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第三节 第十二章 展开函数为幂级数 两类问题: 在收敛域内 求和 和函数 展开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 若函数 该邻域内有 : 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 f ??( x0 ) ( x ? x0 ) 2 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? 2! (n) f ( x0 ) ??? ( x ? x0 ) n ? Rn ( x) n! 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中 f ( n ?1) (? ) Rn ( x) ? ( x ? x0 ) n ?1 ( ? 在 x 与 x0 之间) (n ? 1) ! 称为拉格朗日余项 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数 f ??( x0 ) 2 f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? ( x ? x0 ) ? 2! (n) f ( x0 ) ?? ( x ? x0 ) n ? ? 为 f (x) 的泰勒级数 . n! 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数: f ??(0) 2 f ( n ) (0) n x ??? x ?? f (0) ? f ?(0) x ? 2! n! 反例 : 设 f ( x) ? exp{? 1 2 }( x ? 0), f (0) ? 0. x 由于 f ( n ) (0) ? 0(n ? 0,1,2,?), 则对应的麦氏级数为 0 2 0 n 0 ? 0 ? x ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? 0 ? f ( x). 2! n! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的某邻域内具有任意阶导数, 则称 内具有 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的 充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) ? 0 . 定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 f ( n ) ( x0 ) n ( x ? x0 ) , x ? ? ( x0 ) 证明: f ( x) ? ? n! n ?0 f ( k ) ( x0 ) k 令S n ?1 ( x) ? ? ( x ? x0 ) k! k ?0 n ? n ?? f ( x) ? S n ?1 ( x) ? Rn ( x) (泰勒中值公式) n ?? lim Rn ( x) ? lim ? f ( x) ? S n ?1 ( x)? ? 0 , x ? ? ( x0 ) n ?? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 a0 ? f (0) a1 ? f ?(0) f ?( x) ? a1 ? 2a2 x ? ? ? nan x n ?1 ? ? ; 1 f ??(0) f ??( x) ? 2!a2 ? ? ? n(n ? 1)an x n ? 2 ? ? ; a 2 ? 2 ! f ( n) ( x ) ? n ! an ? ? ; 1 f ( n ) (0) an ? n ! 显然结论成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成幂级数 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开

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