nbhkdz.com冰点文库

2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定


返回

返回

返回

随手打开一本书,发现每两书页之间所在的平

面也形成一个空间问题,或将一张纸拆叠后也会形
成同样的问题.

返回

问题1:通过上述问题,联想空间两直线、空间线与 面都可形成角,那么空间两平面会形成角吗? 提示:可以.<

br />
问题2:动手折叠一张纸,随着翻动,会发现两平面
形成角有何特点? 提示:可以是锐角、直角、钝角、平角. 问题3:两平面形成的角可否为0°角? 提示:可以,当两平面平行时满足. 返回

二面角
(1)定义:从一条直线出发的 两个半 平面 所组成的图形叫做二面角(如图). 直线AB 叫做二面角的棱, 半平面α和β 叫做二面角的面.

记法:α-AB-β ,在α,β内,分别取点P、Q时,可
记作 P-AB-Q ;当棱记为l时,可记作 α - l- β 或 P-l-Q . 返回

(2)二面角的平面角: ①定义:在二面角α-l-β的棱l上 任取一点O,如图所示,以点O为垂足, 在 半平面α和β内 分别作垂直于棱l的射

线OA和OB,则射线OA和OB构成的
∠AOB叫做 二面角的平面角 . ②直二面角:平面角是 直角 的二面角.

返回

返回

建筑工地上,泥水匠砌墙时,
为了保证墙面与地面垂直,泥水 匠常常在较高处固定一条端点系 有铅锤的线,再沿着该线砌墙, 如图,这样就能保证墙面与地面

垂直.

返回

问题1:由上述可知当直线与平面垂直时,过此直线

可作无数个平面,那么这些平面与已知平面有何关系?
提示:垂直. 问题2:若要判断两平面是否垂直,根据上述问题能 否得出一方法? 提示:可以,只需在一平面内找一直线垂直于另一平

面即可.

返回

1.面面垂直的定义 (1)定义:如果两个平面相交,且它们所成的二面 角是 直二面角 ,就说这两个平面互相垂直. (2)画法:

记作:α⊥β

. 返回

2.两平面垂直的判定
(1)文字语言:一个平面过另一个 平面的 垂线 ,则这两个平面垂直. (2)图形语言:如图. (3)符号语言:AB⊥β,AB∩β=B, AB?α?α⊥β.

返回

1.对于二面角及其平面角的理解
(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是 平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小表示, 体现了由空间图形向平面图形转化的思想. (2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角,

不是两条直线的夹角,因此,二面角θ 的取值范围是
0°≤θ ≤180°. 返回

2.对于平面与平面垂直的判定定理的理解 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过 直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将 其记为“线面垂直,则面面垂直”.因此,处理面面

垂直问题转化为处理线面垂直问题,进一步转化为处
理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直,只要在 一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可. 返回

返回

返回

[例1]

如图,在空间四边形ABCD中,AB=BC,

CD=DA,E,F,G分别是CD,DA,AC的中点,求 证:平面BEF⊥平面BGD.

返回

[思路点拨]

要证明两个平面互相垂直,有两种

方法:一种是用定义证明,一种是用判定定理证 明.在这里易证AC⊥平面BGD,而EF∥AC,故EF 所在平面与平面BGD垂直.

返回

[精解详析]

∵AB=BC,G为AC中点,所以AC⊥BG.

同理可证,AC⊥DG.
又∵BG∩DG=G,∴AC⊥面BGD. ∵E,F为△ADC的中点,∴EF∥AC,∴EF⊥面BGD. 又∵EF?平面BEF,∴平面BEF⊥平面BGD.

返回

[一点通]

证明面面垂直的方法有两种

(1)根据定义.若∠ABE是二面角α-l-β的平面
角,且∠ABE=90°,则α⊥β. 具体作法是:作出两面构成的二面角的平面角,计算 其为90°. (2)利用面面垂直的判定定理.具体作法是在其中 一个平面内寻找与另一个平面垂直的直线.

返回

1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一组条件
是 A.m⊥n,m∥α,n∥β C.m∥n,n⊥β,m?α ( D.m∥n,m⊥α,n⊥β ) B.m⊥n,α∩β=m,n?β

解析:A与D中α也可与β平行,B中不一定α⊥β,故选C.

答案:C

返回

2.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是
CC1的中点,求证:平面A1BD⊥平面BED.

返回

证明:连接 AC,交 BD 于点 F,连接 A1F,EF,A1E, A1C1.由正方体 ABCD—A1B1C1D1,易得 A1D=A1B, ED=EB.∵F 是 BD 中点,∴A1F⊥BD,EF⊥BD,故 ∠A1FE 是二面角 A1—BD—E 的平面角.设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,则 A1F2=A1A2+AF2 =22+( 2)2=6,

返回

EF2=CE2+CF2=12+( 2)2=3,
2 2 2 A1E2=A1C2 + C E = (2 2) + 1 =9. 1 1

∴A1F2+EF2=A1E2,即∠A1FE=90° , ∴平面 A1BD⊥平面 BED.

返回

返回

[例2]

(2011· 珠海二中)△ABC

为正三角形,EC⊥平面ABC, BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是 EA的中点.求证: (1)DE=DA;

(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.

返回

[思路点拨]
DA可得结论;

(1)利用垂直关系证明并计算DE、

(2)证明OM⊥面AEC; (3)由(2)可证.

返回

[精解详析]

(1)设 BD=a,作 DF∥BC 交 CE 于 F,

则 CF=DB=a.因为 CE⊥面 ABC, 所以 BC⊥CF,DF⊥EC, 所以 DE= EF2+DF2= 5a, 又因为 DB⊥面 ABC, 所以 DA= DB2+AB2= 5a, 所以 DE=DA.

返回

(2)取 CA 的中点 N,连接 MN,BN, 1 则 MN 綊2CE 綊 DB. 所以四边形 MNBD 为平行四边形,所以 MD∥BN. 又因为 EC⊥面 ABC,所以 EC⊥BN,EC⊥MD. 又 DE=DA,M 为 EA 中点,所以 DM⊥AE. 所以 DM⊥平面 AEC,所以面 BDM⊥面 ECA. (3)由(2)知 DM⊥平面 AEC,而 DM?面 DEA, 所以平面 DEA⊥平面 ECA.

返回

[一点通] 线面垂直

证明垂直关系时,注意“线线垂直 面面垂直”的应用.

返回

3.如图,设P是正方形ABCD外一点,且 PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面

PBC、平面PAD的位置关系是

(

)

A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两都垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 返回

解析:∵AD⊥AB,AD⊥PA且PA∩AB=A,

∴AD⊥面PAB.∴面PAD⊥面PAB.
∵BC∥AD,∴BC⊥面PAB.∴面PBC⊥面PAB.

答案:A

返回

4.如图所示,ABCD—A1B1C1D1

为长方体,且底面ABCD为正
方形.求证:截面ACB1⊥平面

BDD1B1?

返回

解:∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD.

∵BB1⊥底面ABCD,
∴AC⊥B1B. 又BD∩BB1=B, 故AC⊥平面BDD1B1, 又AC?平面ACB1,

∴截面ACB1⊥平面BDD1B1.
返回

返回

[例3]

(12分)四边形ABCD是正方形,

PA⊥平面ABCD,且PA=AB.
(1)求二面角A-PD-C平面角的度数; (2)求二面角B-PA-D平面角的度数; (3)求二面角B-PA-C平面角的度数. [思路点拨] (1)证明面PAD⊥面PCD;

(2)定义法确定二面角; (3)∠BAC为所求角,可求. 返回

[精解详析]

(1)∵PA⊥平面ABCD, (2分)

∴PA⊥CD,又四边形ABCD为正方形,? ∴CD⊥AD,PA∩AD=A.

∴CD⊥平面PAD,又CD?平面PCD,
∴平面PAD⊥平面PCD.?(3分) ∴二面角A-PD-C平面角的度数为90°.? (4分)

返回

(2)∵PA⊥平面ABCD,

∴AB⊥PA,AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角. 又由题意∠BAD=90°, ∴二面角B-PA-D平面角的度数为90°. (8分) (6分)

返回

(3)∵PA⊥平面ABCD, ∴AB⊥PA,AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°. (10分)

即二面角B-PA-C平面角的度数为45°.

(12分)

返回

[一点通]

解答此类问题的关键是

清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置 无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶 点.求二面角的大小的方法为:一作,即先作出二面 角的平面角;二证,即说明所作角是二面角的平面角; 三求,即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的 三角函数值,其中关键是“作”.

返回

5.下列说法中正确的是

(

)

①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直

线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b形
成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面 角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作 射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角 的顶点在棱上的位置没有关系. 返回

解析:由二面角的定义知,从一条直线出发的两个半平 面所组成的图形叫做二面角,由于①有四个二面角,故 ①不对;由于a,b垂直于这个二面角的两个面,则a,b 都垂直于二面角的棱,故②正确;③中所作的射线不一 定垂直于二面角的棱,故③不对;由定义知④正确. 答案:②④

返回

6.如图, P 是边长为 2 2的正方形 ABCD 外 一点,PA⊥AB,PA⊥BC,且 PC=5, 则二面角 PBDA 的余弦值为________.

返回

解析:连 PO,易知 PA⊥面 ABCD,BD⊥AC, ∴BD⊥面 POA,即∠POA 即为二面角 PBDA 的平面角. ∵正方形边长为 2 2,∴AC=4,∴AO=2. 在 Rt△PAC 中,PA2=PC2-AC2=52-42=32, ∴PA=3. ∴PO2=PA2+AO2=32+22=13. 2 2 13 ∴cos∠POA= = 13 . 13
2 13 答案: 13

返回

1.要证明两平面垂直,可以利用定义证明两平面
所构成的二面角为直二面角;也可以利用定理,其关 键是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直. 2.二面角的平面角必须具备三个条件:(1)顶点 在二面角的棱上;(2)角的两边分别在两半平面内;(3)

角的两边分别与二面角的棱垂直.

返回

返回


2.3.2 平面与平面垂直的判定基础练习题(含答案解析)

2.3.2 平面与平面垂直的判定基础练习题(含答案解析)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.3.2 平面与平面垂直的判定基础练习题(含答案解析) ...

2.3.2 平面与平面垂直的判定

2.3.2 平面与平面垂直的判定知识点 1.二面角的有关概念 (1)半平面的定义:平面内的一条直线把平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面. (2)二面角的定义...

2.3直线与平面,平面与平面垂直的判定

2.3直线与平面,平面与平面垂直的判定_数学_高中教育_教育专区。2.3.1 直线与平面垂直的判定学习内容:线、面垂直的判定及性质 学习目标:理解并掌握线、面垂直的...

2.3.5平面与平面垂直的判定与性质

(1)掌握平面与平面垂直的判定定理及性质定理; (2)能运用判定定理、性质定理解决一些简单问题; (3) 了解直线与平面、 平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相...

§2.3.2 平面与平面垂直的判定习题

§2.3.2 平面与平面垂直的判定习题_数学_高中教育_教育专区。§ 2.3.2 平面与平面垂直的判定※基础达标 1.对于直线 m 、 n 和平面 ? 、 ? , ? ? ?...

高中数学 2.3.2《平面与平面垂直的判定》教案 新人教版A必修2

高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定》教案 新人教版A必修2_数学_高中教育_教育专区。高中平面与平面垂直的判定教学目的: 1.理解二面角及其平面角的概念, 能...

2.3平面与平面的平行和垂直的判定及其性质

2.3平面与平面的平行和垂直的判定及其性质_数学_高中教育_教育专区。主备人:朱远程 审核人:叶丐舟 姓名 课题:2.3 平面与平面的平行和垂直的判定及其性质 班级...

2.3.2平面与平面垂直的判定学案

2.3.2 平面与平面平行的判定 学习目标 1. 理解二面角的有关概念, 会作二面角的平面角,能求简单二 面角平面角的大小; 2. 理解面面垂直的定义, 掌握面面...

2.3.2平面与平面垂直的判定 导学案

2.3.2 平面与平面垂直的判定一、学习目标: 知识与技能:正确理解和掌握“二面角” 、 “二面角的平面角”及“直二面角” 、 “两个平面互 相垂直”的概念;...