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高中数学必修2


第三章 直线与方程
一、选择题 1.下列直线中与直线 x-2y+1=0 平行的一条是( A.2x-y+1=0 C.2x+4y+1=0 ).

B.2x-4y+2=0 D.2x-4y+1=0 ).

2.已知两点 A(2,m)与点 B(m,1)之间的距离等于 13 ,则实数 m=(
A.-1 B .4 C.-1 或 4

r />
D.-4 或 1

3.过点 M(-2,a)和 N(a,4)的直线的斜率为 1,则实数 a 的值为( A.1 B .2 C .1 或 4

).
D.1 或 2

4.如果 AB>0,BC>0,那么直线 Ax―By―C=0 不经过的象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

).
D.第四象限

5.已知等边△ABC 的两个顶点 A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则 BC

边所在的直线方程是(
A.y=- 3 x C.y= 3 (x-4)

).
B.y=- 3 (x-4) D.y= 3 (x+4)

6.直线 l:mx-m2y-1=0 经过点 P(2,1),则倾斜角与直线 l 的倾斜角互为补角的一

条直线方程是(

).
B.2x―y―3=0 D.x+2y-4=0

A.x―y―1=0 C.x+y-3=0

7.点 P(1,2)关于 x 轴和 y 轴的对称的点依次是( A.(2,1),(-1,-2) C.(1,-2),(-1,2)

).

B.(-1,2),(1,-2) D.(-1,-2),(2,1)

8.已知两条平行直线 l1 : 3x+4y+5=0,l2 : 6x+by+c=0 间的距离为 3,则 b+c=

(

).
A.-12 B.48 C.36 D.-12 或 48

9.过点 P(1,2),且与原点距离最大的直线方程是( A.x+2y-5=0 C.x+3y-7=0

).

B.2x+y-4=0 D.3x+y-5=0

10.a,b 满足 a+2b=1,则直线 ax+3y+b=0 必过定点(
? 1 1? A . ?- , ? ? 6 2? 1? ?1 B. ? ,- ? 6? ?2 ?1 1? C. ? , ? ?2 6?

).
1? ?1 D . ? ,- ? 2? ?6

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二、填空题 11.已知直线 AB 与直线 AC 有相同的斜率,且 A(1,0),B(2,a),C(a,1),则实数 a 的值是____________. 12.已知直线 x-2y+2k=0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1,则实数 k 的 取值范围是____________. 13.已知点(a,2)(a>0)到直线 x-y+3=0 的距离为 1,则 a 的值为________. 14.已知直线 ax+y+a+2=0 恒经过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程是 ____________________. 15.已知实数 x,y 满足 5x+12y=60,则 x 2 + y 2 的最小值等于____________. 三、解答题
16.求斜率为
3 ,且与坐标轴所围成的三角形的周长是 12 的直线方程. 4

17.过点 P(1,2)的直线 l 被两平行线 l1 : 4x+3y+1=0 与 l2 : 4x+3y+6=0 截得的线

段长|AB|= 2 ,求直线 l 的方程.

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18.已知方程(m2―2m―3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0(m∈R). (1)求该方程表示一条直线的条件; (2)当 m 为何实数时,方程表示的直线斜率不存在?求出这时的直线方程; (3)已知方程表示的直线 l 在 x 轴上的截距为-3,求实数 m 的值; (4)若方程表示的直线 l 的倾斜角是 45°,求实数 m 的值.

19.△ABC 中,已知 C(2,5),角 A 的平分线所在的直线方程是 y=x,BC 边上高线所 在的直线方程是 y=2x-1,试求顶点 B 的坐标.

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参考答案
一、选择题 1.D 解析:利用 A1B2-A2B1=0 来判断,排除 A,C,而 B 中直线与已知直线重合. 解析 2.C 解析:因为|AB|= (2 - m)2 +(m -1)2 = 13 ,所以 2m2-6m+5=13. 解析
解得 m=-1 或 m=4.

3.A
解析:依条件有 解析

4 - a  =1,由此解得 a=1. a+2

4. B
解析:因为 B≠0,所以直线方程为 y= 解析

A C A C x- ,依条件 >0, >0.即直线的斜 B B B B

率为正值,纵截距为负值,所以直线不过第二象限.

5. C
解析:因为△ABC 是等边三角形,所以 BC 边所在的直线过点 B,且倾斜角为 解析 所以 BC 边所在的直线方程为 y= 3 (x-4).

π , 3

6. C
解析:由点 P 在 l 上得 2m―m2―1=0,所以 m=1.即 l 的方程为 x―y―1=0. 解析 所以所求直线的斜率为-1,显然 x+y-3=0 满足要求.

7. C
解析:因为点(x,y)关于 x 轴和 y 轴的对称点依次是(x,-y)和(-x,y), 解析 所以 P(1,2)关于 x 轴和 y 轴的对称的点依次是(1,-2)和(-1,2).

8.D
解析:将 l1 : 3x+4y+5=0 改写为 6x+8y+10=0, 解析 因为两条直线平行,所以 b=8.

10 - c


6 2 + 82 9.A

=3,解得 c=-20 或 c=40. 所以 b+c=-12 或 48.

解析:设原点为 O,依条件只需求经过点 P 且与直线 OP 垂直的直线方程, 解析

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因为 kOP=2,所以所求直线的斜率为- 所以满足条件的直线方程为 y-2=-
10.B

1 ,且过点 P. 2

1 (x-1),即 x+2y-5=0. 2

解析:方法 解析 方法 1:因为 a+2b=1,所以 a=1-2b. 所以直线 ax+3y+b=0 化为(1-2b)x+3y+b=0. 整理得(1-2x)b+(x+3y)=0. 所以当 x=
1 1 ,y=- 时上式恒成立. 2 6

1 ? ? 1 所以直线 ax+3y+b=0 过定点 ? ,- ? . 6 ? ? 2

方法 2:由 a+2b=1 得 a-1+2b=0.进一步变形为 a×

1 ? 1? +3× ?- ? +b=0. 2 ? 6?

这说明直线方程 ax+3y+b=0 当 x=

1 1 ,y=- 时恒成立. 2 6

1 ? ? 1 所以直线 ax+3y+b=0 过定点 ? ,- ? . 2 6 ? ?

二、填空题
11. 1± 5 . 2
a - 0 1- 0 1± 5 = ,所以 a2―a―1=0. 解得 a= . 2 -1 a -1 2

解析: 解析:由已知得

12.-1≤k≤1 且 k≠0.

解析: 解析:依条件得

1 ·|2k|·|k|≤1,其中 k≠0(否则三角形不存在). 2

解得-1≤k≤1 且 k≠0.
13. 2 -1.

a - 2+3

解析:依条件有 解析:
12 +12 14.y=2x.

=1.解得 a= 2 -1,a=- 2 -1(舍去).

解析: 解析:已知直线变形为 y+2=-a(x+1),所以直线恒过点(―1,―2). 故所求的直线方程是 y+2=2(x+1),即 y=2x.

15.

60 . 13
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解析:因为实数 x,y 满足 5x+12y=60, 解析 所以 x 2 + y 2 表示原点到直线 5x+12y=60 上点的距离. 所以 x 2 + y 2 的最小值表示原点到直线 5x+12y=60 的距离. 容易计算 d=
60 60 60 = .即所求 x 2 + y 2 的最小值为 . 13 13 25 +144

三、解答题
16.解:设所求直线的方程为 y= 解 3 x +b , 4

令 x=0,得 y=b,所以直线与 y 轴的交点为(0,b); 令 y=0,得 x=-
4 ? 4 ? b,所以直线与 x 轴的交点为 ?- b, 0 ? . 3 3 ? ?
2

4 ? 4 ? 由已知,得|b|+ - b + b 2 + ?- b ? =12,解得 b=±3. 3 ? 3 ?

故所求的直线方程是 y=

3 x±3,即 3x-4y±12=0. 4

17.解:当直线 l 的方程为 x=1 时,可验证不符合题意,故设 l 的方程为 y-2=k(x- 解 1),

? y = kx + 2 - k ? 3k - 7 - 5 k + 8 ? , 由? 解得 A ? ?; 3k + 4 ? ? 3k + 4 ?4 x + 3 y +1= 0 ? y = kx + 2 - k ? 3k -12 8 -10 k ? , 由? 解得 B ? ?. 3k + 4 ? ? 3k + 4 ?4 x + 3 y + 6 = 0 ? 5 ? ? 5k ? 因为|AB|= 2 ,所以 ? ? +? ? ? 3k + 4 ? ? 3k + 4 ?
2 2

= 2.
1 . 7

整理得 7k2-48k-7=0.解得 k1=7 或 k2=-

故所求的直线方程为 x+7y-15=0 或 7x―y―5=0.
18.解:(1)当 x,y 的系数不同时为零时,方程表示一条直线, 解

令 m2―2m―3=0,解得 m=-1,m=3; 令 2m2+m-1=0,解得 m=-1,m=
1 . 2

所以方程表示一条直线的条件是 m∈R,且 m≠-1. (2)由(1)易知,当 m= 此时的方程为 x=
1 时,方程表示的直线的斜率不存在, 2

4 ,它表示一条垂直于 x 轴的直线. 3
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(3)依题意,有

2m - 6 =-3,所以 3m2-4m-15=0. m - 2m - 3
2

所以 m=3,或 m=-

5 5 ,由(1)知所求 m=- . 3 3

(4)因为直线 l 的倾斜角是 45?,所以斜率为 1. 故由-
m 2 - 2m - 3 4 =1,解得 m= 或 m=-1(舍去). 2 3 2m + m -1 4 . 3

所以直线 l 的倾斜角为 45°时,m=

? y = 2 x -1 19.解:依条件,由 ? 解得 A(1,1). 解 ?y = x

因为角 A 的平分线所在的直线方程是 y=x,所以点 C(2,5)关于 y=x 的对称点 C'(5,
2)在 AB 边所在的直线上. AB 边所在的直线方程为 y-1= x-4y+3=0. 2 -1 (x-1),整理得 5 -1

又 BC 边上高线所在的直线方程是 y=2x-1, 所以 BC 边所在的直线的斜率为-
1 . 2
(第 19 题)

BC 边所在的直线的方程是 y=―

1 (x-2)+5,整理得 x+2y-12=0. 2

5? ? 联立 x-4y+3=0 与 x+2y-12=0,解得 B ? 7, ? . 2? ?

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