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2015-2016学年高中数学 2.5.1等比数列前n项和的求解课件 新人教A版必修5


2.5 等比数列的前n项和

2.5.1 等比数列前n项和的求解

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1.熟练应用等比数列的前 n 项和公式与通项公式解决一 些应用问题. 2.会求与等比数列相关的一些简单问题.

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题型1 等比数列求和公式的基本运算
例 1 在等

比数列{an}中. (1)若 Sn=189,q=2,an=96,求 a1 和 n; 5 (2)若 a1+a3=10,a4+a6= ,求 a4 和 S6. 4 a1(1-qn) 解析:(1)由 Sn= ,an=a1·qn-1 以及已知条件得: 1-q
n a ( 1 - 2 ) 1 ? ?189= 1-2 , 解得: ?

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? ?96=a1·2n

-1



192 ∴a1·2 =192,即 2 = . a1
n n

?192 ? ∴189=a1(2 -1)=a1? a -1?, ? 1 ?
n

96 ∴a1=3,2 = =32,∴n=6. 3
n-1

(2)设公比为 q,由通项公式及已知条件得:
2 a + a q ? 1 1 =10,

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? 3 5 5 5 即? 3 2 ?a1q +a1q =4, ?a1q (1+q )=4.
∵a1≠0,1+q2≠0,

2 a ( 1 + q )=10, ?1

1 ∴两式相除得 q = , 8
3

1 ∴q= ,∴a1=8. 2
?1?3 ∴a4=a1q =8×?2? =1, ? ?
3

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S6=

? ?1?6? 8×?1-? ? ? 6 a1(1-q ) ? ?2? ? 63

1-q



1 1- 2

= . 4

a1(1-qn) 点评:(1)等比数列前 n 项和公式为 Sn= (q≠1),当 1-q q=1 时,Sn=na1. a1-anq (2)等比数列另一个前 n 项和公式为 Sn= (q≠1). 1-q (3)在解决等比数列问题时,已知 a1、an、q、n、Sn 中任意三个, 可求其余两个,称为“知三求二”.
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1.在等比数列{an}中,a3=-12,前 3 项和 S3=-9,求公比 q. 解析:方法一 由已知可得方程组
2 ? ?a3=a1·q =-12, ? 2 ? S = a ( 1 + q + q )=-9, ? 3 1

① ②
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1+q+q2 3 ②÷①得 = , q2 4 即 q2+4q+4=0.所以 q=-2.

1 方法二 a3,a2,a1 成等比数列且公比为 , q
? ?1?3? a3?1-? ? ? ? ?q? ?

所以 S3=a3+a2+a1=

1 1- q

-12(q3-1) = 2 =-9. q (q-1) 所以 q2+4q+4=0,即(q+2)2=0.所以 q=-2.

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题型2 等比数列前n项和性质的应用

等比数列{an}共有 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数 项的和大 80,求公比 q.
? ?S奇+S偶=-240, 解析:由题意知:? ? ?S奇-S偶=80, ? ?S奇=-80, ∴? ?S偶=-160. ?
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S偶 -160 ∴公比 q= = =2. S奇 -80

点评:(1)数列{an}是等比数列,Sn 是其前 n 项和,则 Sn、 S2n-Sn、S3n-S2n 满足(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n). (2)在等比数列中,若项数为 2n(n∈N*),S 偶与 S 奇分别为 S偶 偶数项和与奇数项和,则 =q. S奇
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S5 2. (1)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, 8a2+a5=0, 则 =( S2 A.-11 B.-8 C.5 D.11

)

(2)在等比数列{an}中,若前 10 项的和 S10=10,前 20 项的和 S20 =30,则前 30 项的和 S30=________. (3)(2013· 北京卷)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40, 则公比 q=________,前 n 项和 Sn=________. 解析:(1)通过 8a2+a5=0,设公比为 q,将该式转化为 8a2+a2q3 =0,解得 q=-2,代入所求式可知答案选 A.
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(2)方法一 设数列{an}的首项为 a1,

? ? 公比为 q,显然 q≠1,则? a (1-q ? ? 1-q
1

a1(1-q10) =10, 1-q
20



=30.
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两式相除得:1+q10=3,∴q10=2. a1(1-q30) a1(1-q10) ∴S30= = (1+q10+q20)=10×(1+2+4) 1-q 1-q =70. 方法二 ∵S10,S20-S10,S30-S20 仍成等比数列, 又∵S10=10,S20=30, (30-10)2 ∴S30-30= ,即 S30=70. 10

(3)设等比数列的公比为 q,∵a2+a4=20,a3+a5=40.∴20q=
n a ( 1 - q ) 1 3 栏 40,且 a1q+a1q =20,解之得 q=2,且 a1=2.因此 Sn= 1-q 目 链

=2 -2. 答案:(1)A (2)70 (3)2 2n+1-2

n +1



题型3 等比数列的综合问题
已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-n2, an=log5bn, 其中 bn>0, 求数列{bn}的前 n 项和. 解析:设{bn}的前 n 项和为 S′, 当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3-2n, 又∵an=log5bn,∴bn=53-2n. 53-2n bn 1 ∵ = 3-2(n-1)= ,b1=5, 25 bn-1 5
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1 ∴{bn}是以 5 为首项, 为公比的等比数列. 25
? ? 1 ?n? 5?1-? ? ? 1? ? ?25? ? 125? ∴S′= = ?1-25n?. 1 24 ? ?
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1-

25

点评:综合应用等比数列的前 n 项和公式、等比数列通项公式 及函数知识解决数列综合问题,提升解决综合问题的能力.

3.已知等差数列{an},a2=9,a5=21. (1)求{an}的通项公式; (2)令 bn=2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d,
? ?a1+d=9, 依题意得方程组? 解得 a1=5, d=4.所以{an}的通项公 ? ?a1+4d=21.
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式为 an=4n+1(n∈N*).

(2)由 an=4n+1 得 bn=24n+1. 所以{bn}是首项为 b1=25,公比为 q=24 的等比数列, 于是得{bn}的前 n 项和 25×(24n-1) 32×(24n-1) Sn= = . 15 24-1
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