知函数 f ( x) ? ex ? mx ? ex ln x ? 1 ,且定义域为 ? 0, e? ,若函数 f ( x ) 在定义域 内有两个极值点,则 m 的取值范围为(
e A. ? ?0, e ? 2e ? ?


e C. 0, e ? 2e

B.

? 0, e

e

? 2e ? ?

?

?

D.

?e

e

? 2e, ?? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

AN ? BM =___________ 13、 已知等边 ?ABC 的边长为 2, N 为 BC 中点, M 为 AC 中点,
14、已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,若 f (x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,则 f ( x ) 的单

?

4

调递增区间为_________________

(k ? Z )

15、已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的左右焦点分别记为 F1 , F2 ,若 P 为双曲线

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的渐近线上一点,若 | PF ,求双曲 1 ? PF 2 |?| PF 1 ? PF 2 | ,且 | PF2 |? a ( a 为实半轴长) 线的离心率____________ 16、在曲线 xy=1 上,横坐标为

n n 的点为 An ,纵坐标为 的点为 Bn ,记坐标为 n ?1 n ?1

( 1 , 1 ) 的 点 为 M , Pn ( xn , yn ) 是 ?An Bn M 的 外 心 , Tn 是 ?xn ? 的 前 n 项 和 , 则

Tn =_______________
三、解答题(本大题共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 17、已知 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? 3Sn ? 2n ? 1 , a1 ? 1 , (1)求 an (2)若 bn ? n(an ? 1) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn

18、在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面 ABC 为等边三角形,且 AA 1 ? 2 AB , D 、 M 分别为 AB , CC1 的中点,求证: (1) CD 平面 A1BM (2)求二面角 A 1 ? BM ? D 的大小的余弦值

A1

C1

B1 M

A D B
第 18 题图
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C

19、2015 年 2 月 27 日,中央全面深化改革小组审议通过了《中国足球改革总体方案》 , 中国足球的崛起指日可待!已知有甲、乙、丙三支足球队,每两支球队要进行一场比赛, 比赛之间相互独立. (1)若甲、乙、丙三支足球队实力相当,每两支球队比赛时,胜、平、负的概率均为

1 , 3

求甲队能保持不败的概率 (2)若甲、乙两队实力相当,且优于丙,具体数据如下表 若获胜一场积 3 分,平一场积 1 分,输一场积 0 分,记 X 表示甲队的积分,求 X 的分布 列和数学期望
事件 概率 事件 概率

甲胜乙

甲平乙

甲输乙

甲胜丙

甲平丙

甲输丙

概率

1 3

1 3

1 3

概率

2 3

1 6

1 6

事件 概率

乙胜丙

乙平丙

乙输丙

概率

2 3

1 6

1 6

20、已知椭圆 C:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,左、右焦点分别为 F1 , F2 2 a b 2

过 F1 作不与 x 轴重合的直线 l1 ,与椭圆 C 交于 P, Q 两点,若 ?PQF2 的周长为 4 2 . (1) 求椭圆 C 的标准方程 (2) 过 F1 作与直线 l1 垂直的直线 l2 ,且 l2 与椭圆 C 交于点 M , N 两点,求四边形

PMQN 面积的取值范围

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21、已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? a( x ? 1) , a ? R (1)若 a ? 0 时,求 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线 (2)若函数 f ( x) ? 0 对 ?x ? (1, ??) 恒成立. 求 a 的取值范围 (3)从编号为 1 到 2015 的 2015 个小球中,有放回地连续取 16 次小球 (每次取一球) ,
120 1 2011 记所取得的小球的号码互不相同的概率为 p ,求证: ? e p

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 ( 22 ) 选修 4- l :几何证明选讲 己知△ ABC 中,AB=AC , D 是△ ABC 外接圆 A 劣弧 AC 上的点(不与点 A , C 重合) ,延长 BD 至 E。 (1)求证:AD 的延长线平分 ?CDE ; (2)若 ?BAC ? 30 ,△ ABC 中 BC 边上的高 2 ? 3 ,
0

D
F

E

求△ ABC 外接圆的面积. (23)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

B

C

? x ? 2 cos? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正 ? y ? 3 sin ?

半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上, π 且 A、B、C、D 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ) 3 (Ⅰ )求点 A、B、C、D 的直角坐标; (Ⅱ )设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围. (24)选修 4 ? 5:不等式选讲 (I)已知 x, y 都是正实数,求证: x ? y ? x y ? xy ;[来源:学科网 ZXXK]
3 3 2 2

(II)已知 a, b, c 都是正实数,求证: a ? b ? c ?
3 3 3

1 2 (a ? b 2 ? c 2 )(a ? b ? c ) . 3

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鞍山一中 2015 届高三四模考试数学(理科)答案
一、选择题:CBAAC BCBAB CC 二、填空题:13、 ?

3 2

14、 [?

3? ? ? 2 k? , ? 2 k? ] 4 4

15、

1? 3 2

16、

4 n 2 ? 5n 2n ? 2

17 、 17 、 由 ?

n? 1 ? Sn ?1 ? 3Sn ? 2 ,( n ? 2 ) 得 an?1 ? 3an ? 2 S ? 3 S ? 2 n ( ? 1 ? ) 1 n ?1 ? n

(n ? 2) , 又

a1 ? 1, a2 ? 5, 符合上式? an?1 ? 3an ? 2 (n ? 1) ? an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) , ?

an ?1 ? 1 ?3 an ? 1
n?1 ? 2

?

{an ? 1}











an ?1

?3

n?1 ?1 ? an ? 2 ? 3

……………………………6 分

(2) bn ? 2n ? 3n?1

Tn ? 2 ? 30 ? 4 ? 31 ???? ? 2n ? 3n?1 3Tn ? 2 ? 31 ? 4 ? 32 ???? ? 2n ? 3n

作差得 ?2Tn ? 2 ? 30 ? 2 ? 31 ???? ? 2 ? 3n?1 ? 2n ? 3n 化简整理得 Tn ? ( n ? )3 ?
n

1 2

1 2

……………………………12 分

18、 (1)取 A 1B 的中点 E,连接 ME,DE,则由 D、M 分别为 AB、 C1C 中点,则有 DE 为三角形 A 1 AB 的中位线,所以 DE

? CD EM ……………………………5 分 A1 B M

1 A1 A MC ? 四边形 DEMC 为平行四边形。 2 又 EM ? 平面A CD ? 平面A1BM ? CD 平 面 1BM

(2)在底面 ABC 内作直线 AN⊥AC, 如图, 由直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 A 1 A ? 平面ABC ,

A1 A ? AC, A1 A ? AN , 以 A 为坐标原点,分别以射线 AN,AC, A1 A 的方向为 x,y, z
轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A-xyz , 设 AB= 2 a ,则 A ,4 ) 1 ( 0 , 0a

B( 3a, a, 0), M (0, 2a, 2a), D(

3 1 a, a, 0) 2 2
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数学科试卷

BM ? (? 3a, a, 2a), BA1 ? (? 3a, ?a, 4a), BD ? (?

3 1 a, ? a, 0), 2 2

设平面 A1BM 和平面 BMD 的一个法向量分别为 m ? ( x1, y1, z1 ), n ? ( x2 , y2 , z2 )

? ?m ?BM ? 0 ? ?? 3x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ?? , 令 x1 ? 1, m ? (3, 3, 3) ? ?m ?BA1 ? 0 ? ?? 3x1 ? y1 ? 4 z1 ? 0 ? ?? 3x2 ? y2 ? 2 z2 ? 0 ? ?n?BM ? 0 ? ?? , 令 x2 ? 1, n ? (1, ? 3, 3) ? n ? BD ? 0 ? 3 x ? y ? 0 ? ? ? ? 2 2

cos? m, n? ?

mn 105 ,设所求二面角 A ? 1 ? BM ? D 的大小为 ? ,且为锐角 35 | m || n |
105 ,即为所求二面角余弦值 ……………………………12 分 35

? cos ? ?

19、 (1)设事件 A 为“甲队能保持不败” 即甲队保持不败的概率为

2 2 4 P ( A) ? ? ? 3 3 9

4 …………………………4 分 9

(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P( X ? 0) ? ? ? , P( X ? 1) ? ? ? ? ? , P( X ? 2) ? ? ? 3 6 18 3 6 3 6 9 3 6 18 1 1 1 2 5 P( X ? 3) ? ? ? ? ? 3 6 3 3 18 1 1 1 2 5 1 2 2 P( X ? 4) ? ? ? ? ? , P ( X ? 6) ? ? ? 3 6 3 3 18 3 3 9 ? X 的分布列为
X P 0 1/18 1 1/9 2 1/18 3 5/18 4 5/18 6 2/9

,

E( X ) ?

7 ……………………………12 分 2

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? 4a ? 4 2 ? ? 2 ?a ? 2 ?c 20、 (1)由题意 ? ? ,? 2 ? ?b ? 1 ?a 2 2 2 ?a ? b ? c ? x2 ? 所求椭圆 C 的椭圆方程为 ? y 2 ? 1 ……………………………3 分 2
(2)若直线 l1 斜率不存在,则此时 | PQ |?

2 , | MN |? 2 2 , 四边形 PQMN 的面积

S?

| PQ | ? | MN | ?2 2

若直线 l1 的斜率存在且不为 0,则可设 l1 : y ? k ( x ? 1) , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ,消去 y 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 ?2
| PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | =
同理,用 ?

(4k 2 )2 ? 4(2k 2 ? 2)(2k 2 ? 1) k 2 ?1 2 ? k ? 1 ? 2 2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

1 k 2 ?1 代替 k ,得 | MN |? 2 2 2 k k ?2

四边形 PQMN 的面积 S ?

| PQ | ? | MN | k 4 ? 2k 2 ? 1 1 k2 ?4 4 4( ? ) = 2 2k ? 5k 2 ? 2 2 4k 4 ? 10k 2 ? 4

= 4( ?

1 2

4 4 1 2 当且仅当 k ? 1 时等号成立, ) , 4k 2 ? 2 ? 2 4k 2 ? 2 ? 8 , 4 k k 2 4k ? 2 ? 10 k

?

1 1 1 1 16 ? (0, ] ,? 4( ? ) ?[ , 2) 4 16 2 4k 2 ? 4 ? 10 9 4k 2 ? 2 ? 10 k k2 16 综上所述,四边形 PQMN 的面积 S ? [ , 2] ……………………………12 分 9

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21、 (1)当 a ? 0 时 f ( x) ? ( x ? 1) ln x , f (1) ? 0 , f ?( x) ? ln x ?

所以, f ( x ) 在 x ? 1 处的切线为 2 x ? y ? 2 ? 0 ……………………………2 分 (2)由题意: ( x ? 1) ln x ? a( x ? 1) ? 0 对 x ? (1, ??) 恒成立,即:

x ?1 , f ?(1) ? 2 x

ln x ?

a ( x ? 1) ? 0 对 x ? (1, ??) 恒成立 x ?1 a ( x ? 1) , x ? (1, ??) , x ?1

g ( x) ? ln x ?

g ?( x) ?

x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 , ( x ? 1) x( x ? 1)2

令 h( x) ? x2 ? (2 ? 2a) x ? 1 , ( x ? 1) , ① 当 a ? 2 时, h( x) 的对称轴为 x ? a ? 1 ? 1 ? h( x) 在 (1, ??) 上递增,

? h( x) ? h(1) ? 4 ? 2a ? 0 ,所以 g ?( x) ?

x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0 ( x ? 1) 恒成立 x( x ? 1)2

? g ( x) 在 (1, ??) 上递增,? g ( x) ? g(1) ? 0 恒成立,符合要求
2 ② a ? 2 时, ? ? (2 ? 2a) ? 4 ? 4a(a ? 2) ? 0 且 h(1) ? 4 ? 2a ? 0



? h( x) ? 0 ( x ? 1) 有唯一根 x ? x0 ? x ? (1, x0 ) 时, h( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 ? g ( x) 在 (1, x0 ) 上递减,? ?x ? (1, x0 ) , g ( x) ? g(1) ? 0 ,这与 g ( x) ? 0 ( x ? 1) 恒成
立矛盾。舍去 综上: a ? 2 ……………………………8 分

( 3 )

p?

2015 ? 2014 ????? 2000 201516

0 0 , 由 2 0 ?

?2 0 21 4 , 2???0 0 7

2006 ? 2008 ? 20072

p?

2( x ? 1) 2015 ? 2014 ????? 2000 200715 ? ( x ? 1) , 又由(2)得 ln x ? 16 15 x ?1 2015 2015

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?

2015 2( ? 1) 2015 8 ln ? 2007 ? 2015 2007 2011 ?1 2007

?

8 2015 ? e 2011 2007



(

120 2015 15 ) ? e 2011 2007

120 1 2015 15 2011 ) ?e ? ?( p 2007

……………………………12 分 ( 22 ) 解:( 1 )如图,设 F 为 AD 延长线上一点,∵A,B,C, D 四点共圆, ?CDF = ?ABC , 又 AB=AC ,∴ ?ABC ? ?ACB ,且 ?ADB ? ?ACB , ∴ ?ADB ? ?CDF ,对顶角 ?EDF ? ?ADB ,故 ?EDF ? ?CDF , 故 AD 的延长线平分 ?CDE 。……………………5 分 .( 2)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H ,则 AH⊥BC , 连接 OC ,由题意 ? OAC= ? OCA = 15 , ?ACB ? 75 ,

A

O
H
C

D

3 ∴ ?OCH ? 60 ,设圆半径为 r,则 r ? r ? 2 ? 3 ,……………………………10 2
分 得:r= 2 ,故外接圆面积为 4? 。

B

, 2sin ) , B(2 cos( ? ), 2sin( ? )) , 3 3 3 2 3 2 ? ? ? 3? ? 3? C (2 cos( ? ? ), 2sin( ? ? )) , D(2 cos( ? ), 2sin( ? )) , 3 3 3 2 3 2 即 A(1, 3 ),B(- 3 ,1) ,C(―1,― 3 ) ,D( 3 ,-1) ,…………………5
(23)(Ⅰ )由已知可得 A(2 cos 分 (Ⅱ )设 P(2cos ? ,3sin ? ) ,令 S = | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | ,
2 2 2 2

?

?

?

?

?

?

则 S = 16cos ∵0 ? sin
2

2

? ? 36sin 2 ? ? 16 = 32 ? 20sin 2 ? ,
3 2 2 2 2

? ? 1 ,∴S 的取值范围是[32,52]. ……………………………10 分
3

(24)(Ⅰ )∵( x ? y ) ? ( x y ? xy ) ? x ( x ? y) ? y ( y ? x) [来源:学科网]

? ( x ? y)( x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 ( x ? y) ,
又∵x, y ? R , ∴( x ? y) ? 0, x ? y ? 0 , ∴( x ? y) ( x ? y) ? 0 , ∴x ? y ? x y ? xy
2 2 3 3 2 ? 2

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法二:∵x2 ? y 2 ? 2 xy ,又∵x, y ? R ? ,∴x ? y ? 0 , ∴( x2 ? y 2 )( x ? y) ? 2 xy( x ? y) ,展开得 x3 ? y3 ? x2 y ? xy 2 ? 2x2 y ? 2xy 2 , 移项,整理得 x3 ? y3 ? x2 y ? xy 2 ………………………………5 分

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